Cyclotomic field (original) (raw)
Kreisteilungskörper (auch: zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Kreisteilungskörper (auch: zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen. (de) In number theory, a cyclotomic field is a number field obtained by adjoining a complex root of unity to Q, the field of rational numbers. Cyclotomic fields played a crucial role in the development of modern algebra and number theory because of their relation with Fermat's Last Theorem. It was in the process of his deep investigations of the arithmetic of these fields (for prime n) – and more precisely, because of the failure of unique factorization in their rings of integers – that Ernst Kummer first introduced the concept of an ideal number and proved his celebrated congruences. (en) En teoría de números, un cuerpo ciclotómico es un cuerpo numérico que se obtiene al adjuntar una raíz primitiva de la unidad compleja a Q, el cuerpo de los números racionales. El n-ésimo cuerpo ciclotómico Q(ζn) (con n > 2) es obtenido mediante la adjunción de una n-ésima raíz primitiva de la unidad ζn a los números racionales. Los cuerpos ciclotómicos jugaron un papel crucial en el desarrollo del álgebra moderna y en teoría de números, debido a su relación con el último teorema de Fermat. Fue en el proceso de amplias investigaciones sobre la aritmética de esos cuerpos (para números primos n)– y más precisamente, el porqué del fallo de la factorización única en sus respectivos anillos de enteros – que Ernst Kummer introdujo por primera vez el concepto de un y demostró sus famosas . (es) En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps ℚ des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme ℚ(ζ) où ζ est une racine de l'unité. Ces corps jouent un rôle crucial, d'une part dans la compréhension de certaines équations diophantiennes : par exemple, l'arithmétique (groupe des classes, notamment) de leur anneau des entiers permet de montrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas (voir nombre premier régulier) ; mais aussi, dans la compréhension des extensions algébriques de ℚ, ce qui peut être considéré comme une version abstraite du problème précédent : le théorème de Kronecker-Weber, par exemple, assure que toute extension abélienne est contenue dans une extension cyclotomique. Enfin, la théorie d'Iwasawa permet d'étudier ces extensions cyclotomiques, en ne les considérant plus séparément, mais comme des familles cohérentes. Les extensions cyclotomiques peuvent aussi être définies pour d'autres corps : * pour les corps finis, la théorie est essentiellement complète ; * pour les corps locaux de caractéristique 0, elle est mieux comprise que pour le cas global ; * pour les corps de fonctions… (fr) 円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の 乗根 を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。 以下において、特に断らない限り、 とする。 (ja) In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclotomisch veld (Belgische term) of cyclotomisch lichaam (Nederlandse term) een getallenlichaam dat wordt verkregen door een complexe primitieve eenheidswortel toe te voegen aan het lichaam/veld van de rationale getallen. De naam, van Oudgrieks: κύκλος (kuklos), cirkel en τομή (tomḗ), snijden, snede, verwijst naar de verdeling van de eenheidscirkel door de eenheidswortels. (nl) 대수적 수론에서 원분체(圓分體, 영어: cyclotomic field)는 유리수체에 1의 거듭제곱근을 첨가하여 얻는 대수적 수체이다. (ko) In matematica, in particolare in teoria dei campi, un'estensione di campi è detta ciclotomica se è un sottocampo di e se si ottiene aggiungendo a una radice primitiva ennesima dell'unità. Di conseguenza è il campo di spezzamento su del polinomio I sottocampi di generati su da una radice primitiva dell'unità si dicono campi ciclotomici. Si dimostra che l'estensione ciclotomica ottenuta aggiungendo a un campo una radice primitiva -esima dell'unità (con primo) ha gruppo di Galois ciclico. In particolare, se si ha che il gruppo di Galois è isomorfo al gruppo . (it) Em teoria dos números, um corpo ciclotômico é um corpo numérico obtido por agregar uma raiz da unidade complexa a Q, o corpo dos números racionais. O corpo ciclotômico n-ésimo Q(ζn) (com n > 2) é obtido por agregar uma raiz de unidade n-ésima primitiva ζn aos números racionais. Os corpos ciclotômicos desempenham um papel crucial no desenvolvimento da moderna álgebra e teoria dos números por causa de sua relação com o último teorema de Fermat. Estão no processo de investigações mais profundas da aritmética destes corpos (para primos n) – e mais precisamente, por causa da falha da fatoração única em seus anéis de inteiros – que Ernst Kummer primeiramente introduziu o conceito de um e provou suas celebradas . (pt) Кругове поле (поле поділу кола) — поле що одержується приєднанням до поля раціональних чисел первісного кореня з одиниці степеня n, де n — деяке натуральне число. Іноді (локальним) круговим полем називають також поле виду , де — поле раціональних р-адичних чисел. Оскільки при непарному n, звичайно вважається, що . Тоді різним n відповідають неізоморфні поля . Кругові поля влаштовані «достатньо просто» і тому дають зручний експериментальний матеріал для створення загальних понять теорії чисел. Наприклад, поняття цілого алгебраїчного числа виникли спочатку при розгляді кругових полів. (uk) 在数论中，分圆域是在有理数域 中添加复数单位根进行扩张而得到的数域。将 次单位根 加入而得到的分圆域称为 次分圆域，记作 。 由于与费马最后定理的联系，分圆域在现代代数和数论的研究中扮演着重要的角色。正是因为库默尔对这些数域上（特别是当 p为素数时）的算术的深入研究，特别是在相应整环上唯一分解定理的失效，使得库默尔引入了理想数的概念，并证明了著名的。 (zh) Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле , порождённое присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня n-й степени из единицы . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел. Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа. Пример: состоит из комплексных чисел вида , где — рациональные числа. (ru) |
| dbo:wikiPageID | 30872462 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 13309 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1103352574 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:5_(number) dbr:65537_(number) dbr:Power_of_2 dbr:Quadratic_extension dbr:Root_of_unity dbr:Regular_polygon dbr:Ring_of_integers dbr:Cyclotomic_polynomial dbr:Unramified dbr:Degree_of_a_field_extension dbr:Index_of_a_subgroup dbr:Iwasawa_theory dbr:17_(number) dbr:Complex_number dbr:Conjugate_element_(field_theory) dbr:Constructible_polygon dbr:Natural_transformation dbr:Class_number_(number_theory) dbr:Fundamental_theorem_of_arithmetic dbr:Modular_arithmetic dbc:Cyclotomic_fields dbr:Ideal_number dbr:Kronecker–Weber_theorem dbr:Subgroup dbr:59_(number) dbr:67_(number) dbr:Bryan_John_Birch dbr:Galois_extension dbr:Galois_group dbr:Irreducible_polynomial dbr:Minimal_polynomial_(field_theory) dbr:J.W.S._Cassels dbr:Algebraic_integer dbr:257_(number) dbr:37_(number) dbr:Cyclotomic_unit dbr:Ernst_Kummer dbr:Euler's_totient_function dbr:Fermat's_Last_Theorem dbr:Field_(mathematics) dbr:Finite_extension dbr:Number_field dbr:Number_theory dbr:Discriminant_of_an_algebraic_number_field dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Isomorphism dbr:Regular_prime dbr:A._Frohlich dbr:Heptadecagon dbr:Adjunction_(field_theory) dbr:Prime_number dbr:Abelian_extension dbc:Algebraic_number_theory dbr:Abstract_algebra dbr:Academic_Press dbr:Karl_Rubin dbr:Kenkichi_Iwasawa dbr:3_(number) dbr:Splitting_field dbr:Field_extension dbr:Maximal_abelian_extension dbr:Integer dbr:Rational_number dbr:Serge_Lang dbr:Root_of_a_polynomial dbr:Finite_group dbr:Finitely_generated_abelian_group dbr:Torsion_subgroup dbr:Multiplicative_group_of_integers_modulo_n dbr:Unit_group dbr:Fermat_prime dbr:Kummer's_congruences dbr:Kummer's_criterion dbr:Frobenius_element dbr:Springer-Verlag dbr:P-adic_zeta_function dbr:Dirichlet_unit_theorem dbr:Primitive_root_of_unity dbr:Compass_and_straightedge dbr:Unique_factorization |
| dbp:id | p/c027570 (en) |
| dbp:title | Cyclotomic Field (en) Cyclotomic field (en) |
| dbp:urlname | CyclotomicField (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Columns-list dbt:ISBN dbt:Math dbt:Mathworld dbt:More_footnotes dbt:Mvar dbt:OEIS dbt:Reflist dbt:Sfn dbt:Short_description dbt:Sqrt dbt:Oeis dbt:Su |
| dcterms:subject | dbc:Cyclotomic_fields dbc:Algebraic_number_theory |
| gold:hypernym | dbr:Field |
| rdf:type | yago:WikicatCyclotomicFields yago:Field108569998 yago:GeographicalArea108574314 yago:Location100027167 yago:Object100002684 yago:PhysicalEntity100001930 yago:Region108630985 yago:YagoGeoEntity yago:YagoLegalActorGeo yago:YagoPermanentlyLocatedEntity yago:Tract108673395 |
| rdfs:comment | Kreisteilungskörper (auch: zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen. (de) In number theory, a cyclotomic field is a number field obtained by adjoining a complex root of unity to Q, the field of rational numbers. Cyclotomic fields played a crucial role in the development of modern algebra and number theory because of their relation with Fermat's Last Theorem. It was in the process of his deep investigations of the arithmetic of these fields (for prime n) – and more precisely, because of the failure of unique factorization in their rings of integers – that Ernst Kummer first introduced the concept of an ideal number and proved his celebrated congruences. (en) 円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の 乗根 を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。 以下において、特に断らない限り、 とする。 (ja) In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclotomisch veld (Belgische term) of cyclotomisch lichaam (Nederlandse term) een getallenlichaam dat wordt verkregen door een complexe primitieve eenheidswortel toe te voegen aan het lichaam/veld van de rationale getallen. De naam, van Oudgrieks: κύκλος (kuklos), cirkel en τομή (tomḗ), snijden, snede, verwijst naar de verdeling van de eenheidscirkel door de eenheidswortels. (nl) 대수적 수론에서 원분체(圓分體, 영어: cyclotomic field)는 유리수체에 1의 거듭제곱근을 첨가하여 얻는 대수적 수체이다. (ko) In matematica, in particolare in teoria dei campi, un'estensione di campi è detta ciclotomica se è un sottocampo di e se si ottiene aggiungendo a una radice primitiva ennesima dell'unità. Di conseguenza è il campo di spezzamento su del polinomio I sottocampi di generati su da una radice primitiva dell'unità si dicono campi ciclotomici. Si dimostra che l'estensione ciclotomica ottenuta aggiungendo a un campo una radice primitiva -esima dell'unità (con primo) ha gruppo di Galois ciclico. In particolare, se si ha che il gruppo di Galois è isomorfo al gruppo . (it) Кругове поле (поле поділу кола) — поле що одержується приєднанням до поля раціональних чисел первісного кореня з одиниці степеня n, де n — деяке натуральне число. Іноді (локальним) круговим полем називають також поле виду , де — поле раціональних р-адичних чисел. Оскільки при непарному n, звичайно вважається, що . Тоді різним n відповідають неізоморфні поля . Кругові поля влаштовані «достатньо просто» і тому дають зручний експериментальний матеріал для створення загальних понять теорії чисел. Наприклад, поняття цілого алгебраїчного числа виникли спочатку при розгляді кругових полів. (uk) 在数论中，分圆域是在有理数域 中添加复数单位根进行扩张而得到的数域。将 次单位根 加入而得到的分圆域称为 次分圆域，记作 。 由于与费马最后定理的联系，分圆域在现代代数和数论的研究中扮演着重要的角色。正是因为库默尔对这些数域上（特别是当 p为素数时）的算术的深入研究，特别是在相应整环上唯一分解定理的失效，使得库默尔引入了理想数的概念，并证明了著名的。 (zh) En teoría de números, un cuerpo ciclotómico es un cuerpo numérico que se obtiene al adjuntar una raíz primitiva de la unidad compleja a Q, el cuerpo de los números racionales. El n-ésimo cuerpo ciclotómico Q(ζn) (con n > 2) es obtenido mediante la adjunción de una n-ésima raíz primitiva de la unidad ζn a los números racionales. (es) En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps ℚ des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme ℚ(ζ) où ζ est une racine de l'unité. Les extensions cyclotomiques peuvent aussi être définies pour d'autres corps : * pour les corps finis, la théorie est essentiellement complète ; * pour les corps locaux de caractéristique 0, elle est mieux comprise que pour le cas global ; * pour les corps de fonctions… (fr) Em teoria dos números, um corpo ciclotômico é um corpo numérico obtido por agregar uma raiz da unidade complexa a Q, o corpo dos números racionais. O corpo ciclotômico n-ésimo Q(ζn) (com n > 2) é obtido por agregar uma raiz de unidade n-ésima primitiva ζn aos números racionais. (pt) Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле , порождённое присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня n-й степени из единицы . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел. Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа. (ru) |
| rdfs:label | Cyclotomic field (en) Kreisteilungskörper (de) Cuerpo ciclotómico (es) Estensione ciclotomica (it) Extension cyclotomique (fr) 원분체 (ko) 円分体 (ja) Cyclotomisch veld (nl) Corpo ciclotômico (pt) Круговое поле (ru) Кругове поле (uk) 分圆域 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Cyclotomic field yago-res:Cyclotomic field wikidata:Cyclotomic field dbpedia-de:Cyclotomic field dbpedia-es:Cyclotomic field dbpedia-fr:Cyclotomic field dbpedia-he:Cyclotomic field dbpedia-it:Cyclotomic field dbpedia-ja:Cyclotomic field dbpedia-ko:Cyclotomic field dbpedia-nl:Cyclotomic field dbpedia-pt:Cyclotomic field dbpedia-ru:Cyclotomic field dbpedia-uk:Cyclotomic field dbpedia-vi:Cyclotomic field dbpedia-zh:Cyclotomic field https://global.dbpedia.org/id/Xxby |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Cyclotomic_field?oldid=1103352574&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Cyclotomic_field |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Cyclotomic dbr:Cyclotomic_fields |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Catalan's_conjecture dbr:Quadratic_Gauss_sum dbr:Quadratic_field dbr:Quadratic_integer dbr:Root_of_unity dbr:List_of_algebraic_number_theory_topics dbr:Bernoulli_number dbr:Algebraic_number_field dbr:List_of_prime_numbers dbr:Riemann_hypothesis dbr:Ring_of_integers dbr:Cubic_field dbr:Cubic_reciprocity dbr:Cyclotomic_polynomial dbr:Integral_element dbr:Inverse_Galois_problem dbr:Iwasawa_theory dbr:Jacobi_sum dbr:Kyber dbr:Constructible_polygon dbr:Gaussian_period dbr:Gaussian_rational dbr:Quartic_reciprocity dbr:Eisenstein_integer dbr:Gauss_sum dbr:Gaussian_integer dbr:Conductor-discriminant_formula dbr:Conductor_(class_field_theory) dbr:Equidissection dbr:Andrew_Wiles dbr:Anupam_Saikia dbr:Arithmetic_function dbr:Ludwig_Stickelberger dbr:Stickelberger's_theorem dbr:Complex_multiplication dbr:Functional_equation_(L-function) dbr:Ideal_class_group dbr:Kronecker–Weber_theorem dbr:Kummer–Vandiver_conjecture dbr:Main_conjecture_of_Iwasawa_theory dbr:Adleman–Pomerance–Rumely_primality_test dbr:Wieferich_prime dbr:Galois_module dbr:Joe_P._Buhler dbr:Lawrence_C._Washington dbr:Minimal_polynomial_of_2cos(2pi/n) dbr:23_(number) dbr:Algebraic_integer dbr:Algebraic_number_theory dbr:Cyclotomic_unit dbr:Euclidean_algorithm dbr:Ferdinand_Georg_Frobenius dbr:Fermat's_Last_Theorem dbr:Field_(mathematics) dbr:P-adic_number dbr:Chebotarev's_density_theorem dbr:Discriminant_of_an_algebraic_number_field dbr:Glossary_of_field_theory dbr:Hilbert's_twelfth_problem dbr:List_of_Japanese_inventions_and_discoveries dbr:List_of_things_named_after_Carl_Friedrich_Gauss dbr:Quadratic_reciprocity dbr:Regular_prime dbr:Grunwald–Wang_theorem dbr:Hilbert–Speiser_theorem dbr:Prime_number dbr:Abelian_extension dbr:Abstract_algebra dbr:Kenkichi_Iwasawa dbr:Eisenstein_reciprocity dbr:Herbrand–Ribet_theorem dbr:Tensor_product_of_fields dbr:Modular_curve dbr:Reflection_theorem dbr:Artin_reciprocity_law dbr:CM-field dbr:Maillet's_determinant dbr:List_of_theorems dbr:List_of_unsolved_problems_in_mathematics dbr:Zahlbericht dbr:Topological_quantum_field_theory dbr:Proofs_of_quadratic_reciprocity dbr:P-adic_L-function dbr:Totally_imaginary_number_field dbr:Cyclotomic dbr:Cyclotomic_fields |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Cyclotomic_field |