Ideal polyhedron (original) (raw)

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In three-dimensional hyperbolic geometry, an ideal polyhedron is a convex polyhedron all of whose vertices are ideal points, points "at infinity" rather than interior to three-dimensional hyperbolic space. It can be defined as the convex hull of a finite set of ideal points. An ideal polyhedron has ideal polygons as its faces, meeting along lines of the hyperbolic space. The Platonic solids and Archimedean solids have ideal versions, with the same combinatorial structure as their more familiar Euclidean versions. Several uniform hyperbolic honeycombs divide hyperbolic space into cells of these shapes, much like the familiar division of Euclidean space into cubes. However, not all polyhedra can be represented as ideal polyhedra – a polyhedron can be ideal only when it can be represented in Euclidean geometry with all its vertices on a circumscribed sphere. Using linear programming, it is possible to test whether a given polyhedron has an ideal version, in polynomial time. Every two ideal polyhedra with the same number of vertices have the same surface area, and it is possible to calculate the volume of an ideal polyhedron using the Lobachevsky function. The surface of an ideal polyhedron forms a hyperbolic manifold, topologically equivalent to a punctured sphere, and every such manifold forms the surface of a unique ideal polyhedron. (en)
En géométrie hyperbolique à trois dimensions, un polyèdre idéal est un polyèdre convexe dont tous les sommets sont des points idéaux, c'est-à-dire des points "à l'infini" plutôt qu'à l'intérieur de l'espace hyperbolique tridimensionnel. Ce sont également les enveloppes convexes d'un ensemble fini de points idéaux. Toute face d'un polyèdre idéal est un . Toutes les arêtes sont des droites de l'espace hyperbolique. Il existe des versions idéales des solides de Platon et des solides d'Archimède ayant la même structure combinatoire que leurs versions euclidiennes. Certains de ces solides peuvent paver l'espace hyperbolique de la même manière que le cube pave uniformément l'espace euclidien. Cependant, tous les polyèdres n'ont pas nécessairement de représentation sous forme idéale : un polyèdre ne peut être idéal que s'il peut être représenté en géométrie euclidienne tel que tous ses sommets soient sur sa sphère circonscrite. Il est possible de tester si un polyèdre donné possède une version idéale en temps polynomial par un algorithme d'optimisation linéaire. Si deux polyèdres idéaux ont le même nombre de sommets, alors l'aire de leurs surfaces sont égales. De plus, il est possible de calculer le volume d'un polyèdre idéal par la fonction de Lobachevsky . La surface d'un polyèdre idéal est une variété hyperbolique, topologiquement équivalente à une sphère perforée, et chacune de ces variétés forme la surface d'un polyèdre idéal unique. (fr)

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David B. A. Epstein (en)

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Ernst Steinitz (en)
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Jakob (en)
Ernst (en)
R. C. (en)
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Honeycombs of ideal regular polyhedra (en)

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In three-dimensional hyperbolic geometry, an ideal polyhedron is a convex polyhedron all of whose vertices are ideal points, points "at infinity" rather than interior to three-dimensional hyperbolic space. It can be defined as the convex hull of a finite set of ideal points. An ideal polyhedron has ideal polygons as its faces, meeting along lines of the hyperbolic space. (en)
En géométrie hyperbolique à trois dimensions, un polyèdre idéal est un polyèdre convexe dont tous les sommets sont des points idéaux, c'est-à-dire des points "à l'infini" plutôt qu'à l'intérieur de l'espace hyperbolique tridimensionnel. Ce sont également les enveloppes convexes d'un ensemble fini de points idéaux. Toute face d'un polyèdre idéal est un . Toutes les arêtes sont des droites de l'espace hyperbolique. (fr)

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Polyèdre idéal (fr)
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