Complete metric space (original) (raw)
في الرياضيات وبالتحديد في التحليل الرياضي، فضاء كامل أو فضاء متري كامل (بالإنكليزية: Complete metric space) هو كل فضاء متري كل متتاليةٍ لكوشي فيه متقاربة (منتهية) نحو نهاية تنتمي هي الأخرى إلى هذا الفضاء.
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| dbo:abstract | في الرياضيات وبالتحديد في التحليل الرياضي، فضاء كامل أو فضاء متري كامل (بالإنكليزية: Complete metric space) هو كل فضاء متري كل متتاليةٍ لكوشي فيه متقاربة (منتهية) نحو نهاية تنتمي هي الأخرى إلى هذا الفضاء. (ar) Dins l'entorn de l'anàlisi matemàtica un espai mètric es diu que és complet si tota successió de Cauchy convergeix, és a dir, hi ha un element de l'espai que és el límit de la successió. La idea intuïtiva d'aquest concepte és que no hi ha res "enganxat" a i que no estigui en . Així, per exemple, la recta real és un espai complet, però si li trec un punt, deixa de ser-ho. De la mateixa manera, tot interval tancat en els reals és complet, però tot interval acotat i obert o semi-obert no ho és. Per exemple, l'interval no és complet, ja que la successió és clarament de Cauchy, però no convergeix, ja que el seu límit és zero, punt que "no existeix", ja que no està en el conjunt. La importància dels espais complets és que és molt més fàcil demostrar que una successió és de Cauchy que convergeix, ja que per demostrar que una successió és de Cauchy no es necessita conèixer el valor al qual convergeix. Un cop demostrada que la successió és de Cauchy per la completesa de l'espai, arriba que la successió convergeix. S'ha pogut fer-hi mètodes poderosos per demostrar l'existència de solucions d'equacions (v.) numèriques, diferencials o integrals en determinades condicions. (ca) Metrický prostor je označován jako úplný, pokud v něm každá posloupnost, která je cauchyovská v příslušné metrice, konverguje (v příslušné metrice). Zatímco posloupnost reálných čísel je konvergentní tehdy a jen tehdy, když je cauchyovská, v obecném metrickém prostoru platí jen jeden směr ("jen tehdy"); "úplné" jsou tedy právě ty metrické prostory, kde tato ekvivalence platí. (cs) Ένας μετρικός χώρος M καλείται πλήρης ή αλλιώς και χώρος Κωσύ, αν κάθε ακολουθία Κωσύ στοιχείων του M συγκλίνει σε ένα στοιχείο του M . Με απλά λόγια, ένας χώρος είναι πλήρης αν δεν υπάρχουν στοιχεία του (εσωτερικά ή ακόμα και στο σύνορό του) που "λείπουν" από αυτόν. Παράδειγμα μη πλήρους χώρου είναι το σύνολο των ρητών αριθμών. Αυτό συμβαίνει διότι για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα του 2 "λείπει" από αυτό το σύνολο καθώς εύκολα μπορούμε να δημιουργήσουμε μια ακολουθία Κωσύ ρητών αριθμών που συγκλίνουν στον άρρητο αριθμό της τετραγωνικής ρίζας. (el) Je matematiko, kompleta metrika spaco estas metrika spaco kiu estas "kompleta", en la senco ke ĉiu "ekzitinda" limeso (t.e. tiu de koŝia vico) fakte ekzistas. (eo) In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M. Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary). For instance, the set of rational numbers is not complete, because e.g. is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it (see further examples below). It is always possible to "fill all the holes", leading to the completion of a given space, as explained below. (en) Ein vollständiger Raum ist in der Analysis ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge von Elementen des Raums konvergiert. Zum Beispiel ist der Raum der rationalen Zahlen mit der Betragsmetrik nicht vollständig, weil etwa die Zahl nicht rational ist, es jedoch Cauchy-Folgen rationaler Zahlen gibt, die bei Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen gegen und somit gegen keine rationale Zahl konvergieren. Es ist aber stets möglich, die Löcher auszufüllen, also einen unvollständigen metrischen Raum zu vervollständigen. Im Fall der rationalen Zahlen erhält man dadurch den Raum der reellen Zahlen. (de) En análisis matemático un espacio métrico se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy contenida en converge a un elemento de , es decir, existe un elemento del espacio que es el límite de la sucesión. La idea intuitiva de este concepto es que no hay nada "pegado" a y que no esté en . La importancia de los espacios completos radica en que, con frecuencia, para demostrar que una sucesión es convergente es mucho más fácil demostrar que la sucesión es de Cauchy, que demostrar directamente que la sucesión es convergente porque para demostrar que una sucesión es de Cauchy no se necesita conocer el valor al que converge. Una vez probada que la sucesión es de Cauchy, por la completitud del espacio, se colige que la sucesión converge. Se han podido construir en ellos métodos poderosos para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones (v.) numéricas, diferenciales o integrales con determinadas condiciones iniciales. (es) En mathématiques, un espace métrique complet est un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge. La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet. Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque √2 n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné. La complétude peut être définie plus généralement pour les espaces uniformes, comme les groupes topologiques. (fr) Dalam analisis matematika, sebuah ruang metrik M disebut lengkap (atau ruang Cauchy) jika setiap barisan Cauchy dari titik-titik di M memiliki limit yang juga ada di M atau, sebagai alternatif, jika setiap barisan Cauchy pada M dengan M. Secara intuitif, suatu ruang dikatakan "lengkap" apabila tidak ada "titik yang hilang" darinya (di dalam atau di perbatasan). Misalnya, himpunan bilangan rasional tidak lengkap, karena, sebagai contoh, adalah "hilang" darinya, meskipun seseorang dapat membangun suatu barisan Cauchy dari bilangan rasional yang konvergen menuju itu (lihat contoh lebih lanjut di bawah). "Semua lubang" pada ruang tak lengkap itu akan selalu dapat diisi, yakni dengan membangun suatu "pelengkap" dari ruang tersebut, seperti yang dijelaskan di bawah ini. (in) 位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。 直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 ℚ は完備でないが、これは例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。 (ja) In matematica, uno spazio metrico completo è uno spazio metrico in cui tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio. Si tratta di un importante caso particolare di spazio uniforme completo. Uno spazio metrico non completo è sempre contenuto in uno spazio completo più grande, che può essere costruito a partire dal primo tramite un'operazione di completamento. Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali è contenuto nell'insieme dei numeri reali, che si può ottenere dai numeri razionali grazie ad un'operazione di completamento (numeri irrazionali). (it) ( 완비화는 여기로 연결됩니다. 꽃받침, 꽃잎, 암술과 수술을 모두 갖춘 꽃에 대해서는 문서를 참고하십시오.) 기하학에서 완비 거리 공간(完備距離空間, 영어: complete metric space)은 그 안이나 경계에 "빠진 점"이 없는 거리 공간이다. 완비 거리 공간의 정의는 코시 열(Cauchy列, 영어: Cauchy sequence)이라는 개념을 사용한다. 코시 열은 점들 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 수열이다. 즉, 코시 열에서는 충분한 수의 처음 유한 개의 점들을 제외하면, 남은 점들 사이의 거리가 임의로 작아진다. 완비 거리 공간은 이렇게 "수렴하는 것처럼 보이는" 점렬들이 모두 실제로 수렴하는 점을 갖는 거리 공간이다. 완비 균등 공간의 특수한 경우이다. (ko) Een metrische ruimte heet volledig als elke cauchyrij convergeert, dat wil zeggen een limiet heeft binnen de metrische ruimte. (nl) Przestrzeń metryczna zupełna – przestrzeń metryczna o takiej własności, że każdy ciąg Cauchy’ego utworzony z punktów tej przestrzeni ma granicę w punkcie należącym do tej przestrzeni. Przestrzeń nazywa się niezupełną, jeśli istnieje choć jeden ciąg utworzony z punktów tej przestrzeni, którego granica nie należy do tej przestrzeni. Np. przestrzeń liczb wymiernych z metryką euklidesową nie jest zupełna, gdyż np. można utworzyć ciąg liczb wymiernych, który jest zbieżny do liczby , która jest niewymierna (patrz przykłady poniżej). Przestrzeń niezupełną można uzupełnić o „brakujące” punkty tak, aby stała się zupełna. Np. zbiór liczb wymiernych uzupełniony o „brakujące” punkty staje się zbiorem liczb rzeczywistych. Pojęcie zupełności wymaga istnienia metryki, pozwalającej określać granice ciągów – dlatego można je definiować tylko dla przestrzeni metrycznych. W szerszej klasie przestrzeni topologicznych, w ogólności niemetryzowalnych, wprowadza się analogiczne pojęcie zwartości przestrzeni. (pl) Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço. (pt) Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу того же пространства). В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств. (ru) Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною. (uk) 完备空间，或称完备度量空间（英語：Complete metric space）是具有下述性质的一种度量空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 (zh) |
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| dbp:mathStatement | Let be a complete metric space and let be a sequence of subsets of * If each is closed in then * If each is open in then (en) |
| dbp:name | Theorem (en) |
| dbp:note | C. Ursescu (en) |
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Αυτό συμβαίνει διότι για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα του 2 "λείπει" από αυτό το σύνολο καθώς εύκολα μπορούμε να δημιουργήσουμε μια ακολουθία Κωσύ ρητών αριθμών που συγκλίνουν στον άρρητο αριθμό της τετραγωνικής ρίζας. (el) Je matematiko, kompleta metrika spaco estas metrika spaco kiu estas "kompleta", en la senco ke ĉiu "ekzitinda" limeso (t.e. tiu de koŝia vico) fakte ekzistas. (eo) In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M. Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary). For instance, the set of rational numbers is not complete, because e.g. is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it (see further examples below). It is always possible to "fill all the holes", leading to the completion of a given space, as explained below. (en) Ein vollständiger Raum ist in der Analysis ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge von Elementen des Raums konvergiert. Zum Beispiel ist der Raum der rationalen Zahlen mit der Betragsmetrik nicht vollständig, weil etwa die Zahl nicht rational ist, es jedoch Cauchy-Folgen rationaler Zahlen gibt, die bei Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen gegen und somit gegen keine rationale Zahl konvergieren. Es ist aber stets möglich, die Löcher auszufüllen, also einen unvollständigen metrischen Raum zu vervollständigen. Im Fall der rationalen Zahlen erhält man dadurch den Raum der reellen Zahlen. (de) 位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。 直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 ℚ は完備でないが、これは例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。 (ja) In matematica, uno spazio metrico completo è uno spazio metrico in cui tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio. Si tratta di un importante caso particolare di spazio uniforme completo. Uno spazio metrico non completo è sempre contenuto in uno spazio completo più grande, che può essere costruito a partire dal primo tramite un'operazione di completamento. Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali è contenuto nell'insieme dei numeri reali, che si può ottenere dai numeri razionali grazie ad un'operazione di completamento (numeri irrazionali). (it) ( 완비화는 여기로 연결됩니다. 꽃받침, 꽃잎, 암술과 수술을 모두 갖춘 꽃에 대해서는 문서를 참고하십시오.) 기하학에서 완비 거리 공간(完備距離空間, 영어: complete metric space)은 그 안이나 경계에 "빠진 점"이 없는 거리 공간이다. 완비 거리 공간의 정의는 코시 열(Cauchy列, 영어: Cauchy sequence)이라는 개념을 사용한다. 코시 열은 점들 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 수열이다. 즉, 코시 열에서는 충분한 수의 처음 유한 개의 점들을 제외하면, 남은 점들 사이의 거리가 임의로 작아진다. 완비 거리 공간은 이렇게 "수렴하는 것처럼 보이는" 점렬들이 모두 실제로 수렴하는 점을 갖는 거리 공간이다. 완비 균등 공간의 특수한 경우이다. (ko) Een metrische ruimte heet volledig als elke cauchyrij convergeert, dat wil zeggen een limiet heeft binnen de metrische ruimte. (nl) Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço. (pt) Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу того же пространства). В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. 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(es) Dalam analisis matematika, sebuah ruang metrik M disebut lengkap (atau ruang Cauchy) jika setiap barisan Cauchy dari titik-titik di M memiliki limit yang juga ada di M atau, sebagai alternatif, jika setiap barisan Cauchy pada M dengan M. (in) En mathématiques, un espace métrique complet est un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge. La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet. La complétude peut être définie plus généralement pour les espaces uniformes, comme les groupes topologiques. (fr) Przestrzeń metryczna zupełna – przestrzeń metryczna o takiej własności, że każdy ciąg Cauchy’ego utworzony z punktów tej przestrzeni ma granicę w punkcie należącym do tej przestrzeni. Przestrzeń nazywa się niezupełną, jeśli istnieje choć jeden ciąg utworzony z punktów tej przestrzeni, którego granica nie należy do tej przestrzeni. Np. przestrzeń liczb wymiernych z metryką euklidesową nie jest zupełna, gdyż np. można utworzyć ciąg liczb wymiernych, który jest zbieżny do liczby , która jest niewymierna (patrz przykłady poniżej). Przestrzeń niezupełną można uzupełnić o „brakujące” punkty tak, aby stała się zupełna. Np. zbiór liczb wymiernych uzupełniony o „brakujące” punkty staje się zbiorem liczb rzeczywistych. (pl) |
| rdfs:label | فضاء كامل (ar) Espai complet (ca) Úplný metrický prostor (cs) Vollständiger Raum (de) Πλήρης μετρικός χώρος (el) Kompleta metrika spaco (eo) Complete metric space (en) Espacio métrico completo (es) Espace complet (fr) Ruang metrik lengkap (in) Spazio metrico completo (it) 완비 거리 공간 (ko) 完備距離空間 (ja) Volledig (topologie) (nl) Przestrzeń zupełna (pl) Espaço completo (pt) Полное метрическое пространство (ru) 完备空间 (zh) Повний метричний простір (uk) |
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