Hausdorff paradox (original) (raw)
ハウスドルフのパラドックス（英: Hausdorff paradox）とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理（疑似パラドックス）である。 つまり、選択公理を仮定すると、球面 K の分割 K = Q ∪ A ∪ B ∪ C であって、A, B, C, B ∪ C は互いに合同であり、Q は可算集合となるようなものが存在する。 いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、K の有限加法的測度が 1 であるとすると、A の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。 この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。 また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ（バナフ）とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを証明した。
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | The Hausdorff paradox is a paradox in mathematics named after Felix Hausdorff. It involves the sphere (a 3-dimensional sphere in ). It states that if a certain countable subset is removed from , then the remainder can be divided into three disjoint subsets and such that and are all congruent. In particular, it follows that on there is no finitely additive measure defined on all subsets such that the measure of congruent sets is equal (because this would imply that the measure of is simultaneously , , and of the non-zero measure of the whole sphere). The paradox was published in Mathematische Annalen in 1914 and also in Hausdorff's book, Grundzüge der Mengenlehre, the same year. The proof of the much more famous Banach–Tarski paradox uses Hausdorff's ideas. The proof of this paradox relies on the axiom of choice. This paradox shows that there is no finitely additive measure on a sphere defined on all subsets which is equal on congruent pieces. (Hausdorff first showed in the same paper the easier result that there is no countably additive measure defined on all subsets.) The structure of the group of rotations on the sphere plays a crucial role here – the statement is not true on the plane or the line. In fact, as was later shown by Banach, it is possible to define an "area" for all bounded subsets in the Euclidean plane (as well as "length" on the real line) in such a way that congruent sets will have equal "area". (This Banach measure, however, is only finitely additive, so it is not a measure in the full sense, but it equals the Lebesgue measure on sets for which the latter exists.) This implies that if two open subsets of the plane (or the real line) are equi-decomposable then they have equal area. (en) ハウスドルフのパラドックス（英: Hausdorff paradox）とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理（疑似パラドックス）である。 つまり、選択公理を仮定すると、球面 K の分割 K = Q ∪ A ∪ B ∪ C であって、A, B, C, B ∪ C は互いに合同であり、Q は可算集合となるようなものが存在する。 いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、K の有限加法的測度が 1 であるとすると、A の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。 この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。 また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ（バナフ）とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを証明した。 (ja) Il paradosso di Hausdorff è un apparente paradosso in matematica che prende il nome dall'omonimo matematico Felix Hausdorff, simile al paradosso di Banach-Tarski, che afferma quanto segue: data una sfera (una sfera 2-dimensionale in ), se da essa viene rimosso un certo sottoinsieme numerabile, allora la parte rimanente può essere divisa in tre sottoinsiemi disgiunti e tali che e sono tutti e tre congruenti. In particolare, segue che sulla -sfera non è possibile definire una misura additiva finita (cioè tale che assuma valori finiti) definita su tutti i sottoinsiemi in modo tale che la misura degli insiemi congruenti sia uguale (poiché questo implicherebbe che la misura di sia simultaneamente e della misura totale dell'intera sfera). (it) In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, stelt de hausdorff-paradox, vernoemd naar de Duitse wiskundige Felix Hausdorff, dat als men een zekere telbare deelverzameling van de bol, S2, wegneemt, de rest kan worden opgedeeld in drie disjuncte deelverzamelingen, A, B en C, zodanig dat A, B, C en B ∪ C allemaal congruent aan elkaar zijn. Hieruit volgt in het bijzonder dat op S2 geen eindige optelbare maat op alle deelverzamelingen is gedefinieerd, zodanig dat de maat van de congruente verzamelingen aan elkaar gelijk is (omdat dit zou betekenen dat de maat van A tegelijkertijd zowel 1/3 als 1/2 van de niet-nulzijnde maat van de gehele bol zou zijn). De paradox werd in 1914 door Felix Hausdorff gepubliceerd in Mathematische Annalen en in hetzelfde jaar ook in zijn boek, Grundzüge der Mengenlehre (Grondslagen van de verzamelingenleer). Het bewijs van de bekendere banach-tarskiparadox maakt gebruik van deze ideeën van Hausdorff. De hausdorff-paradox laat zien dat er op een bol geen eindig optelbare maat is gedefinieerd op alle deelverzamelingen die gelijk is aan de congruente stukken (Hausdorff liet in hetzelfde artikel eerst het gemakkelijkere resultaat zien dat er geen telbare optelbare maat voor alle deelverzamelingen is gedefinieerd). De structuur van de groep van rotaties op de bol speelt hier een cruciale rol - de stelling is niet waar voor het vlak of de lijn. In feite, zo werd later door Banach aangetoond, is het mogelijk om een "oppervlak" te definiëren voor alle begrensde deelverzamelingen in het Euclidische vlak (evenals een "lengte" op de reële lijn), zodanig dat congruente verzamelingen een gelijk "oppervlak" hebben. Deze is echter alleen eindig optelbaar, zodat het geen maat in de volledige zin van het woord is, maar hij is gelijk aan de lebesgue-maat voor verzamelingen waarop de lebesgue-maat is gedefinieerd. Dit houdt in dat als twee open verzamelingen van het vlak (of de reële lijn) equidecomposeerbaar zijn, zij een gelijk oppervlak beslaan. (nl) Теорема (или парадокс) Хаусдорфа — доказываемое в теории множеств утверждение о существовании счётного подмножества двумерной сферы , дополнение которого может быть представлено в виде объединения трёх непересекающихся множеств , и , конгруэнтных друг другу и множеству . Впервые опубликована в 1914 году Феликсом Хаусдорфом. Эта теорема (как и основанный на её идеях парадокс удвоения шара) демонстрирует несоответствие теоретико-множественных представлений обычной геометрической практике (утверждая, в частности, что две копии можно разбить на шесть кусков и составить из них три копии ). Поэтому иногда называется «парадоксом». Доказательство теоремы существенно использует аксиому выбора. Замена этой аксиомы некоторыми альтернативными позволяет доказать отрицание теоремы Хаусдорфа (то есть невозможность соответствующего разбиения сферы). Из теоремы следует, что на двумерной сфере не существует конечно-аддитивной меры, определённой на всех подмножествах и принимающей равные значения на конгруэнтных множествах (то есть инвариантной относительно движений сферы). Иногда под «парадоксом Хаусдорфа» понимают другую теорему, доказанную в той же статье, что и рассматриваемая.Эта теорема даёт пример, похожий на множество Витали. Она утверждает, что единичный отрезок можно разбить на счётное число кусков и с помощью одних только сдвигов составить отрезок длины два. Это показывает, что на прямой нет меры, определённой на всех подмножествах и инвариантной относительно сдвигов. Тем не менее, возможно определить конечно-аддитивную меру для всех ограниченных подмножеств плоскости (как и прямой), такую, что равносоставленные множества будут иметь равную меру. (ru) Теорема Гаусдорфа парадокс в математиці імені Фелікса Гаусдорфа. Вона включає в себе сфери S2 (2-мірна сфера в R3). У ньому говориться, що якщо з S2 якась видалити якусь зліченну підмножину, то залишок можна розділити на три підмножини А, В і С, які не перетинаються й такі, що A, B, C і B ∪ C усі рівні. Зокрема, випливає, що на S2 немає звичайної адитивної міри, визначеної для всіх підмножин, і такої, що міра конгруентних множин була б рівною (бо це означало б, що міра А як 1/3 і 1/2 не- нулю міра всій області). Парадокс був опублікований в Mathematische Annalen в 1914 році і також у книзі Гаусдорфа, Grundzüge дер Mengenlehre, того ж року. Доказ набагато більш знаменитого парадоксу Банаха-Тарського використовує ідеї Гаусдорфа. Цей парадокс показує, що немає скінчено-адитивної міри на сфері, визначеної для всіх підмножин, яких для конгруентних частин буде однаковою. (Гаусдорфа вперше показали в тій же роботі більш легкий результат, що є нічим лічильно-адитивна міра, визначена на всіх підмножин.) Структура групи обертань на сфері відіграє вирішальну роль тут - твердження не відповідає дійсності на площині чи лінія. Насправді, як пізніше було показано Банахом, можна визначити «зону» для всіх обмежених підмножин в евклідовій площині (а також «довжину» на прямих) таким чином, що конгруентні множини матимуть рівну «область». (Це Банахова міра, однак, є лише кінцеві добавки, так що це не показник, в повному розумінні, але вона дорівнює мірі Лебега для множин, для яких остання існує[джерело?].) Це означає, що якщо дві відкритих підмножини площини (або реальна лінія) розкладені в рівній мірі то вони мають рівні площі. (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/grundzgedermen00hausuoft/page/n7/mode/2up http://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0075%7C https://proofwiki.org/wiki/Hausdorff_Paradox |
| dbo:wikiPageID | 634759 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 3438 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1111665826 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbc:Mathematical_paradoxes dbr:Countable_set dbr:Mathematics dbr:Measure_(mathematics) dbr:SO(3) dbr:Congruence_(geometry) dbr:Stefan_Banach dbr:Mathematische_Annalen dbr:Banach–Tarski_paradox dbr:Three-dimensional_space dbr:Lebesgue_measure dbr:Felix_Hausdorff dbr:Banach_measure dbc:Theorems_in_analysis dbc:Measure_theory dbr:Axiom_of_choice dbr:Sphere dbr:Grundzüge_der_Mengenlehre |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Annotated_link dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Snd |
| dcterms:subject | dbc:Mathematical_paradoxes dbc:Theorems_in_analysis dbc:Measure_theory |
| gold:hypernym | dbr:Paradox |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicsParadoxes yago:WikicatTheoremsInAnalysis yago:WikicatParadoxes yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Contradiction107206887 yago:Falsehood106756407 yago:Message106598915 yago:Paradox106724559 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | ハウスドルフのパラドックス（英: Hausdorff paradox）とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理（疑似パラドックス）である。 つまり、選択公理を仮定すると、球面 K の分割 K = Q ∪ A ∪ B ∪ C であって、A, B, C, B ∪ C は互いに合同であり、Q は可算集合となるようなものが存在する。 いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、K の有限加法的測度が 1 であるとすると、A の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。 この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。 また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ（バナフ）とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを証明した。 (ja) Il paradosso di Hausdorff è un apparente paradosso in matematica che prende il nome dall'omonimo matematico Felix Hausdorff, simile al paradosso di Banach-Tarski, che afferma quanto segue: data una sfera (una sfera 2-dimensionale in ), se da essa viene rimosso un certo sottoinsieme numerabile, allora la parte rimanente può essere divisa in tre sottoinsiemi disgiunti e tali che e sono tutti e tre congruenti. In particolare, segue che sulla -sfera non è possibile definire una misura additiva finita (cioè tale che assuma valori finiti) definita su tutti i sottoinsiemi in modo tale che la misura degli insiemi congruenti sia uguale (poiché questo implicherebbe che la misura di sia simultaneamente e della misura totale dell'intera sfera). (it) The Hausdorff paradox is a paradox in mathematics named after Felix Hausdorff. It involves the sphere (a 3-dimensional sphere in ). It states that if a certain countable subset is removed from , then the remainder can be divided into three disjoint subsets and such that and are all congruent. In particular, it follows that on there is no finitely additive measure defined on all subsets such that the measure of congruent sets is equal (because this would imply that the measure of is simultaneously , , and of the non-zero measure of the whole sphere). (en) In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, stelt de hausdorff-paradox, vernoemd naar de Duitse wiskundige Felix Hausdorff, dat als men een zekere telbare deelverzameling van de bol, S2, wegneemt, de rest kan worden opgedeeld in drie disjuncte deelverzamelingen, A, B en C, zodanig dat A, B, C en B ∪ C allemaal congruent aan elkaar zijn. Hieruit volgt in het bijzonder dat op S2 geen eindige optelbare maat op alle deelverzamelingen is gedefinieerd, zodanig dat de maat van de congruente verzamelingen aan elkaar gelijk is (omdat dit zou betekenen dat de maat van A tegelijkertijd zowel 1/3 als 1/2 van de niet-nulzijnde maat van de gehele bol zou zijn). (nl) Теорема Гаусдорфа парадокс в математиці імені Фелікса Гаусдорфа. Вона включає в себе сфери S2 (2-мірна сфера в R3). У ньому говориться, що якщо з S2 якась видалити якусь зліченну підмножину, то залишок можна розділити на три підмножини А, В і С, які не перетинаються й такі, що A, B, C і B ∪ C усі рівні. Зокрема, випливає, що на S2 немає звичайної адитивної міри, визначеної для всіх підмножин, і такої, що міра конгруентних множин була б рівною (бо це означало б, що міра А як 1/3 і 1/2 не- нулю міра всій області). (uk) Теорема (или парадокс) Хаусдорфа — доказываемое в теории множеств утверждение о существовании счётного подмножества двумерной сферы , дополнение которого может быть представлено в виде объединения трёх непересекающихся множеств , и , конгруэнтных друг другу и множеству . Впервые опубликована в 1914 году Феликсом Хаусдорфом. Эта теорема (как и основанный на её идеях парадокс удвоения шара) демонстрирует несоответствие теоретико-множественных представлений обычной геометрической практике (утверждая, в частности, что две копии можно разбить на шесть кусков и составить из них три копии ). Поэтому иногда называется «парадоксом». (ru) |
| rdfs:label | Hausdorff paradox (en) Paradosso di Hausdorff (it) ハウスドルフのパラドックス (ja) Hausdorff-paradox (nl) Теорема Хаусдорфа (ru) 豪斯多夫悖論 (zh) Парадокс Гаусдорфа (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Hausdorff paradox yago-res:Hausdorff paradox wikidata:Hausdorff paradox dbpedia-it:Hausdorff paradox dbpedia-ja:Hausdorff paradox dbpedia-nl:Hausdorff paradox dbpedia-pms:Hausdorff paradox dbpedia-ru:Hausdorff paradox dbpedia-uk:Hausdorff paradox dbpedia-zh:Hausdorff paradox https://global.dbpedia.org/id/sRnr |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Hausdorff_paradox?oldid=1111665826&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Hausdorff_paradox |
| is dbo:knownFor of | dbr:Felix_Hausdorff |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Hausdorff |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Hausdorff_Paradox |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Pathological_(mathematics) dbr:List_of_integration_and_measure_theory_topics dbr:Measure_(mathematics) dbr:Choice_function dbr:Banach–Tarski_paradox dbr:Non-measurable_set dbr:Felix_Hausdorff dbr:Hausdorff_Paradox dbr:Axiom_of_choice dbr:Hausdorff dbr:Von_Neumann_paradox |
| is dbp:knownFor of | dbr:Felix_Hausdorff |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Hausdorff_paradox |