Prüfer group (original) (raw)
In mathematics, specifically in group theory, the Prüfer p-group or the p-quasicyclic group or p∞-group, Z(p∞), for a prime number p is the unique p-group in which every element has p different p-th roots. The Prüfer p-groups are countable abelian groups that are important in the classification of infinite abelian groups: they (along with the group of rational numbers) form the smallest building blocks of all divisible groups. The groups are named after Heinz Prüfer, a German mathematician of the early 20th century.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | V teorii grup se pro prvočíslo p rozumí Prüferovou p-grupou taková p-grupa, v které má každý prvek p ptých odmocnin. Pro každé p existuje (až na izomorfismus) právě jedna Prüferova grupa a je značena . Prüferovy grupy jsou pojmenovány po německém matematikovi Heinzovi Prüferovi. Jedná se o spočetné Abelovy grupy. Prüferovy grupy mohou být reprezentovány podmnožinou komplexní jednotkové kružnice, do které jsou zařazeny právě všechny té odmocniny z jedné(násobení odpovídá skládání otáčení). Prüferovy grupy jsou divizibilní grupy, t.j. rovnice má řešení pro libovolné celé číslo a libovolný prvek grupy . Naopak každá divizibilní Abelova grupa je izomorfní Prüferových grup a kopií aditivní grupy racionálních čísel . (cs) In der Mathematik, speziell in der Gruppentheorie, nennt man für eine Primzahl p jede zur multiplikativen Gruppe isomorphe Gruppe eine p-Prüfergruppe oder eine p-quasizyklische Gruppe. besteht aus den komplexen Einheitswurzeln, deren Ordnung eine Potenz von p ist. Es handelt sich um eine abelsche, abzählbare Gruppe. Definitionsgemäß sind die p-Prüfergruppen untereinander isomorph, daher spricht man ohne nähere Präzisierung einfach von der p-Prüfergruppe. Man sagt, eine Gruppe G sei eine Prüfergruppe, wenn es eine Primzahl p gibt, so dass G eine p-Prüfergruppe ist. Die Prüfergruppen zu verschiedenen Primzahlen sind nicht isomorph. Die Prüfergruppen sind zu Ehren des Mathematikers Heinz Prüfer benannt. (de) En matemáticas, y en especial en teoría de grupos, el p-grupo de Prüfer, grupo p-cuasicíclico o el p∞-grupo, Z(p∞), para un número primo p es el único p-grupo en el que cada elemento tiene p p-ésimas raíces. El grupo se llama en honor a Heinz Prüfer. Es un grupo abeliano numerable que juega un importante papel en la clasificación de grupos abelianos infinitos. El p-grupo de Prüfer puede ser representado como un subgrupo del grupo circular, U(1), como el conjunto de las pnésimas raíces de la unidad con n que se extiende sobre todos los enteros no negativos: Alternativamente, el p-grupo de Prüfer puede ser visto como el p-subgrupo de Sylow de Q/Z, que consiste en aquellos elementos cuyo orden es una potencia de p: Hay una presentation (escrita aditivamente) El p-grupo de Prüfer es el único p-grupo infinito que es (cada conjunto finito de elementos genera un grupo cíclico). El p-grupo Prüfer es . En el lenguaje del álgebra universal, un grupo abeliano es si y sólo si éste es isomorfo a un p-grupo finito o isomorfo a un grupo de Prüfer. En la teoría de el p-grupo de Prüfer (dotado con la topología discreta) es el dual de Pontryagin del grupo compacto de los enteros p-ádicos, y el grupo de enteros p-ádicos es el dual de Pontryagin dual del p-grupo de Prüfer. Los p-grupos de Prüfer para todos los primos p son los únicos grupos infinitos cuyos subgrupos son totalmente ordenados por inclusión. Como no hay un de un p-grupo de Prüfer, éste es su propio . Esta sucesión de inclusiones expresa al p-grupo de Prüfer como el límite directo de sus subgrupos finitos. Como un -módulo, el p-grupo de Prüfer es artiniano, pero no noetheriano, y del mismo modo, como grupo, es pero no . Por lo tanto, se puede utilizar como un contraejemplo en contra de la idea de que cada módulo artiniano es noetheriano (considerando que todo anillo artiniano es noetheriano). (es) In mathematics, specifically in group theory, the Prüfer p-group or the p-quasicyclic group or p∞-group, Z(p∞), for a prime number p is the unique p-group in which every element has p different p-th roots. The Prüfer p-groups are countable abelian groups that are important in the classification of infinite abelian groups: they (along with the group of rational numbers) form the smallest building blocks of all divisible groups. The groups are named after Heinz Prüfer, a German mathematician of the early 20th century. (en) En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on appelle p-groupe de Prüfer, ou encore groupe p-quasi-cyclique, pour un nombre premier p donné, tout groupe isomorphe au groupe multiplicatif formé par les racines complexes de l'unité dont les ordres sont des puissances de p. C'est donc un p-groupe abélien dénombrable. Les p-groupes de Prüfer étant isomorphes entre eux, on parle volontiers « du » p-groupe de Prüfer, sans en préciser un en particulier. Nous dirons qu'un groupe G est un groupe de Prüfer s'il existe un nombre premier p tel que G soit un p-groupe de Prüfer. Les p-groupes de Prüfer sont ainsi nommés en l'honneur du mathématicien Heinz Prüfer. (fr) 군론에서 프뤼퍼 군(Prüfer群, 영어: Prüfer group)은 분모가 어떤 주어진 소수의 거듭제곱인 유리수들의 법 1 합동류들로 구성된 아벨 군이다. 여러 특수한 성질을 가진다. (ko) 数学、とくに群論において、素数 p に対して、プリューファー p 群 (Prüfer p-group) あるいは p 準巡回群 (p-quasicyclic group) あるいは p∞ 群 (p∞-group)、Z(p∞) とは、すべての元が p 個の相異なる p 乗根を持つような唯一の p-群である。群の名前は (Heinz Prüfer) にちなんでいる。無限アーベル群を分類する助けになる可算アーベル群である。 (ja) In matematica e più precisamente in teoria dei gruppi, il p-gruppo di Prüfer, Z(p∞), per un numero primo p, è l'unico gruppo di torsione in cui ogni elemento ha p radici p-esime. (it) In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de prüfer-p-groep of de -quasicyclische groep of -groep, , voor een priemgetal de unieke , waarin elk element verschillende -de-machtswortels heeft. Het begrip is genoemd naar de Duitse vroeg-twintigste-eeuwse wiskundige Heinz Prüfer. De prüfer--group kan worden weergegeven als een deelgroep van de cirkelgroep, , als de verzameling van -de eenheidswortels als loopt over alle niet-negatieve gehele getallen: (nl) Em matemática, especificamente na teoria de grupos, para cada número primo p, o p-grupo de Prüfer Z(p∞), também conhecido como p-grupo quase cíclico ou p∞-grupo, é o único subgrupo de torção em que todo elemento tem p raízes p-ésimas * O p-grupo de Prüfer pode ser representado como um subgrupo do grupo circular U(1), como sendo o conjunto das raízes pn-ésimas da unidade com n variando sobre todos os inteiros não negativos: * Alternativamente, o p-grupo de Prüfer pode ser visto como o p-subgrupo de Sylow de Q/Z consistindo daqueles elementos cuja ordem é uma potência de um primo p: * Há uma presentação (escrita aditivamente). * O p-grupo de Prüfer é o único infinito que é (todo conjunto finito de elementos gera um grupo cíclico). * O p-grupo de Prüfer é . (pt) Квазициклическая p-группа, для фиксированного простого числа p — это единственная p-группа, в которой из любого элемента можно извлечь ровно p корней p-й степени. Обычно обозначается как Z(p∞) Квазициклическую p-группу также её называют p-группой Прюфера, в честь немецкого математика Хайнца Прюфера. (ru) Grupa Prüfera, p-grupa Prüfera a. grupa p-quasicykliczna – dla ustalonej liczy pierwszej p, wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) grupa torsyjna, w której każdy niezerowy element ma p pierwiastków p-tego stopnia. Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Prüfera. * p-grupa Prüfera może być reprezentowana jako podgrupa grupy okręgu jednostkowego jako zbiór wszystkich możliwych pierwiastków z jedynki stopnia przy przebiegającym wszystkie nieujemne liczby całkowite: * Z drugiej strony p-grupę Prüfera można postrzegać jako p-podgrupę Sylowa grupy składającą się ze wszystkich elementów rzędu wyrażającego się jako potęga * Istnieje następująca p-grupy Prüfera (w zapisie addytywnym): * p-grupa Prüfera jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) nieskończoną p-grupą, która jest (dowolny podzbiór skończony grupy generuje grupę cykliczną). Innymi słowy p-grupa jest p-grupą Prüfera wtedy i tylko wtedy, gdy jej każda podgrupa właściwa jest cykliczna oraz dla każdej liczby naturalnej istnieje w niej podgrupa rzędu * p-grupa Prüfera jest . * p-grupy Prüfera, dla wszystkich liczb pierwszych p, są jedynymi grupami nieskończonymi, których podgrupy są liniowo uporządkowane przez inkluzję. Ponieważ p-grupy Prüfera nie zawierają , to są one swoimi własnymi podgrupami Frattiniego. Poniższy ciąg zawierań przedstawia p-grupę Prüfera jako swoich podgrup skończonych: * W teorii p-grupa Prüfera (wyposażona w topologię dyskretną) jest do grupy zwartej p-adycznych liczb całkowitych, odwrotnie: p-grupa Prüfera jest sprzężeniem w sensie Pontryagina grupy p-adycznych liczb całkowitych. * Jako -moduł p-grupa Prüfera jest , lecz nie ; podobnie jako grupa: jest ona , ale nie (podgrupy grupy abelowej są abelowe i pokrywają się z odpowiednimi podmodułami tej grupy traktowanej jako -moduł). Ten fakt może służyć jako kontrprzykład na to, iż nie każdy moduł artinowski jest zarazem noetherowski (choć każdy pierścień artinowski jest noetherowski). (pl) У теорії груп p-групою Прюфера (або квазіциклічною p-групою) для фіксованого простого числа p називається єдина p-група в якій для будь-якого елементу існує рівно p коренів p-го степеня.Зазвичай позначається як Z(p∞). Названа на честь німецького математика Гайнца Прюфера. (uk) Inom matematiken är Prüfer-p-gruppen (även känd som p-kvasicykliska gruppen, p∞-gruppen eller Z(p∞) för ett primtal p den unika där varje element har p skilda p-te rötter. Gruppen är uppkallad efter Heinz Prüfer. Den är en uppräknelig abelsk grupp och är till hjälp då man klassificerar oändliga abelska grupper. (sv) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Prüfer.png?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 4885031 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 8003 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1095674439 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Root_of_unity dbr:Endomorphism_ring dbr:Module_(mathematics) dbr:Dyadic_rational dbr:Indecomposable_module dbr:Complex_number dbr:Countable_set dbr:Quotient_group dbr:Locally_compact_topological_group dbr:Locally_cyclic_group dbr:Frattini_subgroup dbr:Maximal_subgroup dbr:Totally_ordered dbr:Divisible_group dbr:Hausdorff_space dbr:Heinz_Prüfer dbr:Subdirectly_irreducible_algebra dbr:Cyclic_group dbr:Finite_set dbc:Infinite_group_theory dbr:Noetherian_group dbr:P-adic_integers dbr:P-adic_number dbr:Cardinal_number dbr:Direct_limit dbr:Direct_sum dbr:Inverse_limit dbr:Prime_number dbr:Artinian_group dbr:Abelian_group dbc:Abelian_group_theory dbr:Sylow_subgroup dbc:P-groups dbr:Discrete_topology dbr:Artinian_ring dbr:Circle_group dbr:Final_topology dbr:Group_theory dbr:Order_(group_theory) dbr:Rational_numbers dbr:P-group dbr:Uncountable_set dbr:Group_presentation dbr:Pontryagin_dual dbr:File:Prüfer.png |
| dbp:author | N.N. Vil'yams (en) |
| dbp:id | Q/q076440 (en) |
| dbp:title | Quasi-cyclic group (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Angbr dbt:Cite_book dbt:Math dbt:Reflist dbt:Ring_theory_sidebar |
| dct:subject | dbc:Infinite_group_theory dbc:Abelian_group_theory dbc:P-groups |
| rdfs:comment | In mathematics, specifically in group theory, the Prüfer p-group or the p-quasicyclic group or p∞-group, Z(p∞), for a prime number p is the unique p-group in which every element has p different p-th roots. The Prüfer p-groups are countable abelian groups that are important in the classification of infinite abelian groups: they (along with the group of rational numbers) form the smallest building blocks of all divisible groups. The groups are named after Heinz Prüfer, a German mathematician of the early 20th century. (en) 군론에서 프뤼퍼 군(Prüfer群, 영어: Prüfer group)은 분모가 어떤 주어진 소수의 거듭제곱인 유리수들의 법 1 합동류들로 구성된 아벨 군이다. 여러 특수한 성질을 가진다. (ko) 数学、とくに群論において、素数 p に対して、プリューファー p 群 (Prüfer p-group) あるいは p 準巡回群 (p-quasicyclic group) あるいは p∞ 群 (p∞-group)、Z(p∞) とは、すべての元が p 個の相異なる p 乗根を持つような唯一の p-群である。群の名前は (Heinz Prüfer) にちなんでいる。無限アーベル群を分類する助けになる可算アーベル群である。 (ja) In matematica e più precisamente in teoria dei gruppi, il p-gruppo di Prüfer, Z(p∞), per un numero primo p, è l'unico gruppo di torsione in cui ogni elemento ha p radici p-esime. (it) In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de prüfer-p-groep of de -quasicyclische groep of -groep, , voor een priemgetal de unieke , waarin elk element verschillende -de-machtswortels heeft. Het begrip is genoemd naar de Duitse vroeg-twintigste-eeuwse wiskundige Heinz Prüfer. De prüfer--group kan worden weergegeven als een deelgroep van de cirkelgroep, , als de verzameling van -de eenheidswortels als loopt over alle niet-negatieve gehele getallen: (nl) Квазициклическая p-группа, для фиксированного простого числа p — это единственная p-группа, в которой из любого элемента можно извлечь ровно p корней p-й степени. Обычно обозначается как Z(p∞) Квазициклическую p-группу также её называют p-группой Прюфера, в честь немецкого математика Хайнца Прюфера. (ru) У теорії груп p-групою Прюфера (або квазіциклічною p-групою) для фіксованого простого числа p називається єдина p-група в якій для будь-якого елементу існує рівно p коренів p-го степеня.Зазвичай позначається як Z(p∞). Названа на честь німецького математика Гайнца Прюфера. (uk) Inom matematiken är Prüfer-p-gruppen (även känd som p-kvasicykliska gruppen, p∞-gruppen eller Z(p∞) för ett primtal p den unika där varje element har p skilda p-te rötter. Gruppen är uppkallad efter Heinz Prüfer. Den är en uppräknelig abelsk grupp och är till hjälp då man klassificerar oändliga abelska grupper. (sv) V teorii grup se pro prvočíslo p rozumí Prüferovou p-grupou taková p-grupa, v které má každý prvek p ptých odmocnin. Pro každé p existuje (až na izomorfismus) právě jedna Prüferova grupa a je značena . Prüferovy grupy jsou pojmenovány po německém matematikovi Heinzovi Prüferovi. Jedná se o spočetné Abelovy grupy. Prüferovy grupy mohou být reprezentovány podmnožinou komplexní jednotkové kružnice, do které jsou zařazeny právě všechny té odmocniny z jedné(násobení odpovídá skládání otáčení). (cs) In der Mathematik, speziell in der Gruppentheorie, nennt man für eine Primzahl p jede zur multiplikativen Gruppe isomorphe Gruppe eine p-Prüfergruppe oder eine p-quasizyklische Gruppe. besteht aus den komplexen Einheitswurzeln, deren Ordnung eine Potenz von p ist. Es handelt sich um eine abelsche, abzählbare Gruppe. Die Prüfergruppen sind zu Ehren des Mathematikers Heinz Prüfer benannt. (de) En matemáticas, y en especial en teoría de grupos, el p-grupo de Prüfer, grupo p-cuasicíclico o el p∞-grupo, Z(p∞), para un número primo p es el único p-grupo en el que cada elemento tiene p p-ésimas raíces. El grupo se llama en honor a Heinz Prüfer. Es un grupo abeliano numerable que juega un importante papel en la clasificación de grupos abelianos infinitos. El p-grupo de Prüfer puede ser representado como un subgrupo del grupo circular, U(1), como el conjunto de las pnésimas raíces de la unidad con n que se extiende sobre todos los enteros no negativos: El p-grupo Prüfer es . (es) En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on appelle p-groupe de Prüfer, ou encore groupe p-quasi-cyclique, pour un nombre premier p donné, tout groupe isomorphe au groupe multiplicatif formé par les racines complexes de l'unité dont les ordres sont des puissances de p. C'est donc un p-groupe abélien dénombrable. Les p-groupes de Prüfer étant isomorphes entre eux, on parle volontiers « du » p-groupe de Prüfer, sans en préciser un en particulier. Nous dirons qu'un groupe G est un groupe de Prüfer s'il existe un nombre premier p tel que G soit un p-groupe de Prüfer. (fr) Em matemática, especificamente na teoria de grupos, para cada número primo p, o p-grupo de Prüfer Z(p∞), também conhecido como p-grupo quase cíclico ou p∞-grupo, é o único subgrupo de torção em que todo elemento tem p raízes p-ésimas (pt) Grupa Prüfera, p-grupa Prüfera a. grupa p-quasicykliczna – dla ustalonej liczy pierwszej p, wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) grupa torsyjna, w której każdy niezerowy element ma p pierwiastków p-tego stopnia. Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Prüfera. (pl) |
| rdfs:label | Prüferova grupa (cs) Prüfergruppe (de) Grupo de Prüfer (es) Groupe de Prüfer (fr) Gruppo di Prüfer (it) 프뤼퍼 군 (ko) プリューファー群 (ja) Prüfer group (en) Prüfer-groep (nl) Grupa Prüfera (pl) Grupo de Prüfer (pt) Квазициклическая группа (ru) Prüfergrupp (sv) Група Прюфера (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Prüfer group wikidata:Prüfer group dbpedia-cs:Prüfer group dbpedia-de:Prüfer group dbpedia-es:Prüfer group dbpedia-fr:Prüfer group dbpedia-it:Prüfer group dbpedia-ja:Prüfer group dbpedia-ko:Prüfer group dbpedia-nl:Prüfer group dbpedia-pl:Prüfer group dbpedia-pt:Prüfer group dbpedia-ru:Prüfer group dbpedia-sv:Prüfer group dbpedia-uk:Prüfer group dbpedia-vi:Prüfer group https://global.dbpedia.org/id/2A3aQ |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Prüfer_group?oldid=1095674439&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Prüfer.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Prüfer_group |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Pruefer_group dbr:Pruefer_p-group dbr:Prufer_group dbr:The_p-quasicyclic_group dbr:The_p∞-group dbr:Prufer_p-group dbr:Prüfer_p-group dbr:P-quasicyclic_group dbr:Quasi-cyclic_group dbr:Quasicyclic_group dbr:The_Prüfer_group dbr:The_Prüfer_p-group dbr:P∞-group |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Algebraically_compact_module dbr:Dyadic_rational dbr:Indecomposable_module dbr:Injective_hull dbr:Injective_module dbr:Signed-digit_representation dbr:Pruefer_group dbr:Pruefer_p-group dbr:Prufer_group dbr:Locally_cyclic_group dbr:Frattini_subgroup dbr:Krull–Schmidt_theorem dbr:Maximal_subgroup dbr:Heinz_Prüfer dbr:Locally_finite_group dbr:Subdirectly_irreducible_algebra dbr:Cyclic_group dbr:Field_(mathematics) dbr:Direct_limit dbr:Abelian_group dbr:Torsion_group dbr:Burnside_problem dbr:Circle_group dbr:The_p-quasicyclic_group dbr:The_p∞-group dbr:P-group dbr:Subgroup_series dbr:Prufer_p-group dbr:Prüfer_p-group dbr:P-quasicyclic_group dbr:Quasi-cyclic_group dbr:Quasicyclic_group dbr:The_Prüfer_group dbr:The_Prüfer_p-group dbr:P∞-group |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Prüfer_group |
