Covariance and contravariance of vectors (original) (raw)
In matematica e fisica, in particolare in algebra multilineare e nel calcolo tensoriale, le nozioni di covarianza e controvarianza si riferiscono al modo in cui la descrizione di una data entità geometrica o fisica varia quando si effettua un cambiamento di coordinate, come una rotazione o una dilatazione dello spazio. Nel caso di una rotazione di una base ortogonale la differenza tra vettori e covettori non si percepisce.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Covariància i contravariància són conceptes emprats freqüentment en àrees de la matemàtica i la física teòrica. Per regla general es refereixen al fet que certs objectes matemàtics, que poden representar alguna magnitud física, tenen alguna forma d' de forma, és a dir, la propietat de romandre sense canvi sota un conjunt donat de transformacions. En termes matemàtics, aquestes invariància de manera ocorren en una forma fonamental en l'àlgebra lineal i àlgebra multilineal, geometria diferencial i altres branques de la geometria, teoria de categories i topologia algebraica. En física, són importants en el tractament de vectors i altres quantitats, com els tensor és. Les teories de relativitat especial i relativitat general fan servir vectors base covariants sota canvis de coordenades. (ca) Στη γραμμική άλγεβρα και στην ανάλυση τανυστών η συνδιακύμανση και η αντιδιακύμανση περιγράφουν πώς αλλάζει η ποσοτική περιγραφή συγκεκριμένων γεωμετρικών ή φυσικών μεγεθών με αλλαγή της βάσης. Στη Φυσική κάποιες φορές μια βάση θεωρείται ένα σύστημα αξόνων. Μια αλλαγή της κλίμακας στους άξονες αναφοράς αντιστοιχεί σε μια αλλαγή των μονάδων στο πρόβλημα. Για παράδειγμα, αλλάζοντας την κλίμακα από μέτρα σε εκατοστά (δηλαδή διαιρώντας την κλίμακα των αξόνων αναφοράς με το 100) τα στοιχεία μιας μετρούμενης ταχύτητας διανύσματος θα πολλαπλασιαστούν με το 100. Τα διανύσματα παρουσιάζουν αυτήν την συμπεριφορά της αλλαγής κλίμακας αντίστροφα με τις αλλαγές των κλιμάκων των αξόνων αναφοράς: είναι αντιδιακυμενόμενα. Ως αποτέλεσμα, τα διανύσματα συχνά έχουν μονάδες απόστασης ή την απόσταση πολλαπλασιαζόμενη με μια άλλη μονάδα (όπως η ταχύτητα). Αντίθετα, τα διπλά διανύσματα τυπικά έχουν μονάδες αντίστροφες τις απόστασης ή το αντίστροφο της απόστασης πολλαπλασιαζόμενο με μια άλλη μονάδα. Ένα παράδειγμα ενός διπλού διανύσματος είναι η παράγωγος η οποία έχει μονάδες χωρικής παραγώγου ή απόσταση−1. Τα στοιχεία των διπλών διανυσμάτων αλλάζουν όμοια με τις αλλαγές των κλιμάκων των αξόνων αναφοράς: είναι συνδιακύμενα. Τα στοιχεία των διανυσμάτων και των διπλών διανυσμάτων επίσης μεταλλάσσονται με τον ίδιο τρόπο υπό γενικότερες αλλαγές βάσης. * Ένα διάνυσμα (όπως ένα προσανατολισμένο διάνυσμα ή ένα διάνυσμα ταχύτητας), για να είναι ανεξάρτητο βάσης, τα στοιχεία του διανύσματος θα πρέπει να αντιδιακυμαίνονται με μια αλλαγή βάσης. Δηλαδή ο πίνακας που μετατρέπει τα διανύσματα των στοιχείων πρέπει να είναι αντίστροφος από τον πίνακα που μετατρέπει τα διανύσματα της βάσης. Τα στοιχεία των διανυσμάτων (αντίθετα με αυτά των διπλών διανυσμάτων) λέγονται αντιδιακύμενα. Παραδείγματα διανυσμάτων με αντίστροφα στοιχεία περιλαμβάνουν τη θέση ενός αντικειμένου αναφορικά με έναν παρατηρητή ή οποιαδήποτε παράγωγο της απόστασης σε σχέση με τον χρόνο, περιλαμβάνοντας την ταχύτητα, την επιτάχυνση και την κίνηση. Στην σημειογραφεία του Αϊνστάιν, τα αντιδιακύμενα στοιχεία συμβολίζονται με άνω δείκτες όπως στο * Ένα διπλό διάνυσμα, για να είναι ανεξάρτητο βάσης, θα πρέπει τα στοιχεία τού διπλού διανύσματος να συνδιακυμαίνονται με μια αλλαγή βάσης, ώστε να αναπαριστούν το ίδιο διπλό διάνυσμα. Δηλαδή τα στοιχεία πρέπει να μετατρέπονται από πίνακα ίδιο με αυτόν της αλλαγής της βάσης. Τα στοιχεία των διπλών διανυσμάτων (αντίθετα με αυτά των απλών διανυσμάτων) λέγονται συνδιακύμενα. Παραδείγματα συνδιακυμένων διανυσμάτων γενικά εμφανίζονται, όταν παίρνουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης. Στην σημειογραφία του Αϊνστάιν, τα συνδιακύμενα στοιχεία συμβολίζονται με κάτω δείκτες όπως στο * Καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων, όπως κυλινδρικές ή σφαιρικές συντεταγμένες, χρησιμοποιούνται συχνά σε γεωμετρικά προβλήματα και προβλήματα φυσικής. Σε σύνδεση με κάθε σύστημα συντεταγμένων είναι μία φυσική επιλογή της βάσης των συντεταγμένων για διανύσματα που βασίζονται σε κάθε σημείο του χώρου και η συνδιακύμανση και η αντιδιακύμανση είναι ιδιαίτερα σημαντικές, για να καταλάβουμε πώς αλλάζει η περιγραφή των συντεταγμένων ενός διανύσματος, καθώς μεταπηδούμε από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο. Οι όροι συνδιακύμανση και αντιδιακύμανση εισήχθησαν από τον το με σκοπό να μελετήσει την αλγεβρική αμετάβλητη θεωρία. Στο πλαίσιο αυτό, για παράδειγμα, ένα σύστημα ταυτόχρονων εξισώσεων είναι αντιδιακύμενο στις μεταβλητές. Οι πίνακες είναι αντικείμενα στην γραμμική άλγεβρα που μπορούν να έχουν απόψεις συνδιακύμανσης και αντιδιακύμανσης. Η χρήση και των δυο όρων στο σύγχρονο πλαίσιο της γραμμικής άλγεβρας είναι ένα συγκεκριμένο παράδειγμα αντίστοιχων εικόνων στη θεωρία κατηγοριών. (el) In physics, especially in multilinear algebra and tensor analysis, covariance and contravariance describe how the quantitative description of certain geometric or physical entities changes with a change of basis. In modern mathematical notation, the role is sometimes swapped. In physics, a basis is sometimes thought of as a set of reference axes. A change of scale on the reference axes corresponds to a change of units in the problem. For instance, by changing scale from meters to centimeters (that is, dividing the scale of the reference axes by 100), the components of a measured velocity vector are multiplied by 100. A vector changes scale inversely to changes in scale to the reference axes, and consequently is called contravariant. As a result, a vector often has units of distance or distance with other units (as, for example, velocity has units of distance divided by time). In contrast, a covector, also called a dual vector, typically has units of the inverse of distance or the inverse of distance with other units. For example, a gradient which has units of a spatial derivative, or distance−1. The components of a covector changes in the same way as changes to scale of the reference axes, and consequently is called covariant. A third concept related to covariance and contravariance is invariance. An example of a physical observable that does not change with a change of scale on the reference axes is the mass of a particle, which has units of mass (that is, no units of distance). The single, scalar value of mass is independent of changes to the scale of the reference axes and consequently is called invariant. Under more general changes in basis: * A contravariant vector or tangent vector (often abbreviated simply as vector, such as a direction vector or velocity vector) has components that contra-vary with a change of basis to compensate. That is, the matrix that transforms the vector components must be the inverse of the matrix that transforms the basis vectors. The components of vectors (as opposed to those of covectors) are said to be contravariant. Examples of vectors with contravariant components include the position of an object relative to an observer, or any derivative of position with respect to time, including velocity, acceleration, and jerk. In Einstein notation (implicit summation over repeated index), contravariant components are denoted with upper indices as in * A covariant vector or cotangent vector (often abbreviated as covector) has components that co-vary with a change of basis. That is, the components must be transformed by the same matrix as the change of basis matrix. The components of covectors (as opposed to those of vectors) are said to be covariant. Examples of covariant vectors generally appear when taking a gradient of a function. In Einstein notation, covariant components are denoted with lower indices as in Curvilinear coordinate systems, such as cylindrical or spherical coordinates, are often used in physical and geometric problems. Associated with any coordinate system is a natural choice of coordinate basis for vectors based at each point of the space, and covariance and contravariance are particularly important for understanding how the coordinate description of a vector changes by passing from one coordinate system to another. The terms covariant and contravariant were introduced by James Joseph Sylvester in 1851 in the context of associated algebraic forms theory. Tensors are objects in multilinear algebra that can have aspects of both covariance and contravariance. In the lexicon of category theory, covariance and contravariance are properties of functors; unfortunately, it is the lower-index objects (covectors) that generically have pullbacks, which are contravariant, while the upper-index objects (vectors) instead have pushforwards, which are covariant. This terminological conflict may be avoided by calling contravariant functors "cofunctors"—in accord with the "covector" terminology, and continuing the tradition of treating vectors as the concept and covectors as the coconcept. (en) Covarianza y contravarianza son conceptos empleados frecuentemente en áreas de la matemática y la física teórica. Por regla general se refieren a que ciertos objetos matemáticos, que pueden representar alguna magnitud física, tienen alguna forma de invarianza de forma, es decir, la propiedad de permanecer sin cambio bajo un conjunto dado de transformaciones. En términos matemáticos, estas invarianzas de forma ocurren de una manera fundamental en el álgebra lineal y álgebra multilineal, geometría diferencial y otras ramas de la geometría, teoría de categorías y topología algebraica. En física, son importantes en el tratamiento de vectores y otras cantidades, como los tensores. Las teorías de relatividad especial (covarianza de Lorentz) y relatividad general (Covariancia general) usan vectores base covariantes bajo cambios de coordenadas. (es) Un vecteur contravariant est un vecteur, un vecteur covariant est une forme linéaire, encore appelé covecteur, ou encore vecteur dual. Et si on dispose d'un produit scalaire, on peut représenter une forme linéaire (= un vecteur covariant = un covecteur) par un vecteur à l'aide du théorème de représentation de Riesz (cette représentation dépend du choix du produit scalaire). Toutes ces notions sont indépendantes de représentation dans une base : mais à partir du moment où on choisit une base , la représentation des composantes des vecteurs, et des composantes des formes linéaires, est standard : elle se fait avec un indice en haut pour les composantes des vecteurs, comme , et un indice bas pour les composantes des formes linéaires, comme où est la base duale. Ce vocabulaire a été longtemps (et est encore souvent) associé au comportement des composantes lors d'un changement de base, en particulier les composantes d'un vecteur se transformant de manière inverse aux transformations des vecteurs de base : quand la transformation pour les vecteurs de base se lit matriciellement , alors la transformation pour les composantes se lit matriciellement , d'où le nom "contravariant" donné aux vecteurs (transformation "dans le sens inverse de "). Et les composantes des formes linéaires se transforment comme (transformation "dans le sens "). L'importance de la distinction entre vecteur covariant et contravariant se voit également dans l'étude de changement de base des tenseurs. Par exemple un tenseur 1 fois covariant et 1 fois contravariant (comme en endomorphisme) se transforme comme , alors qu'un tenseur deux fois covariant (comme un produit scalaire) se transforme comme . Dans le cadre usuel d'un changement de systèmes de coordonnées (non orthonormé), comme un changement du système cartésien au système polaire, on ne peut confondre ces formules. On confond souvent tenseur et calcul tensoriel ou matriciel (le calcul avec les formes multilinéaires), calculs indispensables entre autres en physique. Cependant, le calcul matriciel se concentre sur les calculs après représentation dans une base (où on retrouve la représentation en indices et en exposants), alors que les tenseurs, ou les champs de tenseurs (ici les champs de vecteurs et de formes linéaires), permettent une représentation par objets qui ont une existence indépendamment d'un "utilisateur" (indépendamment du choix d'une base ou du choix d'un produit scalaire). Ces tenseurs permettent, lorsqu'on fait un calcul tensoriel, d'être assuré que ce calcul est intrinsèque (résultat numérique indépendant de l'utilisateur). C'est un des apports essentiels de la géométrie différentielle à la physique. (fr) In matematica e fisica, in particolare in algebra multilineare e nel calcolo tensoriale, le nozioni di covarianza e controvarianza si riferiscono al modo in cui la descrizione di una data entità geometrica o fisica varia quando si effettua un cambiamento di coordinate, come una rotazione o una dilatazione dello spazio. Nel caso di una rotazione di una base ortogonale la differenza tra vettori e covettori non si percepisce. (it) In multilineaire algebra en tensoranalyse geven de termen covariant en contravariant aan hoe de betrokken grootheden veranderen bij een verandering van de basis. In de natuurkunde, bijvoorbeeld, kan een basis soms gezien worden als een assenstelsel. Een verandering van de eenheden van een der grootheden komt overeen met een verandering van de schaal op de overeenkomstige as. Wordt een grootheid, zoals de golflengte, niet meer in meters gemeten maar in centimeters, dan wordt de schaal op de as een factor 100 kleiner. De betrokken component moet dan een factor 100 groter worden om de grootte van de vector in stand te houden. Vectoren die op die manier, d.w.z. tegengesteld aan een basisverandering, reageren heten contravariant. Het golfgetal daarentegen, dat het aantal golven per lengte-eenheid aangeeft, wordt net als de eenheid met de factor 100 verkleind. Het reageert op dezelfde manier en is dus covariant. Covariante vectoren worden wel covectoren genoemd. De termen covariant en contravariant werden geïntroduceerd door J.J. Sylvester in 1853 in verband met de algebraïsche invariantentheorie. De overgang in een vectorruimte van de geordende basis op de geordende basis wordt formeel beschreven door de relatie , waarin de matrix als kolommen de coördinaten van de vectoren uit ten opzichte van de basis heeft. In einsteinnotatie luidt deze relatie: Voor de coördinaten van een vector : geldt: waarbij en de als kolomvectoren geschreven rijen coördinaten zijn. In einsteinnotatie: De coëfficiënten transformeren dus via , tegengesteld aan de overgang van de basis, die door wordt gegeven. De vector heet daarom een contravariante vector. Anders is het voor een duale vector uit de duale ruimte , die t.o.v. de duale basis wordt gegeven door: , Voor de duale basis geldt: , (waarbij de "vermenigvuldiging" van een lineaire functionaal (covector) met een vector het toepassen ervan op die vector is), zodat en voor de coëfficiënten geldt: waarbij en de als rijvectoren geschreven rijen coördinaten zijn. In einsteinnotatie: Deze coëfficiënten transformeren dus via , op dezelfde manier als de overgang van de basis, die door wordt gegeven. De vector heet daarom een covariante vector. (nl) 多重線型代数やテンソル解析における共変性（英: covariance）と反変性（英: contravariance）とは、ある幾何学的または物理的な対象に基底変換を施した際に、それがどのように変化をするかを表す。物理学では、基底は基準とする座標系の軸としばしば同一視される。 (ja) 다중 선형 대수학 및 텐서 해석에서, 공변성 및 반변성은 어떤 기하학적 또는 물리적 대상에 대한 정량적 기술이 기저(basis)의 변화에 따라 어떻게 변하는지를 기술한다. 물리학에서, 기저는 기준 축의 집합(a set of reference axes)으로 생각한다. 기준 축에 대해 이루어지는 스케일의 변화는 해당 문제에서 주어진 단위의 변화에 해당한다. 예를 들면, 미터에서 센티미터로 스케일을 변경하면(즉, 각 기준 축의 스케일을 100으로 나누면), 측정된 속도 벡터의 각 성분은 100 만큼 곱해져야 할 것이다. 벡터는 기준 축에 대한 스케일에서의 변화에 대해 반대로 스케일을 변화시키는, 거동을 보인다. 즉, 벡터는 반변적(contravariant)이다. 그 결과, 벡터는 종종 거리 또는 속도와 같이 거리에 어떤 다른 단위의 곱에 해당하는 단위를 갖는다. 이와 달리, 코벡터(covector, 또는 쌍대 벡터(dual vector)라고 불림)는 일반적으로 거리의 역수 또는 거리의 역수와 어떤 다른 단위의 곱에 해당하는 단위를 갖는다. 이러한 코벡터의 예는, 공간 도함수(spatial derivative)의 단위를 갖거나 거리의 역수의 단위를 갖는, 기울기(gradient)이다. 코벡터의 성분은 기준 축에서의 스케일 변화와 동일한 방식으로 변한다. 즉, 코벡터는 공변적(covariant)이다. 보다 일반적인 기저 변화 아래에서: * 기저-독립적인 (방향 벡터 또는 속도 벡터와 같은) 벡터의 경우, 벡터의 성분은 기저의 변화를 상쇄하도록 반대로 변해야 한다. 즉, 벡터 성분을 변환시키는 행렬은 기저 벡터를 변환하는 행렬의 역이어야 한다. 따라서 벡터의 성분은 코벡터의 성분과는 달리 반변적이라고 말한다. 반변적 성분을 갖는 벡터의 예시로, 관찰자에 대한 대상의 위치 또는 시간에 대한 위치의 도함수인 속도, 가속도, 및 가가속도 등이 있다. 아인슈타인 표기법이 사용되는 경우, 반변적 성분은, 아래와 같이, 위 첨자를 사용하여 표기된다. * 기저-독립적인 코벡터의 경우, 그 성분은 동일한 코벡터를 그대로 나타내기 위해 기저의 변화와 함께 변해야 한다. 즉, 그러한 성분은 기저 행렬의 변화와 동일한 행렬에 의해 변환되어야 한다. 코벡터의 성분은 벡터의 성분과는 반대로 공변적이라고 말하여진다. 공변 벡터는 일반적으로 어떤 함수의 그래디언트를 취할 때 나타난다. 아인슈타인 표기법을 사용하는 경우, 공변적 성분은 아래와 같이 아래 첨자를 사용하여 표기한다. 원통 또는 구 좌표와 같은 곡선 좌표계는 물리적 및 기하학적 문제에서 자주 사용된다. 좌표계는 공간 상의 각 점에서의 벡터를 나타내기 위한 좌표 기저의 선택과 연관되며, 공변성과 반변성은 한 벡터에 대한 좌표 기술이 한 좌표계에서 다른 좌표계로 넘어갈 때 어떻게 변하는지를 이해하는데 있어 특히 중요하다. 텐서는, 공변성 및 반변성의 특성을 모두 갖는, 다중 선형 대수학에서의 대상이다. (ko) Em álgebra multilinear e análise tensorial, covariância e contravariância correspondem à uma classificação quantitativa de certas entidades geométricas ou físicas, expressando como estas mudam com uma mudança de base. Em física, uma base é, por vezes, considerada como um conjunto de eixos de referência adequadamente graduados, a graduação definindo vetores de uma base. A uma mudança de escala em termos de eixos de referência (nos comprimentos dos vetores da base) corresponde uma mudança de unidades no problema, e igualmente nos valores das grandezas atreladas. Por exemplo, na mudança de escala de metros para centímetros (isto é, dividindo-se a escala dos eixos de referência por 100), os componentes de um vetor de velocidade irão multiplicar-se por 100. Grandezas que exibem esse comportamento de mudar inversamente de escala às mudanças na escala para os eixos de referência são classificados como contravariantes. Grandezas que se mostrem proporcionais ao fator de escala (no exemplo, que também se dividam por 100), são ditas covariantes. (pt) Ковариа́нтность и контравариа́нтность — используемые в математике (линейной алгебре, дифференциальной геометрии, тензорном анализе) и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры (скаляры, векторы, операторы, билинейные формы и т. д.) изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными — те, которые изменяются так же, как и базис. Связь между ковариантными и контравариантными координатами тензора возможна только в пространствах, где задан метрический тензор (не следует путать с метрическим пространством). Термины ковариантность и контравариантность были введены Сильвестром в 1853 году для исследований по алгебраической теории инвариантов. (ru) Kovarians och kontravarians beskriver inom multilinjär algebra och tensoranalys hur den kvantitativa beskrivningen av vissa geometriska eller fysikaliska enheter förändras vid ett basbyte. Inom fysiken betraktas en bas ibland som en uppsättning av referensaxlar. En förändring av referensaxlarnas skala motsvarar en förändring av problemets enheter. Till exempel, vid en ändring av skalan från meter till centimeter (det vill säga, att dela referensaxlarnas intervall med 100), kommer komponenterna till en uppmätt hastighetsvektor att multipliceras med 100. Vektorer uppvisar detta beteende att ändra skala omvänt till förändringar i skalan för referensaxlarna: de är kontravarianta. Som ett resultat, har vektorer ofta avståndsenheter eller avstånd multiplicerade någon annan enhet (som hastigheten). Däremot har duala vektorer (även kallade kovektorer) ofta enheter som är inversen av avståndet eller det omvända till distans multiplicerat med någon annan enhet. Ett exempel på en dual vektor är gradienten, som har enheter som en rumslig derivata, eller avstånd-1. Duala vektorers komponenter ändras på samma sätt som skaländringar av referensaxlar: de är kovarianta. Komponenterna hos vektorer och kovektorer transformerar också på samma sätt under mer generella förändringar av baser: * För att en vektor (såsom en riktningsvektor eller hastighetsvektor) skall vara oberoende av basen måste vektorns komponenter variera kontraindicerat vid ett basbyte för att kompensera. Det vill säga, den matris som omvandlar vektorns komponenter måste vara inversen till matrisen som transformerar basvektorerna. Vektorernas komponenter (i motsats till de duala vektorerna) sägs vara kontravarianta. Exempel på vektorer med kontravarianta komponenter inkluderar positionen för ett objekt i förhållande till en observatör, eller någon derivata av position med avseende på tiden, bland annat hastighet och acceleration. Med Einsteins notation, betecknas kontravarianta komponenter med övre index enligt * För att en dual vektor (också kallad en kovektor) skall vara oberoende av basen måste komponenterna till duala vektorer samvariera vid ett basbyte för att fortsätta att representera samma kovektor. Det vill säga, komponenterna måste omvandlas av samma matris som användes för basbytet. Komponenterna till duala vektorer (i motsats till vektorer) sägs vara kovarianta. Exempel på samvarierande vektorer visas i allmänhet hos gradienten till en funktion. Med Einsteins notation är samvarierande komponenter betecknade med undre index som i Kroklinjiga koordinatsystem, såsom cylindriska eller sfäriska koordinater, används ofta i fysikaliska och geometriska problem. Associerat till varje koordinatsystem är ett naturligt val av koordinatbas för vektorer baserade på varje punkt i rummet och kovarians och kontravarians är särskilt viktiga för att förstå hur koordinatbeskrivningen av en vektor förändras vid övergång från ett koordinatsystem till ett annat. Termerna kovarianta och kontravarianta infördes av James Joseph Sylvester 1853 i syfte att studera algebraiska invariantteorier. Tensorer är objekt inom multilinjär algebra som kan ha både kovarianta och kontravarianta element. (sv) 在數學裏，反變（contravariant，也稱逆變）和共變（covariant，也稱協變）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。 反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。 (zh) Коваріантність і контраваріантність — поняття, які використовуються в математиці (лінійній алгебрі, диференціальній геометрії, тензорному аналізі) і у фізиці, для опису того, як тензори (скаляри, вектори, оператори, білінійні форми тощо) змінюються при перетвореннях базисів у відповідних просторах або многовидах. Контраваріантними називають «звичайні» компоненти, які при зміні базису простору змінюються за допомогою перетворення, зворотного до перетворення базису. Коваріантними — ті, які змінюються так само, як і базис. Зв'язок між коваріантними і контраваріантними координатами тензора можливий тільки в просторах, де заданий метричний тензор (не слід плутати з метричним простором). Терміни коваріантність і контраваріантність були введені Сильвестром в 1853 році для досліджень з алгебричної теорії інваріантів. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Vector_1-form.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://zenodo.org/record/1432412/files/article.pdf http://www.ita.uni-heidelberg.de/~dullemond/lectures/tensor/tensor.pdf http://www.mathpages.com/home/kmath398/kmath398.htm |
| dbo:wikiPageID | 202886 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 34230 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124359858 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Proper_time dbr:Pushforward_(differential) dbr:Row_vector dbr:Scalar_(mathematics) dbr:Schrödinger_equation dbr:Bilinear_form dbr:Derivative dbr:Vector_(mathematics_and_physics) dbr:Vector_field dbr:Vector_space dbr:Velocity dbr:Invariant_(physics) dbc:Differential_geometry dbr:Column_vector dbr:Mass dbr:Orthonormal dbr:Tangent_bundle dbr:Pullback_(differential_geometry) dbr:Einstein_notation dbr:Gradient dbr:Momentum dbr:Multilinear_algebra dbr:Coordinate_system dbr:Coordinate_vector dbr:Orthogonal_basis dbr:Orthonormality dbr:Functor dbr:Physics dbr:Active_and_passive_transformation dbr:Adjective dbr:Three-dimensional dbr:Tuple dbr:Two-point_tensor dbr:Dual_basis dbr:Covariant_functor dbr:Linear_combination dbr:Acceleration dbc:Vectors_(mathematics_and_physics) dbr:Curvilinear_coordinates dbr:Cylindrical_coordinates dbr:Dual_space dbr:Euclidean_space dbr:Field_(mathematics) dbr:Force dbr:Direction_vector dbr:Linear_functional dbr:Tensor_field dbr:Position_(geometry) dbr:Invertible_matrix dbr:Jacobian_matrix dbr:James_Joseph_Sylvester dbr:Cotangent_bundle dbr:Tensor dbc:Riemannian_geometry dbc:Tensors dbr:Change_of_basis dbr:Jerk_(physics) dbr:Tensor_(intrinsic_definition) dbr:Mixed_tensor dbr:Differential_geometry dbr:Dirac_equation dbr:Displacement_(vector) dbr:Dot_product dbr:Manifold dbr:Position_space dbr:Special_relativity dbr:Spherical_coordinates dbr:Contravariant_functor dbr:Tensor_analysis dbr:Klein–Gordon_equation dbr:Kronecker_delta dbr:Metric_tensor dbr:Category_theory dbr:Rotation_(mathematics) dbr:Observable dbr:Inverse_matrix dbr:Tangent_vector dbr:Position_vector dbr:Basis_of_a_vector_space dbr:Basis_vector dbr:Cotangent_vector dbr:Covariance_and_contravariance_of_functors dbr:Covector dbr:Matrix_transpose dbr:Contraction_of_a_tensor dbr:1-form dbr:Curvilinear_coordinate_system dbr:File:Basis.svg dbr:File:Covariantcomponents.gif dbr:File:Vector_1-form.svg |
| dbp:id | p/c025970 (en) p/c026880 (en) |
| dbp:title | Contravariant Tensor (en) Contravariant tensor (en) Covariant Tensor (en) Covariant tensor (en) |
| dbp:urlname | ContravariantTensor (en) CovariantTensor (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Defn dbt:Springer dbt:= dbt:About dbt:Citation dbt:Cite_web dbt:Color_box dbt:I_sup dbt:Main dbt:MathWorld dbt:NumBlk dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Sub dbt:Sup dbt:EquationRef dbt:Glossary dbt:Glossary_end dbt:Term dbt:EquationNote dbt:Tensors |
| dct:subject | dbc:Differential_geometry dbc:Vectors_(mathematics_and_physics) dbc:Riemannian_geometry dbc:Tensors |
| rdfs:comment | In matematica e fisica, in particolare in algebra multilineare e nel calcolo tensoriale, le nozioni di covarianza e controvarianza si riferiscono al modo in cui la descrizione di una data entità geometrica o fisica varia quando si effettua un cambiamento di coordinate, come una rotazione o una dilatazione dello spazio. Nel caso di una rotazione di una base ortogonale la differenza tra vettori e covettori non si percepisce. (it) 多重線型代数やテンソル解析における共変性（英: covariance）と反変性（英: contravariance）とは、ある幾何学的または物理的な対象に基底変換を施した際に、それがどのように変化をするかを表す。物理学では、基底は基準とする座標系の軸としばしば同一視される。 (ja) 在數學裏，反變（contravariant，也稱逆變）和共變（covariant，也稱協變）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。 反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。 (zh) Covariància i contravariància són conceptes emprats freqüentment en àrees de la matemàtica i la física teòrica. Per regla general es refereixen al fet que certs objectes matemàtics, que poden representar alguna magnitud física, tenen alguna forma d' de forma, és a dir, la propietat de romandre sense canvi sota un conjunt donat de transformacions. (ca) Στη γραμμική άλγεβρα και στην ανάλυση τανυστών η συνδιακύμανση και η αντιδιακύμανση περιγράφουν πώς αλλάζει η ποσοτική περιγραφή συγκεκριμένων γεωμετρικών ή φυσικών μεγεθών με αλλαγή της βάσης. Στη Φυσική κάποιες φορές μια βάση θεωρείται ένα σύστημα αξόνων. Μια αλλαγή της κλίμακας στους άξονες αναφοράς αντιστοιχεί σε μια αλλαγή των μονάδων στο πρόβλημα. Για παράδειγμα, αλλάζοντας την κλίμακα από μέτρα σε εκατοστά (δηλαδή διαιρώντας την κλίμακα των αξόνων αναφοράς με το 100) τα στοιχεία μιας μετρούμενης ταχύτητας διανύσματος θα πολλαπλασιαστούν με το 100. Τα διανύσματα παρουσιάζουν αυτήν την συμπεριφορά της αλλαγής κλίμακας αντίστροφα με τις αλλαγές των κλιμάκων των αξόνων αναφοράς: είναι αντιδιακυμενόμενα. Ως αποτέλεσμα, τα διανύσματα συχνά έχουν μονάδες απόστασης ή την απόσταση πολλαπλασι (el) In physics, especially in multilinear algebra and tensor analysis, covariance and contravariance describe how the quantitative description of certain geometric or physical entities changes with a change of basis. In modern mathematical notation, the role is sometimes swapped. Under more general changes in basis: The terms covariant and contravariant were introduced by James Joseph Sylvester in 1851 in the context of associated algebraic forms theory. Tensors are objects in multilinear algebra that can have aspects of both covariance and contravariance. (en) Covarianza y contravarianza son conceptos empleados frecuentemente en áreas de la matemática y la física teórica. Por regla general se refieren a que ciertos objetos matemáticos, que pueden representar alguna magnitud física, tienen alguna forma de invarianza de forma, es decir, la propiedad de permanecer sin cambio bajo un conjunto dado de transformaciones. (es) Un vecteur contravariant est un vecteur, un vecteur covariant est une forme linéaire, encore appelé covecteur, ou encore vecteur dual. Et si on dispose d'un produit scalaire, on peut représenter une forme linéaire (= un vecteur covariant = un covecteur) par un vecteur à l'aide du théorème de représentation de Riesz (cette représentation dépend du choix du produit scalaire). (fr) 다중 선형 대수학 및 텐서 해석에서, 공변성 및 반변성은 어떤 기하학적 또는 물리적 대상에 대한 정량적 기술이 기저(basis)의 변화에 따라 어떻게 변하는지를 기술한다. 물리학에서, 기저는 기준 축의 집합(a set of reference axes)으로 생각한다. 기준 축에 대해 이루어지는 스케일의 변화는 해당 문제에서 주어진 단위의 변화에 해당한다. 예를 들면, 미터에서 센티미터로 스케일을 변경하면(즉, 각 기준 축의 스케일을 100으로 나누면), 측정된 속도 벡터의 각 성분은 100 만큼 곱해져야 할 것이다. 벡터는 기준 축에 대한 스케일에서의 변화에 대해 반대로 스케일을 변화시키는, 거동을 보인다. 즉, 벡터는 반변적(contravariant)이다. 그 결과, 벡터는 종종 거리 또는 속도와 같이 거리에 어떤 다른 단위의 곱에 해당하는 단위를 갖는다. 보다 일반적인 기저 변화 아래에서: 텐서는, 공변성 및 반변성의 특성을 모두 갖는, 다중 선형 대수학에서의 대상이다. (ko) In multilineaire algebra en tensoranalyse geven de termen covariant en contravariant aan hoe de betrokken grootheden veranderen bij een verandering van de basis. In de natuurkunde, bijvoorbeeld, kan een basis soms gezien worden als een assenstelsel. Een verandering van de eenheden van een der grootheden komt overeen met een verandering van de schaal op de overeenkomstige as. Wordt een grootheid, zoals de golflengte, niet meer in meters gemeten maar in centimeters, dan wordt de schaal op de as een factor 100 kleiner. De betrokken component moet dan een factor 100 groter worden om de grootte van de vector in stand te houden. Vectoren die op die manier, d.w.z. tegengesteld aan een basisverandering, reageren heten contravariant. Het golfgetal daarentegen, dat het aantal golven per lengte-eenhe (nl) Em álgebra multilinear e análise tensorial, covariância e contravariância correspondem à uma classificação quantitativa de certas entidades geométricas ou físicas, expressando como estas mudam com uma mudança de base. (pt) Ковариа́нтность и контравариа́нтность — используемые в математике (линейной алгебре, дифференциальной геометрии, тензорном анализе) и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры (скаляры, векторы, операторы, билинейные формы и т. д.) изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными — те, которые изменяются так же, как и базис. (ru) Kovarians och kontravarians beskriver inom multilinjär algebra och tensoranalys hur den kvantitativa beskrivningen av vissa geometriska eller fysikaliska enheter förändras vid ett basbyte. Inom fysiken betraktas en bas ibland som en uppsättning av referensaxlar. En förändring av referensaxlarnas skala motsvarar en förändring av problemets enheter. Till exempel, vid en ändring av skalan från meter till centimeter (det vill säga, att dela referensaxlarnas intervall med 100), kommer komponenterna till en uppmätt hastighetsvektor att multipliceras med 100. Vektorer uppvisar detta beteende att ändra skala omvänt till förändringar i skalan för referensaxlarna: de är kontravarianta. Som ett resultat, har vektorer ofta avståndsenheter eller avstånd multiplicerade någon annan enhet (som hastigheten (sv) Коваріантність і контраваріантність — поняття, які використовуються в математиці (лінійній алгебрі, диференціальній геометрії, тензорному аналізі) і у фізиці, для опису того, як тензори (скаляри, вектори, оператори, білінійні форми тощо) змінюються при перетвореннях базисів у відповідних просторах або многовидах. Контраваріантними називають «звичайні» компоненти, які при зміні базису простору змінюються за допомогою перетворення, зворотного до перетворення базису. Коваріантними — ті, які змінюються так само, як і базис. (uk) |
| rdfs:label | Covariància i contravariància de vectors (ca) Συνδιακύμανση και αντιδιακύμανση διανυσμάτων (el) Covariance and contravariance of vectors (en) Covarianza y contravarianza (es) Vecteur contravariant, covariant et covecteur (fr) Covarianza e controvarianza (it) 벡터의 공변성 및 반변성 (ko) ベクトルの共変性と反変性 (ja) Contravariant en covariant (nl) Covariância e contravariância (pt) Kovarians och kontravarians (vektorer) (sv) Ковариантность и контравариантность (математика) (ru) Коваріантність і контраваріантність (математика) (uk) 共變和反變 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Covariance and contravariance of vectors wikidata:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-ca:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-el:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-es:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-fr:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-he:Covariance and contravariance of vectors http://hy.dbpedia.org/resource/Կովարիանտ_և_կոնտրավարիանտ_թենզոր dbpedia-it:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-ja:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-ko:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-nl:Covariance and contravariance of vectors http://pa.dbpedia.org/resource/ਵੈਕਟਰਾਂ_ਦੇ_ਕੋਵੇਰੀਅੰਸ_ਅਤੇ_ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਸ dbpedia-pt:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-ru:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-sl:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-sv:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-uk:Covariance and contravariance of vectors dbpedia-zh:Covariance and contravariance of vectors https://global.dbpedia.org/id/3H4G8 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Covariance_and_contravariance_of_vectors?oldid=1124359858&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Basis.svg wiki-commons:Special:FilePath/Covariantcomponents.gif wiki-commons:Special:FilePath/Vector_1-form.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Covariance_and_contravariance_of_vectors |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Covariance_&_contravariance_of_vectors dbr:Contravariant_vector dbr:Covariance_and_contravariance_of_tensors dbr:Covariant_and_contravariant_indices dbr:Covariant_vector |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Canonical_transformation dbr:Electromagnetic_four-potential dbr:Metric_tensor_(general_relativity) dbr:One-form_(differential_geometry) dbr:Bispinor dbr:Algebra_over_a_field dbr:Relativistic_angular_momentum dbr:Ricci_calculus dbr:Vector_field dbr:De_Donder–Weyl_theory dbr:Dynamic_fluid_film_equations dbr:Inclusion_map dbr:Index_notation dbr:Inhomogeneous_electromagnetic_wave_equation dbr:Invariant_(physics) dbr:Reciprocal_lattice dbr:Pseudotensor dbr:Pseudovector dbr:Compton_wavelength dbr:Connection_(mathematics) dbr:Connection_form dbr:Covariant_transformation dbr:Mass dbr:General_covariance dbr:Penrose_graphical_notation dbr:Reissner–Nordström_metric dbr:Pullback_(differential_geometry) dbr:Christoffel_symbols dbr:Einstein_notation dbr:Electromagnetic_wave_equation dbr:Energy–momentum_relation dbr:Gamma_matrices dbr:General_relativity dbr:Geometric_algebra dbr:Momentum dbr:Orthogonal_coordinates dbr:Levi-Civita_symbol dbr:Linear_form dbr:Lorentz_transformation dbr:Calculus_of_moving_surfaces dbr:Stress_(mechanics) dbr:Functor dbr:Hamilton–Jacobi_equation dbr:Structure_constants dbr:Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field dbr:Mathematics_of_general_relativity dbr:Matrix_representation_of_Maxwell's_equations dbr:Active_and_passive_transformation dbr:Two-point_tensor dbr:Covariance_&_contravariance_of_vectors dbr:Covariance_(disambiguation) dbr:Covariance_and_contravariance dbr:Line_element dbr:Linear_map dbr:Curvilinear_coordinates dbr:Dual_space dbr:Euclidean_vector dbr:Four-gradient dbr:Four-vector dbr:Parry_Moon dbr:Cauchy_momentum_equation dbr:Cauchy_stress_tensor dbr:Formation_matrix dbr:Four-current dbr:Four-tensor dbr:Frame_fields_in_general_relativity dbr:Glossary_of_tensor_theory dbr:History_of_quantum_field_theory dbr:Tensor_contraction dbr:Tensor_density dbr:Principle_of_relativity dbr:Introduction_to_the_mathematics_of_general_relativity dbr:James_Joseph_Sylvester dbr:Covariant_derivative dbr:Covariant_formulation_of_classical_electromagnetism dbr:Tensor dbr:Tensor_product dbr:Abstract_index_notation dbr:Change_of_basis dbr:Kerr_metric dbr:Lagrangian_mechanics dbr:Symmetry_(physics) dbr:Cobordism dbr:Holonomy dbr:Mixed_tensor dbr:Quantum_geometry dbr:Relativistic_Lagrangian_mechanics dbr:Differentiable_manifold dbr:Differential_form dbr:Dimensional_analysis dbr:Divergence dbr:Special_relativity dbr:Classical_electromagnetism_and_special_relativity dbr:Fermat's_and_energy_variation_principles_in_field_theory dbr:Field_(physics) dbr:Kronecker_delta dbr:Metric_tensor dbr:Cartesian_tensor dbr:Raising_and_lowering_indices dbr:Tensor_calculus dbr:Lorentz_covariance dbr:Row_and_column_vectors dbr:Zone_axis dbr:Wave_vector dbr:Weyl_equation dbr:Tensor_derivative_(continuum_mechanics) dbr:Vector_notation dbr:Tensor_network_theory dbr:Two-vector dbr:Skew_coordinates dbr:Tangent_vector dbr:True_vector dbr:Contravariant_vector dbr:Covariance_and_contravariance_of_tensors dbr:Covariant_and_contravariant_indices dbr:Covariant_vector |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Covariance_and_contravariance_of_vectors |
