Pascal's theorem (original) (raw)
في الهندسةِ الإسقاطية، تنصُّ مُبرهنةُ باسكال (بالإنجليزية: Pascal's theorem) على أنَّ لأيّ ستِّ نقاطٍ على قطعٍ مخروطيٍّ (أي: قطع ناقص، مكافئ أو زائد) وُصِلَت بينَهم قطعٌ مستقيمةٌ بأيّ ترتيبٍ بحيث تُشكّل سداسياً، فإنَّ أزواجَ الأضلاع المتقابلة من السداسي (أو امتداداتها) تتتلاقى في نقاطٍ تتسامتُ على خطّ يُسمّى خطَّ باسكال للسداسي. أسميت المبرهنة نسبةً إلى بليز باسكال، وتصحُّ أيضاً في الهندسةِ الإقليدية إلا أن هناك حالة خاصة من أن تتوازى المستقيمات ينبغي أن تؤخذ بعينِ الاعتبار.
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| dbo:abstract | في الهندسةِ الإسقاطية، تنصُّ مُبرهنةُ باسكال (بالإنجليزية: Pascal's theorem) على أنَّ لأيّ ستِّ نقاطٍ على قطعٍ مخروطيٍّ (أي: قطع ناقص، مكافئ أو زائد) وُصِلَت بينَهم قطعٌ مستقيمةٌ بأيّ ترتيبٍ بحيث تُشكّل سداسياً، فإنَّ أزواجَ الأضلاع المتقابلة من السداسي (أو امتداداتها) تتتلاقى في نقاطٍ تتسامتُ على خطّ يُسمّى خطَّ باسكال للسداسي. أسميت المبرهنة نسبةً إلى بليز باسكال، وتصحُّ أيضاً في الهندسةِ الإقليدية إلا أن هناك حالة خاصة من أن تتوازى المستقيمات ينبغي أن تؤخذ بعينِ الاعتبار. (ar) El teorema de Pascal (també anomenat Hexagrammum Mysticum Theorema) és un fonamental teorema de la geometria projectiva en què s'estableix que si un hexàgon arbitrari es troba inscrit en alguna secció cònica, i s'estenen els parells oposats de costats fins que es creuen, els tres punts en els quals s'intersecten es trobaran ubicats sobre una línia recta, anomenada la línia de Pascal d'aquesta configuració. El teorema de Pascal és una generalització del , i del del teorema de Brianchon. També és el teorema invers del teorema de Braikenridge-Maclaurin. Va ser descobert per Blaise Pascal el 1639 quan tenia 16 anys. El teorema de Pascal va ser generalitzat per Möbius el 1847. (ca) Der Satz von Pascal (nach Blaise Pascal) ist eine Aussage über ein 6-Eck auf einem nicht ausgearteten Kegelschnitt in einer projektiven Ebene. (de) En el ámbito de la geometría proyectiva, el teorema de Pascal (también denominado Hexagrammum Mysticum Theorem) establece que: En su configuración más clásica, el teorema se suele visualizar sobre un hexágono cíclico inscrito en una elipse (es decir, con sus vértices unidos correlativamente en el orden en que aparecen al recorrer la cónica). Sin embargo, el teorema también se cumple sea cual sea el orden en el que se conecten los seis puntos (de acuerdo con el concepto de hexágono ARBITRARIO que se incluye en el enunciado del teorema). De igual manera, se cumple para cualquier cónica (como es bien sabido, recta, circunferencia, elipse, parábola o hipérbola). Por ejemplo, en la segunda imagen se representa la materialización del teorema en un hexágono auto-intersecante inscrito en una elipse, en el que los puntos de la recta de Pascal resultan del corte de los propios lados del polígono, sin necesidad de prolongarlos. Así mismo, también se cumple en el caso de "hexágonos degenerados", en los que varios vértices pueden ser coincidentes entre sí (es decir, con lados de longitud cero), en la práctica polígonos de 5, 4 o 3 lados. En estos casos, los lados se sustituyen por tangentes a la cónica en los puntos dados. Este teorema es una generalización del teorema del hexágono de Pappus, y es el dual proyectivo del teorema de Brianchon. Fue descubierto por Blaise Pascal en 1639 cuando solamente tenía dieciséis años. En la figura (Teoremas de Pascal-Brianchon) puede verse una demostración del teorema utilizando el concepto de inversión y la propiedad de que una figura es una recta si y solo si su inversa es una circunferencia que pasa por el centro de inversión. El teorema fue generalizado por Möbius en 1847, en la siguiente forma: si un polígono con 4n + 2 lados se encuentra inscrito en una sección cónica, y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se intersecan en 2n + 1 puntos. Entonces si 2n puntos se encuentran sobre una línea común, el punto remanente también se encontrará ubicado sobre dicha línea. (es) In projective geometry, Pascal's theorem (also known as the hexagrammum mysticum theorem) states that if six arbitrary points are chosen on a conic (which may be an ellipse, parabola or hyperbola in an appropriate affine plane) and joined by line segments in any order to form a hexagon, then the three pairs of opposite sides of the hexagon (extended if necessary) meet at three points which lie on a straight line, called the Pascal line of the hexagon. It is named after Blaise Pascal. The theorem is also valid in the Euclidean plane, but the statement needs to be adjusted to deal with the special cases when opposite sides are parallel. This theorem is a generalization of Pappus's (hexagon) theorem, which is the special case of a degenerate conic of two lines with three points on each line. (en) Il existe plusieurs théorèmes de géométrie appelés théorème de Pascal. Le théorème de Pascal est un théorème de géométrie projective. Nous travaillons donc dans un plan projectif sur un corps commutatif quelconque K. (fr) パスカルの定理（パスカルのていり）は、ブレーズ・パスカルが16歳のときに発見した円錐曲線に関する定理である。 円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。更に拡張して、二次曲線上に異なる六つの点 P1 ～ P6をとると、直線 P1P2 と P4P5 の交点 Q1、P2P3 と P5P6 の交点 Q2、P3P4 と P6P1 の交点 Q3 は同一直線上にある。定理の証明の一つはうまく補助円を書くことで円の性質と三角形の相似だけで解くことができる。補助円を使わない証明も存在する。ブレーズ・パスカルの証明は歴史に残されていない。 この定理の双対、ブリアンションの定理によるとPiにおける接線と Pj における接線の交点を Rij とすると、3 直線 R12R45、R23R56、R34R61 は一点で交わる。 (ja) 파스칼의 정리(Pascal's theorem, -定理)는 기하학의 정리로, 프랑스의 작가, 수학자, 자연과학자인 블레즈 파스칼의 이름이 붙어 있다. 또는 신비로운 육각형(라틴어: hexagrammum mysticum 헥사그람뭄 미스티쿰[*])에 대한 정리라고도 한다. 이 정리는 유클리드 평면에서 다음과 같이 쓸 수 있다. * 어떤 원에 내접하는 육각형 ABCDEF의 변을 연장시킬 때, AB와 DE의 연장선의 교점을 M, BC와 EF의 연장선의 교점을 P, CD와 FA의 연장선의 교점을 N이라 하자. 그러면, M, N, P는 모두 한 직선 위에 놓인다. 여기서 M, N, P가 놓이는 직선을 파스칼의 직선(Pascal line)이라 한다. 일반적으로, 이 정리는 원뿐 아니라 유클리드 평면 상의 임의의 원뿔 곡선 상에서 서로 다른 점 A, B, C, D, E, F를 잡아 육각형을 만드는 경우에도 성립한다. (ko) De stelling van Pascal is een stelling uit de meetkunde die geformuleerd is door Blaise Pascal (1623-1662) en naar hem is vernoemd. (nl) In geometria, il teorema di Pascal, di Blaise Pascal, è uno dei teoremi base della teoria delle coniche. Premesso che sei punti ordinati , , , , , di una conica individuano un esagono inscritto in essa, il teorema di Pascal fornisce una condizione grafica caratteristica affinché un dato esagono sia inscrivibile in una conica. (it) Em geometria projetiva, o teorema de Pascal (formulado por Blaise Pascal quando tinha apenas 16 anos de idade) determina que num hexágono inscrito em uma cónica, as retas que contiverem os lados opostos interceptam-se em pontos colineares, ou seja se os seis vértices de um hexágono estão situados sobre uma circunferência e os três pares de lados opostos se intersectam, os três pontos de intersecção são colineares. É uma generalização do Teorema de Papo. O teorema de Pascal foi generalizado por Möbius em 1847 da seguinte forma: supondo um polígono com 4n + 2 lados inscrito numa secção cónica, os pares de lados opostos estendidos até se encontrarem em 2n + 1 pontos, então se 2n de tais pontos forem colineares, o último ponto estará também sobre essa linha. (pt) Twierdzenie Pascala – twierdzenie geometryczne udowodnione przez Blaise’a Pascala w wieku 16 lat. Twierdzenie to jest dualne w geometrii rzutowej do twierdzenia Brianchona (co oznacza, że twierdzenia te są równoważne). Najbardziej elementarny dowód twierdzenia Pascala wykorzystuje twierdzenie Menelaosa. Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Pappusa. (pl) Теорема Паскаля — теорема проєктивної геометрії, яка свідчить, що Теорема Паскаля двоїста до теореми Бріаншона. (uk) Теоре́ма Паска́ля — классическая теорема проективной геометрии. (ru) 帕斯卡定理指圆锥曲线的内接六边形其三条对边的交点共线。它与布列安桑定理对偶，是帕普斯定理的推广。（當這個圓錐曲線退化成兩條直線時，帕斯卡定理就會變成帕普斯定理） 该定理由法国数学家布莱士·帕斯卡于16岁时提出但並未證明，是射影几何中的一个重要定理。 (zh) |
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