Pseudoconvexity (original) (raw)
In mathematics, more precisely in the theory of functions of several complex variables, a pseudoconvex set is a special type of open set in the n-dimensional complex space Cn. Pseudoconvex sets are important, as they allow for classification of domains of holomorphy. Let be a domain, that is, an open connected subset. One says that is pseudoconvex (or Hartogs pseudoconvex) if there exists a continuous plurisubharmonic function on such that the set , we have If does not have a boundary, the following approximation result can be useful.
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| dbo:abstract | In mathematics, more precisely in the theory of functions of several complex variables, a pseudoconvex set is a special type of open set in the n-dimensional complex space Cn. Pseudoconvex sets are important, as they allow for classification of domains of holomorphy. Let be a domain, that is, an open connected subset. One says that is pseudoconvex (or Hartogs pseudoconvex) if there exists a continuous plurisubharmonic function on such that the set is a relatively compact subset of for all real numbers In other words, a domain is pseudoconvex if has a continuous plurisubharmonic . Every (geometrically) convex set is pseudoconvex. However, there are pseudoconvex domains which are not geometrically convex. When has a (twice continuously differentiable) boundary, this notion is the same as Levi pseudoconvexity, which is easier to work with. More specifically, with a boundary, it can be shown that has a defining function; i.e., that there exists which is so that , and . Now, is pseudoconvex iff for every and in the complex tangent space at p, that is, , we have If does not have a boundary, the following approximation result can be useful. Proposition 1 If is pseudoconvex, then there exist bounded, strongly Levi pseudoconvex domains with (smooth) boundary which are relatively compact in , such that This is because once we have a as in the definition we can actually find a C∞ exhaustion function. (en) 数学の多変数複素函数の理論において、擬凸集合（ぎとつしゅうごう、英: pseudoconvex set）は n 次元複素空間 Cn 内のある特殊なタイプの開集合である。擬凸集合が重要となるのは、それらが正則領域の分類に有用となるからである。 今 を領域、すなわち、開連結部分集合とする。G が擬凸（あるいは、ハルトークス擬凸）であるとは、すべての実数 x に対して が G の相対コンパクトな部分集合となるような、G 上のある連続多重劣調和函数 φ が存在することを言う。言い換えると、G が連続かつ多重劣調和なエグゾースチョン函数 (exhaustion function) を持つとき、その領域は擬凸である。 G が C2（二階連続的微分可能）級の境界を持つとき、この概念はより簡単に扱えるレヴィ擬凸性となる。より具体的に、C2 級の境界を持つ G には定義函数が存在することが示される。すなわち、G = {ρ < 0} および ∂G = {ρ = 0} を満たすような C2 級の ρ: Cn → R の存在が示される。今、G が擬凸であるための必要十分条件は、すべての p ∈ ∂G と、p での複素接空間内の w, すなわち を満たすような w に対して、 が成立することである。 G の境界が C2 級でないなら、次の近似的な結果が有用となる。 命題1 G が擬凸であるなら、境界が C∞ 級（滑らか）で、G 内で相対コンパクトであるような有界強レヴィ擬凸領域 Gk ⊂ G で を満たすものが存在する。 この命題がなぜ成立するかと言うと、定義におけるような φ に対して、実際に C∞ エグゾースチョン函数 (exhaustion function) を得ることが出来るからである。 (ja) |
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