Hilbert symbol (original) (raw)
Das Hilbert-Symbol (nach David Hilbert) ist eine Kurzschreibweise, die in der algebraischen Zahlentheorie verwendet wird. Für einen lokalen Körper mit der multiplikativen Gruppe ist es definiert als die folgende Abbildung: Hierbei heißt eine Lösung trivial, wenn gilt.
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| dbo:abstract | Das Hilbert-Symbol (nach David Hilbert) ist eine Kurzschreibweise, die in der algebraischen Zahlentheorie verwendet wird. Für einen lokalen Körper mit der multiplikativen Gruppe ist es definiert als die folgende Abbildung: Hierbei heißt eine Lösung trivial, wenn gilt. (de) In mathematics, the Hilbert symbol or norm-residue symbol is a function (–, –) from K× × K× to the group of nth roots of unity in a local field K such as the fields of reals or p-adic numbers . It is related to reciprocity laws, and can be defined in terms of the Artin symbol of local class field theory. The Hilbert symbol was introduced by David Hilbert in his Zahlbericht, with the slight difference that he defined it for elements of global fields rather than for the larger local fields. The Hilbert symbol has been generalized to higher local fields. (en) En mathématiques, le symbole de Hilbert est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines (en), et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie algébrique. Le symbole de Hilbert (a, b)2 de deux éléments non nuls a et b d'un corps K est 1 ou –1, suivant que l'équation ax2 + by2 = 1 admet ou non une solution (x, y) dans K. Une telle équation revient en fait à se demander si a est une norme dans l'extension a priori quadratique K(√b). Cette définition se généralise, pour un corps local K, en une fonction (–, –) de K* × K* dans le groupe des racines de l'unité de K. Avec ce point de vue, en considérant tous les symboles de Hilbert définis sur le corps des réels et les différents corps ℚp de nombres p-adiques, on parvient à une formulation de la loi de réciprocité quadratique, et plus généralement à la loi de réciprocité pour les puissances n-ièmes. Ce symbole a été introduit par Hilbert dans son Zahlbericht, à la différence près que sa définition concernait les corps globaux. Il a été généralisé aux (en). (fr) 유체론에서 힐베르트 기호(영어: Hilbert symbol)는 국소체의 0이 아닌 원소에 대하여 정의된 르장드르 기호의 일반화이다. 이를 사용하여, 이차 상호 법칙을 모든 위치에 대칭적인 형태로 적을 수 있는데, 이를 힐베르트 상호 법칙(영어: Hilbert reciprocity law)이라고 한다. (ko) 在数学中，如果给定一个局部域 ，比如说实数域或p-进数域，设其去掉0后的乘法群为K×，则希尔伯特符号是一个关于K×的由互反律抽离而来的代数建构。希尔伯特符号得名于数学家大卫·希尔伯特。 具体来说，希尔伯特符号是一个从 K× × K× 射到 {−1,1} 的函数 ： .；. (zh) Символ Гильберта, или символ норменного вычета, — функция двух аргументов из в группу корней -й степени из единицы в локальном поле (например в поле действительных чисел или в поле p-адических чисел. Он связан с , и может быть определён через . Символ Гильберта был введён в его , с небольшим отличием, что он определял его скорее для элементов глобальных полей, чем для более крупных локальных полей. Символ Гильберта обобщается на . (ru) |
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