Artinian ring (original) (raw)
En algèbre commutative, un anneau artinien est un anneau vérifiant la condition de chaîne descendante pour ses idéaux. Les anneaux artiniens doivent leur nom au mathématicien autrichien Emil Artin.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Artinovský okruh je pojem z oboru abstraktní algebry, přesněji teorie okruhů. Jedná se o takový okruh, který pro ideály splňuje , tedy v kterém neexistuje žádná nekonečná posloupnost ideálů . Název mají tyto okruhy podle matematika Emila Artina, který první odhalil, že podmínka klesajících řetězců pro ideály představuje zobecnění zároveň pro a pro okruhy, které jsou konečnědimenzionálními vektorovými prostory nad tělesem. Okruh se nazývá levě artinovský, pokud splňuje podmínku klesajících řetězců pro levé ideály, pravě artinovský pokud splňuje podmínku klesajících řetězců pro pravé ideály, a artinovský nebo oboustranně artinovský, pokud je levě i pravě artinovský. V případě komutativních okruhů jsou kvůli komutativitě levě artinovské stejné okruhy jako pravě artinovské. (cs) In mathematics, specifically abstract algebra, an Artinian ring (sometimes Artin ring) is a ring that satisfies the descending chain condition on (one-sided) ideals; that is, there is no infinite descending sequence of ideals. Artinian rings are named after Emil Artin, who first discovered that the descending chain condition for ideals simultaneously generalizes finite rings and rings that are finite-dimensional vector spaces over fields. The definition of Artinian rings may be restated by interchanging the descending chain condition with an equivalent notion: the minimum condition. Precisely, a ring is left Artinian if it satisfies the descending chain condition on left ideals, right Artinian if it satisfies the descending chain condition on right ideals, and Artinian or two-sided Artinian if it is both left and right Artinian. For commutative rings the left and right definitions coincide, but in general they are distinct from each other. The Artin–Wedderburn theorem characterizes every simple Artinian ring as a ring of matrices over a division ring. This implies that a simple ring is left Artinian if and only if it is right Artinian. The same definition and terminology can be applied to modules, with ideals replaced by submodules. Although the descending chain condition appears dual to the ascending chain condition, in rings it is in fact the stronger condition. Specifically, a consequence of the Akizuki–Hopkins–Levitzki theorem is that a left (resp. right) Artinian ring is automatically a left (resp. right) Noetherian ring. This is not true for general modules; that is, an Artinian module need not be a Noetherian module. (en) En algèbre commutative, un anneau artinien est un anneau vérifiant la condition de chaîne descendante pour ses idéaux. Les anneaux artiniens doivent leur nom au mathématicien autrichien Emil Artin. (fr) En álgebra, un anillo es artiniano por la izquierda si sus ideales por la izquierda satisfacen la condición de cadena descendente. Diremos que un anillo es artiniano si es artiniano por la izquierda y por la derecha. En los anillos conmutativos no se utiliza esta distinción, pues artiniano por un lado implica artiniano por el otro. Si un anillo es artiniano, entonces es noetheriano. (es) In algebra astratta, un anello artiniano è un anello in cui ogni successione decrescente di ideali è stazionaria (condizione della catena discendente). Come scoperto da Emil Artin, questa tipologia di anelli riunisce sotto la medesima classificazione due classi di anelli con proprietà simili: * anelli formati da un numero finito di elementi; * anelli che sono spazi vettoriali a dimensione finita su un campo. (it) 환론에서 아르틴 환(Artin環, 영어: Artinian ring)은 아이디얼들이 내림 사슬 조건을 만족하는 환이다. 표면적으로는 뇌터 환의 반대 개념이지만, 사실 뇌터 환보다 훨씬 강한 개념이다. 대수기하학적으로 아르틴 가환환의 스펙트럼은 0차원 뇌터 아핀 스킴에 해당한다. (ko) アルティン環（アルティンかん、Artinian ring、アルチン環とも）とは、降鎖条件から定まるある種の有限性をもった環のこと。名称はエミール・アルティンにちなむ。 (ja) In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een Artiniaanse ring een ring die voldoet aan de aflopende ketenvoorwaarde op idealen. Ze worden ook wel Artin-ringen genoemd en zijn vernoemd naar de Oostenrijks-Amerikaanse twintigste-eeuwse wiskundige Emil Artin, die als eerste ontdekte dat de aflopende ketenvoorwaarde voor idealen gelijktijdig eindige ringen en ook ringen, die eindig-dimensionale vectorruimten over velden zijn, veralgemeent. Een ring is links-Artiniaans, wanneer zij voldoet aan de aflopende ketenvoorwaarde op linkeridealen, rechts-Artiniaans, wanneer zij voldoet aan de aflopende ketenvoorwaarde op rechteridealen en Artiniaans of tweezijdig-Artiniaans als de ring zowel links- als rechts-Artiniaans is. Voor commutatieve ringen en voor de twee klassen van ringen die hierboven worden genoemd vallen deze concepten samen, maar in het algemeen zijn ze verschillend. De stelling van Artin-Wedderburn karakteriseert alle enkelvoudige Artiniaanse ringen als de matrixringen over een delingsring. Dit betekent dat voor enkelvoudige ringen, links- en rechts-Artiniaanse ringen samenvallen. Door de toe te passen is een linker (rechter) Artiniaanse ring automatisch een linker (rechter) Noetherse ring. Hoewel de aflopende ketenvoorwaarde vergelijkbaar lijkt met de ketenvoorwaarde, is de aflopende ketenvoorwaarde in commutatieve ringen in feite sterker. Elke Artiniaanse commutatieve ring is automatisch Noethers; een directe karakterisering van Artiniaanse ringen is dat een commutatieve ring R dan en slechts dan Artiniaans is als hij Noethers is, en als R nil(R) isomorf is aan een direct product van een eindig aantal velden, waar nil(R) de van R is. (nl) Pierścień artinowski – pierścień w którym każdy zstępujący (w sensie inkluzji) ciąg ideałów pierścienia stabilizuje się. Pojęcie pierścienia artinowskiego zostało wprowadzone w 1944 roku przez Emila Artina. Stabilizowanie się ciągu ideałów oznacza, że: . Jeśli dziedzina całkowitości jest pierścieniem artinowskim, to jest ciałem. By udowodnić to twierdzenie, wystarczy rozpatrzeć ciąg (dla dowolnego ) i pokazać, że jest elementem odwracalnym. (pl) Em álgebra abstrata, um anel artiniano é um anel que satisfaz a sobre ideais. Eles também são chamados de anéis de Artin e são assim chamados em homenagem a Emil Artin, que foi o primeiro a descobrir que a condição de cadeia descendente para ideias generaliza simultaneamente os e anéis que são espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo. A definição de anéis artinianos pode ser reformulada trocando-se a condição de cadeia descendente por uma noção equivalente: a condição minimal. Um anel é artiniano a esquerda se ele satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à esquerda, artiniano à direita se satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à direita e artiniano se ele é artiniano à direita e à esquerda. Para anéis comutativos as definições à esquerda e à direita coincidem, mas em geral elas são distintas uma da outra. O caracteriza todos os anéis artinianos como sobre um . Isso implica que um anel simples é artiniano à esquerda se e somente se ele é artiniano à direita. Embora a condição de cadeia descendente pareça ser dual à , em anéis ela é de fato a condição mais forte. Especificamente, uma consequência do é que um anel artiniano à esquerda (à direita) é automaticamente um anel noetheriano à esquerda (à direita). Isso não é verdade para módulos em geral, ou seja, um não precisa ser um . (pt) А́ртиново кольцо́ (по имени Э. Артина) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов стабилизируется, то есть начиная с некоторого Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве идеалов A существует минимальный элемент. В случае некоммутативного кольца A различают левые артиновы и правые артиновы кольца: первые удовлетворяют условию убывающих цепей для левых идеалов, а вторые — для правых. В общем случае левое артиново кольцо не обязательно является правым артиновым. Согласно теореме Артина — Веддербёрна, все простые артиновы кольца являются кольцами матриц над телом. В частности, простое кольцо является левым артиновым тогда и только тогда, когда оно является правым артиновым. Если в определении заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение нётерова кольца. Несмотря на то, что условие обрыва убывающих цепей двойственно к условию обрыва возрастающих, на самом деле первое условие является более сильным. Согласно любое левое (соотв. правое) артиново кольцо является левым (соотв. правым) нётеровым. (ru) 阿廷環是抽象代數中一類滿足降鏈條件的環，以其開創者埃米爾·阿廷命名。 (zh) Кільце Артіна — асоціативне кільце А з нейтральним елементом, в якому для будь-якої послідовності ідеалів починаючи з деякого виконуються рівності: Еквівалентним означенням є наступне: * Якщо довільна множина ідеалів деякого кільця містить найменший елемент, то таке кільце називається кільцем Артіна. Згідно з теоремою Акідзукі — Хопкінса — Левицького будь-яке кільце Артіна є також кільцем Нетер. (uk) |
| dbo:wikiPageID | 489273 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 8308 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1097537839 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Prime_ideal dbr:Module_(mathematics) dbr:Principal_ideal_ring dbr:Algebra_over_a_field dbr:Vector_space dbr:Dedekind_domain dbr:Integral_domain dbr:Jacobson_radical dbr:Quotient_ring dbr:Artin–Wedderburn_theorem dbc:Ring_theory dbr:Mathematics dbr:Nilradical_of_a_ring dbr:Noetherian_ring dbr:Serial_module dbr:Emil_Artin dbr:Localization_(commutative_algebra) dbr:Commutative_ring dbr:Composition_series dbr:Hopkins–Levitzki_theorem dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Krull_dimension dbr:Matrix_ring dbr:Maximal_ideal dbr:Local_ring dbr:Field_(mathematics) dbr:Finitely_generated_module dbr:Dimension_(vector_space) dbr:Gorenstein_ring dbr:Product_of_rings dbr:Ring_(mathematics) dbr:Hilbert_basis_theorem dbr:Surjective dbr:Abstract_algebra dbr:Division_ring dbr:Artin_algebra dbr:Artinian_ideal dbr:Artinian_module dbr:Ascending_chain_condition dbr:Polynomial_ring dbr:Zero_ideal dbr:If_and_only_if dbr:Integer dbr:Natural_numbers dbr:Semiperfect_ring dbr:Semisimple_ring dbr:Finite_ring dbr:Simple_ring dbr:Injective dbr:Noetherian_module dbr:Submodule dbr:Finite_length dbr:Minimum_condition dbr:Descending_chain_condition dbr:Hopkins'_theorem |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Citation_needed dbt:Cite_book |
| dcterms:subject | dbc:Ring_theory |
| gold:hypernym | dbr:Ring |
| rdf:type | dbo:AnatomicalStructure |
| rdfs:comment | En algèbre commutative, un anneau artinien est un anneau vérifiant la condition de chaîne descendante pour ses idéaux. Les anneaux artiniens doivent leur nom au mathématicien autrichien Emil Artin. (fr) En álgebra, un anillo es artiniano por la izquierda si sus ideales por la izquierda satisfacen la condición de cadena descendente. Diremos que un anillo es artiniano si es artiniano por la izquierda y por la derecha. En los anillos conmutativos no se utiliza esta distinción, pues artiniano por un lado implica artiniano por el otro. Si un anillo es artiniano, entonces es noetheriano. (es) In algebra astratta, un anello artiniano è un anello in cui ogni successione decrescente di ideali è stazionaria (condizione della catena discendente). Come scoperto da Emil Artin, questa tipologia di anelli riunisce sotto la medesima classificazione due classi di anelli con proprietà simili: * anelli formati da un numero finito di elementi; * anelli che sono spazi vettoriali a dimensione finita su un campo. (it) 환론에서 아르틴 환(Artin環, 영어: Artinian ring)은 아이디얼들이 내림 사슬 조건을 만족하는 환이다. 표면적으로는 뇌터 환의 반대 개념이지만, 사실 뇌터 환보다 훨씬 강한 개념이다. 대수기하학적으로 아르틴 가환환의 스펙트럼은 0차원 뇌터 아핀 스킴에 해당한다. (ko) アルティン環（アルティンかん、Artinian ring、アルチン環とも）とは、降鎖条件から定まるある種の有限性をもった環のこと。名称はエミール・アルティンにちなむ。 (ja) Pierścień artinowski – pierścień w którym każdy zstępujący (w sensie inkluzji) ciąg ideałów pierścienia stabilizuje się. Pojęcie pierścienia artinowskiego zostało wprowadzone w 1944 roku przez Emila Artina. Stabilizowanie się ciągu ideałów oznacza, że: . Jeśli dziedzina całkowitości jest pierścieniem artinowskim, to jest ciałem. By udowodnić to twierdzenie, wystarczy rozpatrzeć ciąg (dla dowolnego ) i pokazać, że jest elementem odwracalnym. (pl) 阿廷環是抽象代數中一類滿足降鏈條件的環，以其開創者埃米爾·阿廷命名。 (zh) Кільце Артіна — асоціативне кільце А з нейтральним елементом, в якому для будь-якої послідовності ідеалів починаючи з деякого виконуються рівності: Еквівалентним означенням є наступне: * Якщо довільна множина ідеалів деякого кільця містить найменший елемент, то таке кільце називається кільцем Артіна. Згідно з теоремою Акідзукі — Хопкінса — Левицького будь-яке кільце Артіна є також кільцем Нетер. (uk) Artinovský okruh je pojem z oboru abstraktní algebry, přesněji teorie okruhů. Jedná se o takový okruh, který pro ideály splňuje , tedy v kterém neexistuje žádná nekonečná posloupnost ideálů . Název mají tyto okruhy podle matematika Emila Artina, který první odhalil, že podmínka klesajících řetězců pro ideály představuje zobecnění zároveň pro a pro okruhy, které jsou konečnědimenzionálními vektorovými prostory nad tělesem. (cs) In mathematics, specifically abstract algebra, an Artinian ring (sometimes Artin ring) is a ring that satisfies the descending chain condition on (one-sided) ideals; that is, there is no infinite descending sequence of ideals. Artinian rings are named after Emil Artin, who first discovered that the descending chain condition for ideals simultaneously generalizes finite rings and rings that are finite-dimensional vector spaces over fields. The definition of Artinian rings may be restated by interchanging the descending chain condition with an equivalent notion: the minimum condition. (en) Em álgebra abstrata, um anel artiniano é um anel que satisfaz a sobre ideais. Eles também são chamados de anéis de Artin e são assim chamados em homenagem a Emil Artin, que foi o primeiro a descobrir que a condição de cadeia descendente para ideias generaliza simultaneamente os e anéis que são espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo. A definição de anéis artinianos pode ser reformulada trocando-se a condição de cadeia descendente por uma noção equivalente: a condição minimal. (pt) In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een Artiniaanse ring een ring die voldoet aan de aflopende ketenvoorwaarde op idealen. Ze worden ook wel Artin-ringen genoemd en zijn vernoemd naar de Oostenrijks-Amerikaanse twintigste-eeuwse wiskundige Emil Artin, die als eerste ontdekte dat de aflopende ketenvoorwaarde voor idealen gelijktijdig eindige ringen en ook ringen, die eindig-dimensionale vectorruimten over velden zijn, veralgemeent. Door de toe te passen is een linker (rechter) Artiniaanse ring automatisch een linker (rechter) Noetherse ring. (nl) А́ртиново кольцо́ (по имени Э. Артина) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов стабилизируется, то есть начиная с некоторого Согласно теореме Артина — Веддербёрна, все простые артиновы кольца являются кольцами матриц над телом. В частности, простое кольцо является левым артиновым тогда и только тогда, когда оно является правым артиновым. (ru) |
| rdfs:label | Artinovský okruh (cs) Artinian ring (en) Anillo artiniano (es) Anneau artinien (fr) Anello artiniano (it) 아르틴 환 (ko) アルティン環 (ja) Pierścień artinowski (pl) Artiniaanse ring (nl) Anel artiniano (pt) Артиново кольцо (ru) Кільце Артіна (uk) 阿廷環 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Artinian ring wikidata:Artinian ring dbpedia-cs:Artinian ring dbpedia-es:Artinian ring dbpedia-fa:Artinian ring dbpedia-fr:Artinian ring dbpedia-he:Artinian ring dbpedia-it:Artinian ring dbpedia-ja:Artinian ring dbpedia-ko:Artinian ring dbpedia-nl:Artinian ring dbpedia-pl:Artinian ring dbpedia-pms:Artinian ring dbpedia-pt:Artinian ring dbpedia-ru:Artinian ring dbpedia-uk:Artinian ring dbpedia-zh:Artinian ring https://global.dbpedia.org/id/4t6vz |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Artinian_ring?oldid=1097537839&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Artinian_ring |
| is dbo:knownFor of | dbr:Nicolae_Popescu__Nicolae_Popescu__1 |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Artinian |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Right-Artinian dbr:Right-Artinian_ring dbr:Right_Artinian dbr:Right_Artinian_ring dbr:Right_artinian dbr:Right_artinian_ring dbr:Left-Artinian dbr:Left-Artinian_ring dbr:Left_Artinian dbr:Left_Artinian_ring dbr:Left_artinian dbr:Left_artinian_ring dbr:Artin_ring dbr:Artinian_local_ring dbr:Simple_Artinian_ring |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Prüfer_group dbr:List_of_abstract_algebra_topics dbr:List_of_commutative_algebra_topics dbr:List_of_eponymous_adjectives_in_English dbr:Minimal_prime_ideal dbr:Multiplicity_(mathematics) dbr:Monomial_conjecture dbr:Semi-simplicity dbr:Principal_ideal_ring dbr:Primitive_ring dbr:Semiprime_ring dbr:René_Schoof dbr:Right-Artinian dbr:Right-Artinian_ring dbr:Right_Artinian dbr:Right_Artinian_ring dbr:Right_artinian dbr:Right_artinian_ring dbr:Double_centralizer_theorem dbr:Injective_module dbr:Integral_domain dbr:Introduction_to_Commutative_Algebra dbr:Jacobson_radical dbr:List_of_order_theory_topics dbr:Weil_algebra dbr:Nil_ideal dbr:Nilradical_of_a_ring dbr:Noetherian_ring dbr:Serial_module dbr:Glossary_of_algebraic_geometry dbr:Glossary_of_areas_of_mathematics dbr:Glossary_of_commutative_algebra dbr:Glossary_of_ring_theory dbr:Morita_equivalence dbr:Contou-Carrère_symbol dbr:Left-Artinian dbr:Left-Artinian_ring dbr:Left_Artinian dbr:Left_Artinian_ring dbr:Left_artinian dbr:Left_artinian_ring dbr:Artinian dbr:Commutative_ring dbr:Composition_series dbr:Zero_ring dbr:Frobenius_algebra dbr:Hopkins–Levitzki_theorem dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Krull_dimension dbr:Krull–Akizuki_theorem dbr:Principal_indecomposable_module dbr:Matrix_ring dbr:Wedderburn–Artin_theorem dbr:Dualizing_module dbr:K-theory dbr:Kasch_ring dbr:Laurent_polynomial dbr:Minimal_ideal dbr:Nilpotent_ideal dbr:Nicolae_Popescu dbr:Noncommutative_ring dbr:Goldie's_theorem dbr:Hilbert_series_and_Hilbert_polynomial dbr:Hilbert–Poincaré_series dbr:History_of_mathematical_notation dbr:Jordan–Chevalley_decomposition dbr:Regular_ideal dbr:Ring_(mathematics) dbr:Ring_theory dbr:Jacobson_density_theorem dbr:Semisimple_algebra dbr:Total_ring_of_fractions dbr:Artin_ring dbr:Associated_prime dbr:Cohen–Macaulay_ring dbr:Tensor_product_of_fields dbr:Top_(algebra) dbr:Modular_representation_theory dbr:Stably_finite_ring dbr:Dimension_theory_(algebra) dbr:Artinian_module dbr:Associative_algebra dbr:Auslander–Reiten_theory dbr:Grothendieck_group dbr:Idun_Reiten dbr:Semi-local_ring dbr:Steinberg_symbol dbr:List_of_things_named_after_Emil_Artin dbr:Schlessinger's_theorem dbr:Quasi-Frobenius_ring dbr:Finite_morphism dbr:Nakayama's_conjecture dbr:Multiplicity_theory dbr:Semiprimitive_ring dbr:Semisimple_module dbr:Simple_ring dbr:Noetherian dbr:Zorn_ring dbr:Perfect_ring dbr:Simple_module dbr:Subgroup_series dbr:Riemann–Roch_theorem dbr:Artinian_local_ring dbr:Simple_Artinian_ring |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Artinian_ring |