Multiplicative group of integers modulo n (original) (raw)
Se define un grupo multiplicativo de enteros módulo n como un conjunto finito de enteros positivos menores que n siendo números coprimos respecto a n también. En notación matemática se definiría:
Property | Value |
---|---|
dbo:abstract | Die prime Restklassengruppe ist die Gruppe der primen Restklassen bezüglich eines Moduls . Sie wird als oder notiert. Die primen Restklassen sind genau die multiplikativ invertierbaren Elemente im Restklassenring. Die primen Restklassengruppen sind daher endliche abelsche Gruppen bezüglich der Multiplikation. Sie spielen in der Kryptographie eine bedeutende Rolle. Die Gruppe besteht aus den Restklassen , deren Elemente zu teilerfremd sind. Gleichwertig dazu muss für den Repräsentanten der Restklasse gelten, wobei ggT den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet. Darauf weist die Bezeichnung „prime Restklasse“ hin, für teilerfremd sagt man auch relativ prim. Die Gruppenordnung von ist durch den Wert der eulerschen φ-Funktion gegeben. (de) Se define un grupo multiplicativo de enteros módulo n como un conjunto finito de enteros positivos menores que n siendo números coprimos respecto a n también. En notación matemática se definiría: (es) In modular arithmetic, the integers coprime (relatively prime) to n from the set of n non-negative integers form a group under multiplication modulo n, called the multiplicative group of integers modulo n. Equivalently, the elements of this group can be thought of as the congruence classes, also known as residues modulo n, that are coprime to n.Hence another name is the group of primitive residue classes modulo n.In the theory of rings, a branch of abstract algebra, it is described as the group of units of the ring of integers modulo n. Here units refers to elements with a multiplicative inverse, which, in this ring, are exactly those coprime to n. This quotient group, usually denoted , is fundamental in number theory. It is used in cryptography, integer factorization, and primality testing. It is an abelian, finite group whose order is given by Euler's totient function: For prime n the group is cyclic and in general the structure is easy to describe, though even for prime n no general formula for finding generators is known. (en) Мультипликативная группа кольца вычетов по модулю m — мультипликативная группа обратимых элементов кольца вычетов по модулю m. При этом в качестве множества элементов может рассматриваться любая приведенная система вычетов по модулю m. (ru) 在同余理论中,模 n 的互质同余类组成一个乘法群,称为整数模 n 乘法群,也称为模 n 既约剩余类。在环理论中,一个抽象代数的分支,也称这个群为整数模 n 的环的单位群(单位是指乘法可逆元)。 这个群是数论的基石,在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如,关于这个群的阶(即群的“大小”),我们可以确定如果 n 是质数当且仅当阶数为 n-1。 (zh) В модульній арифметиці, множина класів рівності чисел, що є взаємно простими до модуля n утворюють групу над операцією множення відому як мультиплікативна група кільця лишків за модулем n (англ. Multiplicative group of integers modulo n, primitive residue classes modulo n). В теорії кілець, відгалуженні абстрактної алгебри, її описують як групу оборотних елементів кільця лишків за модулем n. (Оборотний елемент, тобто такий, що має обернений за модулем.) Ця група фундаментальна в теорії чисел. Вона знайшла застосування в криптографії, факторизації цілих чисел і перевірці на простоту. Наприклад, через знаходження порядку (тобто розміру) групи, можна визначити чи просте n: n просте тоді і тільки тоді, якщо порядок становить n − 1. (uk) |
dbo:wikiPageExternalLink | https://books.google.com/books%3Fid=xlIfdGPM9t4C&pg=PA105 http://hobbes.la.asu.edu/groups/groups.html |
dbo:wikiPageID | 1195234 (xsd:integer) |
dbo:wikiPageLength | 25991 (xsd:nonNegativeInteger) |
dbo:wikiPageRevisionID | 1100060641 (xsd:integer) |
dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:Carmichael_function dbr:Primitive_root_modulo_n dbr:Primality_test dbr:Bézout's_lemma dbr:Integer_factorization dbr:Quotient_ring dbr:Trivial_group dbr:Cryptography dbr:Quotient_group dbr:Classical_Latin dbr:English_language dbr:Gauss_sum dbr:Generating_set_of_a_group dbr:German_language dbr:Greatest_common_divisor dbr:Modular_arithmetic dbr:Modular_multiplicative_inverse dbr:Ideal_(ring_theory) dbc:Multiplication dbc:Modular_arithmetic dbr:Disquisitiones_Arithmeticae dbc:Finite_groups dbr:Cyclic_group dbr:Euler's_totient_function dbr:Fermat's_Little_Theorem dbr:Number_theory dbr:P-adic_number dbr:Biquadratic_reciprocity dbr:Product_of_rings dbr:Quadratic_reciprocity dbr:Ring_(mathematics) dbr:Group_(mathematics) dbr:Ring_(algebra) dbr:Abelian_group dbr:Abstract_algebra dbr:Chinese_remainder_theorem dbr:Least_common_multiple dbr:Direct_product_of_groups dbr:Springer_Science+Business_Media dbr:Congruence_class dbr:Coprime dbr:Group_isomorphism dbr:Group_of_units dbr:Integer dbr:Carmichael_number dbr:Klein_four-group dbr:Finite_group dbr:Torsion_subgroup dbr:Integers_modulo_n dbr:Lenstra_elliptic_curve_factorization dbr:Fundamental_theorem_of_finite_abelian_groups dbr:Ring_of_integers_modulo_n dbr:Exponent_of_a_group |
dbp:id | ModuloMultiplicationGroup (en) PrimitiveRoot (en) |
dbp:title | Modulo Multiplication Group (en) Primitive Root (en) |
dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Main_article dbt:Math dbt:MathWorld dbt:OEIS dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Group_theory_sidebar |
dct:subject | dbc:Multiplication dbc:Modular_arithmetic dbc:Finite_groups |
rdf:type | yago:Abstraction100002137 yago:Group100031264 yago:WikicatFiniteGroups |
rdfs:comment | Se define un grupo multiplicativo de enteros módulo n como un conjunto finito de enteros positivos menores que n siendo números coprimos respecto a n también. En notación matemática se definiría: (es) Мультипликативная группа кольца вычетов по модулю m — мультипликативная группа обратимых элементов кольца вычетов по модулю m. При этом в качестве множества элементов может рассматриваться любая приведенная система вычетов по модулю m. (ru) 在同余理论中,模 n 的互质同余类组成一个乘法群,称为整数模 n 乘法群,也称为模 n 既约剩余类。在环理论中,一个抽象代数的分支,也称这个群为整数模 n 的环的单位群(单位是指乘法可逆元)。 这个群是数论的基石,在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如,关于这个群的阶(即群的“大小”),我们可以确定如果 n 是质数当且仅当阶数为 n-1。 (zh) Die prime Restklassengruppe ist die Gruppe der primen Restklassen bezüglich eines Moduls . Sie wird als oder notiert. Die primen Restklassen sind genau die multiplikativ invertierbaren Elemente im Restklassenring. Die primen Restklassengruppen sind daher endliche abelsche Gruppen bezüglich der Multiplikation. Sie spielen in der Kryptographie eine bedeutende Rolle. (de) In modular arithmetic, the integers coprime (relatively prime) to n from the set of n non-negative integers form a group under multiplication modulo n, called the multiplicative group of integers modulo n. Equivalently, the elements of this group can be thought of as the congruence classes, also known as residues modulo n, that are coprime to n.Hence another name is the group of primitive residue classes modulo n.In the theory of rings, a branch of abstract algebra, it is described as the group of units of the ring of integers modulo n. Here units refers to elements with a multiplicative inverse, which, in this ring, are exactly those coprime to n. (en) В модульній арифметиці, множина класів рівності чисел, що є взаємно простими до модуля n утворюють групу над операцією множення відому як мультиплікативна група кільця лишків за модулем n (англ. Multiplicative group of integers modulo n, primitive residue classes modulo n). В теорії кілець, відгалуженні абстрактної алгебри, її описують як групу оборотних елементів кільця лишків за модулем n. (Оборотний елемент, тобто такий, що має обернений за модулем.) (uk) |
rdfs:label | Prime Restklassengruppe (de) Grupo multiplicativo de enteros módulo n (es) Multiplicative group of integers modulo n (en) Мультипликативная группа кольца вычетов (ru) Мультиплікативна група кільця лишків за модулем n (uk) 整数模n乘法群 (zh) |
owl:sameAs | freebase:Multiplicative group of integers modulo n yago-res:Multiplicative group of integers modulo n wikidata:Multiplicative group of integers modulo n dbpedia-de:Multiplicative group of integers modulo n dbpedia-es:Multiplicative group of integers modulo n dbpedia-he:Multiplicative group of integers modulo n dbpedia-ru:Multiplicative group of integers modulo n dbpedia-uk:Multiplicative group of integers modulo n dbpedia-vi:Multiplicative group of integers modulo n dbpedia-zh:Multiplicative group of integers modulo n https://global.dbpedia.org/id/EHcS |
prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Multiplicative_group_of_integers_modulo_n?oldid=1100060641&ns=0 |
foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Multiplicative_group_of_integers_modulo_n |
is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Zn* dbr:Zp* dbr:(Z/nZ)* dbr:Multiplicative_group_of_integers_mod_n dbr:Multiplicative_group_of_residues_modulo_n dbr:Z_n^* dbr:Z_p^* |
is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Carmichael_function dbr:Power_of_two dbr:Prime_power dbr:Primitive_root_modulo_n dbr:Multiplicative_group dbr:Multiplicative_order dbr:Cycle_graph_(algebra) dbr:Unit_(ring_theory) dbr:Okamoto–Uchiyama_cryptosystem dbr:One-way_function dbr:Quadratic_residue dbr:Circle_of_fifths dbr:Gaussian_integer dbr:Generating_set_of_a_group dbr:Modular_arithmetic dbr:Multiply-with-carry_pseudorandom_number_generator dbr:Arithmetic_function dbr:Lehmer_random_number_generator dbr:Shor's_algorithm dbr:Stickelberger's_theorem dbr:Wieferich_prime dbr:Galois_ring dbr:Cyclic_group dbr:Cyclotomic_field dbr:Euler's_theorem dbr:Euler's_totient_function dbr:Fermat_number dbr:Outer_automorphism_group dbr:Diffie–Hellman_key_exchange dbr:Dirichlet_character dbr:Discrete_logarithm dbr:Quadratic_Frobenius_test dbr:Group_(mathematics) dbr:Abstract_algebra dbr:ElGamal_encryption dbr:ElGamal_signature_scheme dbr:Tonelli–Shanks_algorithm dbr:Dihedral_group dbr:Fiat–Shamir_heuristic dbr:RSA_(cryptosystem) dbr:Secure_Remote_Password_protocol dbr:Klein_four-group dbr:Verifiable_secret_sharing dbr:Totative dbr:Schnorr_signature dbr:Schnorr_group dbr:Reduced_residue_system dbr:Singly_and_doubly_even dbr:Zn* dbr:Zp* dbr:(Z/nZ)* dbr:Multiplicative_group_of_integers_mod_n dbr:Multiplicative_group_of_residues_modulo_n dbr:Z_n^* dbr:Z_p^* |
is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Multiplicative_group_of_integers_modulo_n |