Root of unity (original) (raw)
En matemàtiques, una arrel de la unitat, o nombre de de Moivre és un nombre que dona 1 en ser elevat a algun exponent natural, és a dir, una arrel aritmètica del nombre 1. Al cos dels complexos totes les arrels de la unitat es localitzen sobre la circumferència goniomètrica del pla complex, exactament als punts d' racional (en graus).
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| dbo:abstract | En matemàtiques, una arrel de la unitat, o nombre de de Moivre és un nombre que dona 1 en ser elevat a algun exponent natural, és a dir, una arrel aritmètica del nombre 1. Al cos dels complexos totes les arrels de la unitat es localitzen sobre la circumferència goniomètrica del pla complex, exactament als punts d' racional (en graus). (ca) في الرياضيات، جذر الوحدة (بالإنجليزية: Root of unity) والذي قد يدعى عدد دي موافر، هو عدد عقدي يساوي واحدا عندما يُرفع إلى قوة عدد صحيح ما n. تستعمل جذور الوحدة في عدة مجالات ولها أهمية كبيرة في نظرية الأعداد ونظرية الحقول وتحويل فوريي المنقطع. مفهوم جذور الوحدة قابل للتعريف في أي حقل كان. انظر إلى محدد حلقة وإلى عدد صحيح جبري. وإلى حقل مغلق جبريا. (ar) Odmocnina z jedné je pojmem v matematice, kde se jím nejobecněji označuje každý prvek okruhu, který umocněn na nějaké celé číslo dává jednotkový prvek. Zvláště významný případ představují odmocniny z jedné v tělese komplexních čísel, kde se někdy označují za de Moivrova čísla a jedná se o taková čísla, jejichž nějaká celočíselná mocnina je rovna jedné. Speciálně se n-tou odmocninou z jedné pro n z kladných přirozených čísel rozumí takový prvek a, pro který platí . Taková odmocnina se dále nazývá primitivní n-tá odmocnina z jedné, pokud není k-tou odmocninou z jedné pro žádné . (cs) Ως m-οστό κυκλοτομικό σώμα ( cyclotomic field) ορίζουμε το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας στο μια m-οστή ρίζα της μονάδας ,δηλαδή είναι της μορφής με .Το σώμα αυτό περιέχει όλες τις m-οστές ρίζες της μονάδας και είναι το σώμα ριζών (spliting field) του m-οστού .Ακόμα ισχύει ότι όπου και η αριθμητική συνάρτηση του Euler. (el) In der Algebra werden Zahlen, deren -te Potenz die Zahl 1 ergibt, -te Einheitswurzeln genannt. (de) En matematiko, la n-radikoj de 1 aŭ nombroj de Moivre estas ĉiuj kompleksaj nombroj kiu donas nombron 1 se estas potencitaj je donita povo n. Ili situas en la unuocirklo de kompleksa ebeno kaj ili formas kiel verticoj n-flankitan regulan poligonon kun unu vertico en punkto 1. (eo) En matemática, las raíces n-ésimas de la unidad, o números de de Moivre[cita requerida], son todos los números complejos que dan 1 cuando son elevados a una potencia dada n. Se puede demostrar que están localizados en el círculo unitario del plano complejo y que en ese plano forman los vértices de un polígono regular de n lados con un vértice sobre el punto 1 de dicho plano, siempre que n>2. (es) En mathématiques, une racine de l'unité est un nombre complexe dont une puissance entière non nulle vaut 1, c'est-à-dire tel qu'il existe un nombre entier naturel non nul n tel que . Ce nombre est alors appelé racine n-ième de l'unité. Une racine n-ième de l'unité est dite primitive si elle est d'ordre exactement n, c'est-à-dire si n est le plus petit entier strictement positif pour lequel l'égalité est réalisée. Pour un entier n donné, les racines n-ièmes de l'unité sont situées sur le cercle unité du plan complexe et sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés. Les racines n-ièmes de l'unité du corps des complexes forment un groupe multiplicatif isomorphe au groupe additif ℤ/nℤ. Les générateurs de ce groupe cyclique sont les racines primitives n-ièmes de l'unité. On parle aussi de racine de l'unité et de racine primitive de l'unité dans un corps, voire un anneau unitaire quelconque. Les racines de l'unité forment toujours un groupe, mais qui n'est pas forcément cyclique. (fr) In mathematics, a root of unity, occasionally called a de Moivre number, is any complex number that yields 1 when raised to some positive integer power n. Roots of unity are used in many branches of mathematics, and are especially important in number theory, the theory of group characters, and the discrete Fourier transform. Roots of unity can be defined in any field. If the characteristic of the field is zero, the roots are complex numbers that are also algebraic integers. For fields with a positive characteristic, the roots belong to a finite field, and, conversely, every nonzero element of a finite field is a root of unity. Any algebraically closed field contains exactly n nth roots of unity, except when n is a multiple of the (positive) characteristic of the field. (en) In matematica, le radici -esime dell'unità sono tutti i numeri (reali o complessi) la cui -esima potenza è pari a , ovvero le soluzioni dell'equazione: (it) 1の冪根（いちのべきこん、英: root of unity）または1の累乗根（いちのるいじょうこん）とは、数学において冪乗して 1 になる（である）数のことである。すなわち、ある自然数 n が存在して zn = 1 となる z のことである。通常は複素数の範囲で考えるが、場合によっては p進数のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。 1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。 (ja) In de wiskunde zijn voor een gegeven positief geheel getal de complexe -de eenheidswortels, of de Moivre-getallen, alle complexe getallen die 1 opleveren, als zij tot de macht worden verheven. De eenheidswortels liggen op de eenheidscirkel van het complexe vlak en zij vormen in dat complexe vlak -zijdige regelmatige veelhoeken met een hoekpunt op 1. Heel algemeen is in een commutatieve ring met eenheid een eenheidswortel op analoge wijze gedefinieerd. (nl) 수학에서 1의 거듭제곱근(영어: root of unity)은 거듭제곱하여 1이 되는 복소수이다. 즉, 0이 아닌 복소수의 곱셈군의 꼬임 부분군의 원소이다. (ko) Em matemática, as raízes n-ésimas da unidade, ou números de de Moivre, são todos os números complexos que resultam 1 quando são elevados a n. Raízes da unidade são usadas em muitas áreas da matemática, sendo especialmente importantes para a teoria dos números, para a representação de caráter em teoria dos grupos, e para a transformada discreta de Fourier. Pode-se demonstrar que estão localizados no círculo unitário do plano complexo e que nesse plano formam os vértices de um polígono regular de n lados com um vértice sobre 1. Uma raiz n-ésima da unidade é chamada de primitiva (ou seja, uma raiz primitiva n-ésima da unidade) quando ela não é também uma raiz m-ésima da unidade para m < n. Por exemplo, i é uma raiz quarta e raiz oitava da unidade, mas é apenas uma raiz quarta primitiva da unidade. (pt) Pierwiastek z jedynki -tego stopnia w ciele K – element spełniający równość: gdzie jest dowolną liczbą naturalną większą od 0. Ciałem może być w szczególności ciało . (pl) I matematik är en (n:te) enhetsrot en lösning till en ekvation av utseendet xn = 1, där n är något positivt heltal. I allmänhet avses då lösningar som är komplexa tal. De n:te enhetsrötterna ligger utspridda jämnt på enhetscirkeln. De kan enkelt beskrivas på polär form, som Det är dock ibland intressantare att ange real- och imaginärdelarna direkt, som algebraiska uttryck. Exempelvis är de tredje enhetsrötterna och , och de fjärde enhetsrötterna är helt enkelt 1, i, -1 och -i. (sv) 数学上，次單位根是次冪為1的複數。它們位於复平面的单位圆上，構成正多边形的頂點，但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。 (zh) Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена , где . Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика которого не является делителем степени многочлена. Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье, теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп. (ru) Корінь n-го степеня з одиниці — комплексний корінь многочлена . Іншими словами, це комплексне число , для якого (uk) |
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Zvláště významný případ představují odmocniny z jedné v tělese komplexních čísel, kde se někdy označují za de Moivrova čísla a jedná se o taková čísla, jejichž nějaká celočíselná mocnina je rovna jedné. Speciálně se n-tou odmocninou z jedné pro n z kladných přirozených čísel rozumí takový prvek a, pro který platí . Taková odmocnina se dále nazývá primitivní n-tá odmocnina z jedné, pokud není k-tou odmocninou z jedné pro žádné . (cs) Ως m-οστό κυκλοτομικό σώμα ( cyclotomic field) ορίζουμε το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας στο μια m-οστή ρίζα της μονάδας ,δηλαδή είναι της μορφής με .Το σώμα αυτό περιέχει όλες τις m-οστές ρίζες της μονάδας και είναι το σώμα ριζών (spliting field) του m-οστού .Ακόμα ισχύει ότι όπου και η αριθμητική συνάρτηση του Euler. (el) In der Algebra werden Zahlen, deren -te Potenz die Zahl 1 ergibt, -te Einheitswurzeln genannt. (de) En matematiko, la n-radikoj de 1 aŭ nombroj de Moivre estas ĉiuj kompleksaj nombroj kiu donas nombron 1 se estas potencitaj je donita povo n. Ili situas en la unuocirklo de kompleksa ebeno kaj ili formas kiel verticoj n-flankitan regulan poligonon kun unu vertico en punkto 1. (eo) En matemática, las raíces n-ésimas de la unidad, o números de de Moivre[cita requerida], son todos los números complejos que dan 1 cuando son elevados a una potencia dada n. Se puede demostrar que están localizados en el círculo unitario del plano complejo y que en ese plano forman los vértices de un polígono regular de n lados con un vértice sobre el punto 1 de dicho plano, siempre que n>2. 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В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика которого не является делителем степени многочлена. Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье, теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп. (ru) Корінь n-го степеня з одиниці — комплексний корінь многочлена . Іншими словами, це комплексне число , для якого (uk) En mathématiques, une racine de l'unité est un nombre complexe dont une puissance entière non nulle vaut 1, c'est-à-dire tel qu'il existe un nombre entier naturel non nul n tel que . Ce nombre est alors appelé racine n-ième de l'unité. Une racine n-ième de l'unité est dite primitive si elle est d'ordre exactement n, c'est-à-dire si n est le plus petit entier strictement positif pour lequel l'égalité est réalisée. 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| rdfs:label | جذور الوحدة (رياضيات) (ar) Arrel de la unitat (ca) Odmocnina z jedné (cs) Einheitswurzel (de) Κυκλοτομικό σώμα (el) Radiko de unu (eo) Raíz de la unidad (es) Racine de l'unité (fr) Akar persatuan (in) Radice dell'unità (it) 1의 거듭제곱근 (ko) 1の冪根 (ja) Root of unity (en) Eenheidswortel (nl) Pierwiastek z jedynki (pl) Raiz da unidade (pt) Корни из единицы (ru) Enhetsrot (sv) Корінь з одиниці (uk) 单位根 (zh) |
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