Hairy ball theorem (original) (raw)
Der Satz vom Igel, auch Igelsatz oder Satz vom gekämmten Igel, englisch Hairy ball theorem, ist ein Resultat des mathematischen Teilgebiets der Topologie. Dieser Satz wird bei manchen Autoren auch Satz von Poincaré-Brouwer genannt, da er von Luitzen Egbertus Jan Brouwer im Jahre 1912 mit Hilfe des Satzes von Poincaré bewiesen werden konnte. In der Physik wird der Satz auch mit dem Problem des globalen Windes verknüpft.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, i més precisament en topologia diferencial, el teorema de la bola peluda és un resultat que s'aplica a esferes que en cada punt posseeixen un vector, visualitzat com un «pèl» tangent a la superfície. Afirma que la funció que associa el vector a cada punt de l'esfera admet almenys un punt de discontinuïtat, la qual cosa significa que el pentinat conté un «bucle» o «rínxol», és a dir, que hi haurà zones buides (o calvície). De manera més rigorosa, un camp vectorial continu definit sobre una esfera de dimensió parell, almenys igual a 2, s'anul·la en almenys un punt. Aquest resultat es relaciona amb els anomenats teoremes de punt fix i té nombroses aplicacions en àrees com la meteorologia o la computació gràfica. (ca) Der Satz vom Igel, auch Igelsatz oder Satz vom gekämmten Igel, englisch Hairy ball theorem, ist ein Resultat des mathematischen Teilgebiets der Topologie. Dieser Satz wird bei manchen Autoren auch Satz von Poincaré-Brouwer genannt, da er von Luitzen Egbertus Jan Brouwer im Jahre 1912 mit Hilfe des Satzes von Poincaré bewiesen werden konnte. In der Physik wird der Satz auch mit dem Problem des globalen Windes verknüpft. (de) Teoremo pri erinaco estas teoremo, kiu asertas ke sur sfero ne povas ekzisti tia vektora kampo, kiu nenie valorus nulo. Alie, oni povas diri ke por ĉiu funkcio f ekzistas almenaŭ unu punkto p kie f(p)=0 kaj do la vektoro estas perpendikulara al al sfero. Mnemonike, oni klarigas la teoremon en tia ŝerceca maniero: Se vi havas erinacon kiu ruliĝis en sferon, vi ne povas kombi ĝin tiel, ke ĝi tute nenie estus pika. La teoremo estas sekvo el , pruvita en jaro 1912. (eo) The hairy ball theorem of algebraic topology (sometimes called the hedgehog theorem in Europe) states that there is no nonvanishing continuous tangent vector field on even-dimensional n-spheres. For the ordinary sphere, or 2‑sphere, if f is a continuous function that assigns a vector in R3 to every point p on a sphere such that f(p) is always tangent to the sphere at p, then there is at least one pole, a point where the field vanishes (a p such that f(p) = 0). The theorem was first proved by Henri Poincaré for the 2-sphere in 1885, and extended to higher dimensions in 1912 by Luitzen Egbertus Jan Brouwer. The theorem has been expressed colloquially as "you can't comb a hairy ball flat without creating a cowlick" or "you can't comb the hair on a coconut". (en) En mathématiques, le théorème de la boule chevelue est un résultat de topologie différentielle. Il s'applique à une sphère supportant en chaque point un vecteur, imaginé comme un cheveu, tangent à la surface. Il affirme que la fonction associant à chaque point de la sphère le vecteur admet au moins un point de discontinuité, ce qui revient à dire que la coiffure contient un épi, ou qu'il y a des cheveux nuls, c'est-à-dire de la calvitie. De manière plus rigoureuse, un champ de vecteurs continu sur une sphère de dimension paire s'annule en au moins un point. Ce théorème est démontré pour la première fois par Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912. Cette approche généralise des résultats démontrés par le passé comme le théorème de Jordan ou les travaux de Leopold Kronecker sur les fonctions continûment différentiables de la sphère réelle de dimension n – 1 dans un espace vectoriel de dimension n. Ces résultats, qui intuitivement se comprennent aisément, imposent, pour une démonstration rigoureuse, des développements parfois techniques. Un exemple archétypal de résultat de même nature est le théorème du point fixe de Brouwer. Il énonce que toute application continue d'une boule fermée d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie dans elle-même admet un point fixe. Le théorème de point fixe de Brouwer peut être déduit du théorème de la boule chevelue. (fr) En matemática, y más precisamente en topología diferencial, el teorema de la bola peluda es un resultado que se aplica a esferas que en cada punto poseen un vector, visualizado como un «pelo» tangente a la superficie. Afirma que la función que asocia a cada punto de la esfera el vector admite al menos un punto de discontinuidad, lo que significa que el peinado contiene un «bucle» o «rizo», es decir que habrá zonas vacías (o calvicie). De manera más rigurosa, un campo vectorial continuo definido sobre una esfera de dimensión par, al menos igual a 2, se anula en al menos un punto. Este resultado se relaciona con los llamados teoremas de punto fijo y tiene numerosas aplicaciones en áreas como la meteorología o la computación gráfica. (es) Il teorema della palla pelosa è un concetto della topologia algebrica secondo il quale non esiste un campo vettoriale continuo non nullo tangente a una sfera. Espresso in termini euristici esso afferma, sostanzialmente, che «non è possibile pettinare completamente una palla pelosa» oppure «non è possibile pettinare i capelli di una palla da biliardo», i capelli pettinati rappresentando il campo vettoriale continuo: non è possibile, quindi, eseguire su una sfera una pettinatura che non abbia almeno una chierica o una riga. La sua enunciazione formale è la seguente: data una sfera e una funzione continua che associa a ogni punto della sfera un vettore tridimensionale tangente alla sfera stessa in , esiste almeno un punto della sfera tale che . Il teorema, dimostrato nel 1912 da Luitzen Brouwer, può essere visto come un caso particolare del Teorema di Poincaré-Hopf, che asserisce che la somma degli zeri di determinati campi vettoriali su una superficie è pari alla caratteristica di Eulero di tale superficie: poiché la caratteristica di Eulero della sfera è 2, il campo deve possedere almeno uno zero; una superficie a caratteristica zero, come il toro, è invece «pettinabile».In questo contesto più ampio il teorema della palla pelosa costituisce un esempio di legame tra le proprietà topologiche di una superficie (la caratteristica di Eulero) e quelle analitiche (i campi vettoriali su di essa). Esistono tuttavia numerose altre dimostrazioni, ad esempio a partire dal lemma di Sperner. (it) Em topologia algébrica, o teorema da bola cabeluda estabelece que não existe campo vetorial contínuo tangente em n-esferas de dimensão par que não seja nulo em pelo menos um ponto. Para a esfera ordinária, se f é uma função contínua que mapeia um vetor em R3 a cada ponto p de uma esfera se forma que f(p) é sempre tangente à esfera e em p, então existe pelo menos um p tal que f(p) = 0. Em outras palavras, sempre que se tenta pentear uma bola cabeluda, haverá pelo menos um redemoinho de cabelo em algum lugar. Este teorema foi proposto por Henri Poincaré no final do século XIX e primeiramente demonstrado em 1912 por Brouwer. (pt) Igelkottsteoremet (engelska: Hairy ball theorem, även kallat satsen om den håriga bollen) är en sats inom algebraisk topologi. Den säger att en vektorvärd kontinuerlig funktion på en n-sfär, , där n är ett jämnt tal, måste ha minst ett värde som är ortogonalt mot sfärens yta. Med andra ord, om man föreställer sig en boll med hår, så kan man inte kamma ner alla hårstrån utan att något står upp. Detta svarar då mot fallet med en 2-sfär. För udda värden på n, så gäller motsatsen till teoremet, vilket betyder att n-sfären kan "kammas" helt, utan att något hårstrå sticker ut. En följdsats av teoremet säger att det alltid finns en vektor i en punkt på n-sfären, vilken är en multipel av normalvektorn i punkten. Detta betyder till exempel att det alltid måste finnas en cyklon (eller anticyklon) någonstans på jorden (förutsatt att det blåser någonstans på planeten). En annan följd av igelkottsteoremet är att varje polynomekvation har en komplex rot, även känt som algebrans fundamentalsats. (sv) Теорема о причёсывании ежа утверждает, что на сфере невозможно выбрать касательное направление в каждой точке, которое определено во всех точках сферы и непрерывно зависит от точки. Неформально говоря, невозможно причесать свернувшегося клубком ежа так, чтобы у него не торчала ни одна иголка — отсюда и упоминание ежа в названии теоремы. С помощью теоремы о причесывании ежа может быть доказана теорема о неподвижной точке, полученная в 1912 году Брауэром. (ru) Теорема про причісування їжака або теорема волохатої кулі стверджує, що на сфері не може бути вибраний дотичний напрямок у кожній точці, що визначений у всіх точках сфери і неперервно залежить від точки. Неформально кажучи, неможливо причесати згорнутого клубком їжака так, щоб у нього не стирчала жодна голка — звідси і згадка їжака в назві теореми. Теорема є наслідком теореми про нерухому точку, доведену в 1912 році Брауером. Цікаве метеорологічне використання цієї теореми: розглянути вітер як неперервне векторне поле на поверхні планети. Розглянемо ідеалізований випадок, у якому нормальна до поверхні складова поля нехтовно мала. Теорема про причісування їжака стверджує, що на поверхні планети завжди буде точка, в якій не буде вітру (нуль дотичного векторного поля). Така точка буде центром циклону або антициклону: вітер буде закручуватися навколо цієї точки (він не може бути направлений до цієї точки або з неї). Таким чином, за теоремою про причісування їжака, якщо на Землі дме хоч якийсь вітер, то десь обов'язково повинен бути циклон. (uk) 在代数拓扑中，毛球定理（英語：Hairy ball theorem）说明了偶数维单位球面上的连续而又处处不为零的切向量場是不存在的。具体来说，如果 f 是定义在一个单位球面上的连续函数，并且对球面上的每一点 P ，其函数值是一个与球面在该点相切的向量，那么总存在球面上的一点，使得f在该点的值为零。直观上（三维空间中的球面），不存在零点的球面向量场可以想象为一个被“抚平”的“毛球”。而这个定理最著名的通俗陈述也正是“永远不可能抚平一个毛球”。这个定理首先在1912年被魯伊茲·布勞威爾证明。 实际上，根据庞加莱-霍普夫定理，三维空间中的向量场的零点处的指数和为2，即二维球面的欧拉示性数，因此零点必然存在。对于二维环面，其欧拉特征数为0，因此“长满毛的甜甜圈”是有可能被“抚平”的。推广来说，对于任意的的偶数维紧流形，若其欧拉示性数不为0，则其上的连续的切向量場必然存在零点。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Hairy_ball.png?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 485168 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 11971 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1121764829 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:One-parameter_group dbr:Algebraic_topology dbr:Antipodal_point dbc:Fixed_points_(mathematics) dbr:Betti_number dbr:Vector_(geometric) dbr:Vector_field dbr:Null_vector dbr:Compact_space dbr:Continuous_function dbr:Electromagnetic_radiation dbr:Endomorphism dbr:N-sphere dbr:Homotopic dbr:Stereographic_projection dbr:Tangent dbc:Theorems_in_algebraic_topology dbr:Torus dbr:Irregularity_of_a_surface dbr:American_Mathematical_Monthly dbr:Fixed-point_theorem dbr:Fixed_point_(mathematics) dbr:Diffeomorphism dbr:Lefschetz_fixed-point_theorem dbr:Henri_Poincaré dbc:Theorems_in_differential_topology dbr:Covering_space dbr:Cowlick dbr:Homology_(mathematics) dbr:Vector_fields_on_spheres dbr:Dot_product dbr:Manifold dbr:Intermediate_value_theorem dbr:Real_projective_space dbr:Euler_characteristic dbr:Poincaré–Hopf_theorem dbr:Fixed-point_property dbr:Luitzen_Egbertus_Jan_Brouwer dbr:File:Hairy_ball.png dbr:Functions_(mathematics) dbr:Poincaré-Hopf_index_theorem dbr:Alternating_sum dbr:Identity_mapping dbr:Lefschetz_number dbr:N‑sphere dbr:File:Baby_hairy_head_DSCN2483.jpg dbr:File:Hairy_ball_one_pole.jpg dbr:File:Hairy_doughnut.png |
| dbp:id | HairyBallTheorem (en) |
| dbp:title | Hairy Ball Theorem (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:MathWorld dbt:Reflist dbt:Short_description |
| dcterms:subject | dbc:Fixed_points_(mathematics) dbc:Theorems_in_algebraic_topology dbc:Theorems_in_differential_topology |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheorems yago:WikicatTheoremsInAlgebraicTopology yago:WikicatTheoremsInTopology yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | Der Satz vom Igel, auch Igelsatz oder Satz vom gekämmten Igel, englisch Hairy ball theorem, ist ein Resultat des mathematischen Teilgebiets der Topologie. Dieser Satz wird bei manchen Autoren auch Satz von Poincaré-Brouwer genannt, da er von Luitzen Egbertus Jan Brouwer im Jahre 1912 mit Hilfe des Satzes von Poincaré bewiesen werden konnte. In der Physik wird der Satz auch mit dem Problem des globalen Windes verknüpft. (de) Teoremo pri erinaco estas teoremo, kiu asertas ke sur sfero ne povas ekzisti tia vektora kampo, kiu nenie valorus nulo. Alie, oni povas diri ke por ĉiu funkcio f ekzistas almenaŭ unu punkto p kie f(p)=0 kaj do la vektoro estas perpendikulara al al sfero. Mnemonike, oni klarigas la teoremon en tia ŝerceca maniero: Se vi havas erinacon kiu ruliĝis en sferon, vi ne povas kombi ĝin tiel, ke ĝi tute nenie estus pika. La teoremo estas sekvo el , pruvita en jaro 1912. (eo) Em topologia algébrica, o teorema da bola cabeluda estabelece que não existe campo vetorial contínuo tangente em n-esferas de dimensão par que não seja nulo em pelo menos um ponto. Para a esfera ordinária, se f é uma função contínua que mapeia um vetor em R3 a cada ponto p de uma esfera se forma que f(p) é sempre tangente à esfera e em p, então existe pelo menos um p tal que f(p) = 0. Em outras palavras, sempre que se tenta pentear uma bola cabeluda, haverá pelo menos um redemoinho de cabelo em algum lugar. Este teorema foi proposto por Henri Poincaré no final do século XIX e primeiramente demonstrado em 1912 por Brouwer. (pt) Теорема о причёсывании ежа утверждает, что на сфере невозможно выбрать касательное направление в каждой точке, которое определено во всех точках сферы и непрерывно зависит от точки. Неформально говоря, невозможно причесать свернувшегося клубком ежа так, чтобы у него не торчала ни одна иголка — отсюда и упоминание ежа в названии теоремы. С помощью теоремы о причесывании ежа может быть доказана теорема о неподвижной точке, полученная в 1912 году Брауэром. (ru) 在代数拓扑中，毛球定理（英語：Hairy ball theorem）说明了偶数维单位球面上的连续而又处处不为零的切向量場是不存在的。具体来说，如果 f 是定义在一个单位球面上的连续函数，并且对球面上的每一点 P ，其函数值是一个与球面在该点相切的向量，那么总存在球面上的一点，使得f在该点的值为零。直观上（三维空间中的球面），不存在零点的球面向量场可以想象为一个被“抚平”的“毛球”。而这个定理最著名的通俗陈述也正是“永远不可能抚平一个毛球”。这个定理首先在1912年被魯伊茲·布勞威爾证明。 实际上，根据庞加莱-霍普夫定理，三维空间中的向量场的零点处的指数和为2，即二维球面的欧拉示性数，因此零点必然存在。对于二维环面，其欧拉特征数为0，因此“长满毛的甜甜圈”是有可能被“抚平”的。推广来说，对于任意的的偶数维紧流形，若其欧拉示性数不为0，则其上的连续的切向量場必然存在零点。 (zh) En matemàtiques, i més precisament en topologia diferencial, el teorema de la bola peluda és un resultat que s'aplica a esferes que en cada punt posseeixen un vector, visualitzat com un «pèl» tangent a la superfície. Afirma que la funció que associa el vector a cada punt de l'esfera admet almenys un punt de discontinuïtat, la qual cosa significa que el pentinat conté un «bucle» o «rínxol», és a dir, que hi haurà zones buides (o calvície). (ca) En matemática, y más precisamente en topología diferencial, el teorema de la bola peluda es un resultado que se aplica a esferas que en cada punto poseen un vector, visualizado como un «pelo» tangente a la superficie. Afirma que la función que asocia a cada punto de la esfera el vector admite al menos un punto de discontinuidad, lo que significa que el peinado contiene un «bucle» o «rizo», es decir que habrá zonas vacías (o calvicie). (es) The hairy ball theorem of algebraic topology (sometimes called the hedgehog theorem in Europe) states that there is no nonvanishing continuous tangent vector field on even-dimensional n-spheres. For the ordinary sphere, or 2‑sphere, if f is a continuous function that assigns a vector in R3 to every point p on a sphere such that f(p) is always tangent to the sphere at p, then there is at least one pole, a point where the field vanishes (a p such that f(p) = 0). (en) En mathématiques, le théorème de la boule chevelue est un résultat de topologie différentielle. Il s'applique à une sphère supportant en chaque point un vecteur, imaginé comme un cheveu, tangent à la surface. Il affirme que la fonction associant à chaque point de la sphère le vecteur admet au moins un point de discontinuité, ce qui revient à dire que la coiffure contient un épi, ou qu'il y a des cheveux nuls, c'est-à-dire de la calvitie. De manière plus rigoureuse, un champ de vecteurs continu sur une sphère de dimension paire s'annule en au moins un point. (fr) Il teorema della palla pelosa è un concetto della topologia algebrica secondo il quale non esiste un campo vettoriale continuo non nullo tangente a una sfera. Espresso in termini euristici esso afferma, sostanzialmente, che «non è possibile pettinare completamente una palla pelosa» oppure «non è possibile pettinare i capelli di una palla da biliardo», i capelli pettinati rappresentando il campo vettoriale continuo: non è possibile, quindi, eseguire su una sfera una pettinatura che non abbia almeno una chierica o una riga. (it) Igelkottsteoremet (engelska: Hairy ball theorem, även kallat satsen om den håriga bollen) är en sats inom algebraisk topologi. Den säger att en vektorvärd kontinuerlig funktion på en n-sfär, , där n är ett jämnt tal, måste ha minst ett värde som är ortogonalt mot sfärens yta. Med andra ord, om man föreställer sig en boll med hår, så kan man inte kamma ner alla hårstrån utan att något står upp. Detta svarar då mot fallet med en 2-sfär. För udda värden på n, så gäller motsatsen till teoremet, vilket betyder att n-sfären kan "kammas" helt, utan att något hårstrå sticker ut. (sv) Теорема про причісування їжака або теорема волохатої кулі стверджує, що на сфері не може бути вибраний дотичний напрямок у кожній точці, що визначений у всіх точках сфери і неперервно залежить від точки. Неформально кажучи, неможливо причесати згорнутого клубком їжака так, щоб у нього не стирчала жодна голка — звідси і згадка їжака в назві теореми. Теорема є наслідком теореми про нерухому точку, доведену в 1912 році Брауером. (uk) |
| rdfs:label | Teorema de la bola peluda (ca) Satz vom Igel (de) Teoremo pri erinaco (eo) Teorema de la bola peluda (es) Théorème de la boule chevelue (fr) Hairy ball theorem (en) Teorema della palla pelosa (it) Teorema da bola cabeluda (pt) Теорема о причёсывании ежа (ru) Igelkottsteoremet (sv) 毛球定理 (zh) Теорема про причісування їжака (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Hairy ball theorem wikidata:Hairy ball theorem http://ast.dbpedia.org/resource/Teorema_de_la_bola_peluda dbpedia-ca:Hairy ball theorem dbpedia-da:Hairy ball theorem dbpedia-de:Hairy ball theorem dbpedia-eo:Hairy ball theorem dbpedia-es:Hairy ball theorem dbpedia-fa:Hairy ball theorem dbpedia-fi:Hairy ball theorem dbpedia-fr:Hairy ball theorem dbpedia-he:Hairy ball theorem dbpedia-hu:Hairy ball theorem dbpedia-it:Hairy ball theorem dbpedia-pt:Hairy ball theorem dbpedia-ru:Hairy ball theorem dbpedia-sv:Hairy ball theorem dbpedia-uk:Hairy ball theorem dbpedia-zh:Hairy ball theorem https://global.dbpedia.org/id/9QQx yago-res:Hairy ball theorem |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Hairy_ball_theorem?oldid=1121764829&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Baby_hairy_head_DSCN2483.jpg wiki-commons:Special:FilePath/Hairy_ball.png wiki-commons:Special:FilePath/Hairy_ball_one_pole.jpg wiki-commons:Special:FilePath/Hairy_ball_one_pole_animated.gif wiki-commons:Special:FilePath/Hairy_doughnut.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Hairy_ball_theorem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Henri_Poincaré dbr:L._E._J._Brouwer dbr:Solomon_Lefschetz |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Hairy_dog_theorem dbr:Hairy_ball dbr:Hairy_billiard_ball dbr:Hairy_billiard_ball_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_algebraic_topology_topics dbr:List_of_differential_geometry_topics dbr:Mie_scattering dbr:Hairy_balls dbr:Hairy_dog_theorem dbr:Algebraic_topology dbr:List_of_Dutch_discoveries dbr:Vector_field dbr:Vector_space dbr:Tangent_bundle dbr:Edward_Bormashenko dbr:Lint_(material) dbr:Hair_whorl dbr:Krener's_theorem dbr:Topology dbr:3D_rotation_group dbr:Fiber_bundle dbr:Field_(mathematics) dbr:Brouwer_fixed-point_theorem dbr:Differential_topology dbr:Isotropic_radiator dbr:Riemannian_connection_on_a_surface dbr:Henri_Poincaré dbr:Cowlick dbr:Chern_class dbr:L._E._J._Brouwer dbr:Homology_(mathematics) dbr:Vector_fields_on_spheres dbr:Differentiable_manifold dbr:Solomon_Lefschetz dbr:Vector_bundle dbr:Euler_class dbr:List_of_theorems dbr:Poincaré–Hopf_theorem dbr:Parallelizable_manifold dbr:Hairy_ball dbr:Hairy_billiard_ball dbr:Hairy_billiard_ball_theorem |
| is dbp:knownFor of | dbr:Henri_Poincaré dbr:Solomon_Lefschetz |
| is owl:differentFrom of | dbr:No-hair_theorem |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Hairy_ball_theorem |
