Raising and lowering indices (original) (raw)
In mathematics and mathematical physics, raising and lowering indices are operations on tensors which change their type. Raising and lowering indices are a form of index manipulation in tensor expressions.
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| dbo:abstract | La ley de subir o bajar índices es un método para construir isomorfismos entre espacios de tensores covariantes y contravariantes definidos sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana . Por tanto para emplear, la subida y bajada de índices es necesario usar el tensor métrico (y su inverso , llamado co-tensor métrico). Estas operaciones resultan muy útiles en la teoría general de la relatividad donde cualquier magnitud física puede ser representadas por tensores covariantes o contravariantes indistintamente, y sin alterar el significado físico, según las necesidades del problema planteado. Así para cualquier magnitud física representada por un tensor de tercer rango, puede ser representado por varios conjuntos de magnitudes relacionables gracias a la operación de "subir y bajar índices": (es) In mathematics and mathematical physics, raising and lowering indices are operations on tensors which change their type. Raising and lowering indices are a form of index manipulation in tensor expressions. (en) In matematica e in fisica matematica, l'innalzamento e l'abbassamento degli indici sono operazioni che vengono fatte su tensori per cambiarne il tipo. (it) Dla danego tensora z rozmaitości z określoną na niej nieosobliwą formą (taką jak np. metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego) można podnieść lub opuścić jego wskaźniki, czyli zmienić tensor wymiaru na tensor wymiaru (podnieść indeks) lub na tensor wymiaru (opuścić indeks). Wyniki te można osiągnąć poprzez mnożenie przez kowariantny lub kontrawariantny tensor metryczny, a następnie wyniku. Mnożenie przez kontrawariantny tensor metryczny (i skrócenie) podnosi wskaźniki: a mnożenie przez kowariantny tensor metryczny (i skrócenie) opuszcza je: Operacje podniesienia i następującego po nim opuszczenia tego samego wskaźnika (lub odwrotnie) są do siebie odwrotne, co odzwierciedla odwrotność kowariantnych i kontrawariantnych tensorów metrycznych: gdzie – delta Kroneckera odpowiadająca macierzy jednostkowej. Należy zauważyć, że nieosobliwość nie jest wymagana do opuszczenia wskaźnika. Jednak aby możliwe było obliczenie i podwyższenie wskaźnika dowolnego tensora, macierz musi być nieosobliwa. (pl) A elevação e abaixamento de índices em tensores (ou lei de elevar e abaixar índices) é um método para construir isomorfismos entre espaços de tensores covariantes e contravariantes definidos sobre uma variedade riemanniana ou pseudoriemanniana . Portanto para ser usado a elevação e abaixamento de índices é necessário utilizar o tensor métrico (e seu inverso , chamado co-tensor métrico). Estas operações são muito úteis na teoria geral da relatividade onde qualquer grandeza física pode ser representada por tensores covariantes ou contravariantes indistintamente, e sem alterar o significado físico, segundo as necessidades do problema apresentado. Assim para qualquer grandeza física representada por um tensor de terceira ordem, pode ser representado por múltiplos conjuntos de grandezas relacionais devido à operação de "elevar e abaixar índices": (pt) 在数学与数学物理中，给定流形 M 上一个张量，若在 M 已有一个非退化形式（比如黎曼度量或闵可夫斯基度量），我们可将指标上升或下降：将一个 张量变成一个 张量（上升）或一个 张量（下降）。 这里记号 用于表示 ，有 个上指标和 个下指标。 可以这样做：将张量乘以共变或反变度量张量，然后做。下文在对重复指标 求和时使用爱因斯坦记号。 乘以反变度量张量（然后缩并）上升指标： 而乘以共变度量张量（然后缩并）下降指标： 对同一个指标先上升然后下降（或顺序相反）得到原来的张量，这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆： 这里 N 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异，但相反的过程需要非奇异条件。 (zh) |
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| rdfs:label | Ley de subir o bajar índices (tensores) (es) Innalzamento e abbassamento degli indici (it) Podnoszenie i opuszczanie wskaźników (pl) Raising and lowering indices (en) Elevação e abaixamento de índices em tensores (pt) 指标的上升和下降 (zh) |
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