Boundary (topology) (original) (raw)
Hranice množiny je v matematice pojem z topologie značící množinu všech takových prvků, jehož každé okolí obsahuje alespoň jeden bod zadané množiny a alespoň jeden bod mimo zadanou množinu. Značí se ∂M. Podobný význam má hranice metrického prostoru a hranice variety s hranicí.
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| dbo:abstract | Hranice množiny je v matematice pojem z topologie značící množinu všech takových prvků, jehož každé okolí obsahuje alespoň jeden bod zadané množiny a alespoň jeden bod mimo zadanou množinu. Značí se ∂M. Podobný význam má hranice metrického prostoru a hranice variety s hranicí. (cs) En topologia i matemàtiques en general, la frontera d'un subconjunt S d'un espai topològic X és el conjunt de punts als quals hom s'hi pot aproximar tant des d'S com des de fora d'S. Més concretament, és el conjunt de punts de la clausura d'S que no pertanyen a l'interior d'S. Un element de la frontera d'S s'anomena punt frontera d'S. El terme operació frontera s'utilitza per l'acció de trobar o prendre la frontera d'un conjunt. Algunes notacions per referir-se a la frontera d'un conjunt S són bd(S), fr(S), ∂S o . Una component connexa de la frontera d'S s'anomena component frontera d'S. Si un conjunt consisteix només de punts discrets, llavors el conjunt només té frontera i no té interior. (ca) En topologio, rando de subaro S de topologia spaco X estas aro de punktoj kiuj kuŝas inter la “ekstero” (komplemento de fermaĵo) kaj la “interno” (malfermaĵo) de S. Pli formale, rando estas aro de punktoj en la fermaĵo de S, ne apartenanta al la malfermaĵo de S. Ĉiu punkto en la rando de S estas randa punkto de S. Skribmanieroj uzata por rando de aro S estas bd(S), fr(S), ∂S. (eo) Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Begriff Rand eine Abstraktion der anschaulichen Vorstellung einer Begrenzung eines Bereiches. (de) In topology and mathematics in general, the boundary of a subset S of a topological space X is the set of points in the closure of S not belonging to the interior of S. An element of the boundary of S is called a boundary point of S. The term boundary operation refers to finding or taking the boundary of a set. Notations used for boundary of a set S include and . Some authors (for example Willard, in General Topology) use the term frontier instead of boundary in an attempt to avoid confusion with a different definition used in algebraic topology and the theory of manifolds. Despite widespread acceptance of the meaning of the terms boundary and frontier, they have sometimes been used to refer to other sets. For example, Metric Spaces by E. T. Copson uses the term boundary to refer to Hausdorff's border, which is defined as the intersection of a set with its boundary. Hausdorff also introduced the term residue, which is defined as the intersection of a set with the closure of the border of its complement. A connected component of the boundary of S is called a boundary component of S. (en) En topologie, la frontière d'un ensemble (aussi appelé parfois "le bord d'un ensemble") est constituée des points qui, de façon intuitive, sont « situés au bord » de cet ensemble, c’est-à-dire qui peuvent être « approchés » à la fois par l'intérieur et l'extérieur de cet ensemble. (fr) Dado un espacio topológico y un subconjunto de , se define la frontera o límite de como la intersección de la clausura de con la clausura del complemento de , y se denota por . En otras palabras: Una definición equivalente para la frontera de un conjunto es la siguiente: Donde: denota el interior de . Informalmente, la frontera (también llamada borde) de un conjunto es el conjunto de aquellos puntos que pueden ver puntos tanto en como en su complemento. Es claro que la frontera de un conjunto siempre es un conjunto cerrado. (es) Dalam topologi dan matematika, batas, perbatasan, atau sempadan (bahasa Inggris: boundary) himpunan dari ruang topologis merupakan himpunan titik yang dapat didekatkan dari dan dari luar . Lebih tepatnya, batas (dalam topologi) merupakan himpunan titik dalam ketertutupan bukan merupakan milik interior . Sebuah unsur dari batas disebut titik batas , dan istilah operasi batas mengartikan sebagai pencarian atau pengambilan batas himpunan. Notasi yang digunakan untuk batas himpunan di antaranya , , dan . (in) 一般位相において位相空間 X の部分集合 S の境界（きょうかい、英語: boundary, frontier）とは、S の中からも外からも近づくことのできる点の全体の成す X の部分集合のことである。もうすこし形式的に言えば、S の触点（閉包に属する点）のうち、S の内点（開核に属する点）ではないものの全体の成す集合のことである。S の境界に属する点のことを、S の境界点(boundary point) と呼ぶ。S が境界を持たない (boundaryless) とは、S が自身の境界を包含しないこと、あるいは同じことだが境界点がひとつも S に属さないことをいう。集合 S の境界を表すのに、bd(S), fr(S), ∂S のような記法がしばしば用いられる。代数的位相幾何学における境界 (boundary) の概念との区別のため、ここでいう境界に対応する語として "boundary" の代わりに "frontier" を用いることがある（たとえば松坂『集合・位相入門』）。 集合 S の境界の連結成分のことを、S の境界成分 (boundary component) という。 (ja) In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, bestaat de rand van een verzameling uit de punten die willekeurig dicht bij zowel de verzameling als haar complement liggen. Anders gezegd: in de buurt van een randpunt liggen zowel punten van binnen de verzameling zelf, alsook van buiten de verzameling. (nl) 일반위상수학에서 위상 공간 의 한 부분집합 의 경계(境界, 영어: boundary,the surface of interface)란 E의 가장자리를 둘러싸는 테두리를 말한다. (ko) In topologia, la frontiera o contorno o bordo di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell'insieme meno il suo interno. Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S. Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono b(S) , bd(S), fr(S), e . Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S. 1. * Si definisce frontiera di S l'intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complementare. 2. * Si definisce frontiera di S l'insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di S e almeno un punto non appartenente a S. (it) Inom topologi definieras randen av ett område som de punkter där det i varje omgivning till en sådan punkt (hur liten man än väljer den) går att hitta både punkter som tillhör området och sådana som inte tillhör området. En punkt som tillhör randen kallas randpunkt. Randen kan tillhöra området eller ej. Randkonceptet är topologiskt, så om man byter topologi kan randen för en mängd ändras. För vanliga geometriska figurer kallar man ofta randen för dess omkrets. I dagligt tal kallas randen ibland för ände. (sv) Brzeg – zbiór punktów „granicznych” danego zbioru. Zachowanie funkcji na brzegu dziedziny może się znacząco różnić od zachowania w jego wnętrzu (tzn. w dziedzinie z wyłączeniem brzegu); z tego też powodu w analizie matematycznej pochodne funkcji rozpatruje się zwykle wyłącznie na (niepustych) zbiorach bez brzegu, tzw. zbiorach otwartych. Zadanie z postawionymi warunkami ograniczającymi rozwiązania równania różniczkowego na brzegu badanego zbioru nazywa się zagadnieniem brzegowym. Jednym ze znanych wyników rachunku różniczkowego i całkowego wiążącym pole powierzchni brzegu z obejmowaną przez niego objętością jest twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa (a w ogólności – twierdzenie Stokesa). Ważnym twierdzeniem topologicznym dotyczącym pojęcia brzegu jest twierdzenie Baire’a. Opisane w artykule pojęcie brzegu różni się pojęć brzegów dla rozmaitości topologicznych, czy kompleksów symplicjalnych. (pl) 邊界，（英語：boundary），是點集拓樸的概念，拓扑空间 X 的子集 S 的边界是从 S 和从 S 的外部都可以接近的点的集合。更嚴格的说，它是屬於 S 的闭包但不是 S 的內點的所有点的集合。S 的边界的元素叫做 S 的邊界點（英語：boundary point）。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和 ，。某些作者（比如 Willard 在 General Topology 中）使用术语“边境”（frontier）而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。 S 的边界的连通单元叫做 S的边界单元。 (zh) Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A. (ru) Межа множини — це всі такі точки, які перебувають як завгодно близько і до точок в множині, і до точок поза нею. (uk) |
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(de) En topologie, la frontière d'un ensemble (aussi appelé parfois "le bord d'un ensemble") est constituée des points qui, de façon intuitive, sont « situés au bord » de cet ensemble, c’est-à-dire qui peuvent être « approchés » à la fois par l'intérieur et l'extérieur de cet ensemble. (fr) Dado un espacio topológico y un subconjunto de , se define la frontera o límite de como la intersección de la clausura de con la clausura del complemento de , y se denota por . En otras palabras: Una definición equivalente para la frontera de un conjunto es la siguiente: Donde: denota el interior de . Informalmente, la frontera (también llamada borde) de un conjunto es el conjunto de aquellos puntos que pueden ver puntos tanto en como en su complemento. Es claro que la frontera de un conjunto siempre es un conjunto cerrado. (es) Dalam topologi dan matematika, batas, perbatasan, atau sempadan (bahasa Inggris: boundary) himpunan dari ruang topologis merupakan himpunan titik yang dapat didekatkan dari dan dari luar . Lebih tepatnya, batas (dalam topologi) merupakan himpunan titik dalam ketertutupan bukan merupakan milik interior . Sebuah unsur dari batas disebut titik batas , dan istilah operasi batas mengartikan sebagai pencarian atau pengambilan batas himpunan. Notasi yang digunakan untuk batas himpunan di antaranya , , dan . (in) 一般位相において位相空間 X の部分集合 S の境界（きょうかい、英語: boundary, frontier）とは、S の中からも外からも近づくことのできる点の全体の成す X の部分集合のことである。もうすこし形式的に言えば、S の触点（閉包に属する点）のうち、S の内点（開核に属する点）ではないものの全体の成す集合のことである。S の境界に属する点のことを、S の境界点(boundary point) と呼ぶ。S が境界を持たない (boundaryless) とは、S が自身の境界を包含しないこと、あるいは同じことだが境界点がひとつも S に属さないことをいう。集合 S の境界を表すのに、bd(S), fr(S), ∂S のような記法がしばしば用いられる。代数的位相幾何学における境界 (boundary) の概念との区別のため、ここでいう境界に対応する語として "boundary" の代わりに "frontier" を用いることがある（たとえば松坂『集合・位相入門』）。 集合 S の境界の連結成分のことを、S の境界成分 (boundary component) という。 (ja) In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, bestaat de rand van een verzameling uit de punten die willekeurig dicht bij zowel de verzameling als haar complement liggen. Anders gezegd: in de buurt van een randpunt liggen zowel punten van binnen de verzameling zelf, alsook van buiten de verzameling. (nl) 일반위상수학에서 위상 공간 의 한 부분집합 의 경계(境界, 영어: boundary,the surface of interface)란 E의 가장자리를 둘러싸는 테두리를 말한다. (ko) Inom topologi definieras randen av ett område som de punkter där det i varje omgivning till en sådan punkt (hur liten man än väljer den) går att hitta både punkter som tillhör området och sådana som inte tillhör området. En punkt som tillhör randen kallas randpunkt. Randen kan tillhöra området eller ej. Randkonceptet är topologiskt, så om man byter topologi kan randen för en mängd ändras. För vanliga geometriska figurer kallar man ofta randen för dess omkrets. I dagligt tal kallas randen ibland för ände. (sv) 邊界，（英語：boundary），是點集拓樸的概念，拓扑空间 X 的子集 S 的边界是从 S 和从 S 的外部都可以接近的点的集合。更嚴格的说，它是屬於 S 的闭包但不是 S 的內點的所有点的集合。S 的边界的元素叫做 S 的邊界點（英語：boundary point）。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和 ，。某些作者（比如 Willard 在 General Topology 中）使用术语“边境”（frontier）而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。 S 的边界的连通单元叫做 S的边界单元。 (zh) Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A. (ru) Межа множини — це всі такі точки, які перебувають як завгодно близько і до точок в множині, і до точок поза нею. (uk) En topologia i matemàtiques en general, la frontera d'un subconjunt S d'un espai topològic X és el conjunt de punts als quals hom s'hi pot aproximar tant des d'S com des de fora d'S. Més concretament, és el conjunt de punts de la clausura d'S que no pertanyen a l'interior d'S. Un element de la frontera d'S s'anomena punt frontera d'S. El terme operació frontera s'utilitza per l'acció de trobar o prendre la frontera d'un conjunt. Algunes notacions per referir-se a la frontera d'un conjunt S són bd(S), fr(S), ∂S o . Una component connexa de la frontera d'S s'anomena component frontera d'S. (ca) In topology and mathematics in general, the boundary of a subset S of a topological space X is the set of points in the closure of S not belonging to the interior of S. An element of the boundary of S is called a boundary point of S. The term boundary operation refers to finding or taking the boundary of a set. Notations used for boundary of a set S include and . Some authors (for example Willard, in General Topology) use the term frontier instead of boundary in an attempt to avoid confusion with a different definition used in algebraic topology and the theory of manifolds. Despite widespread acceptance of the meaning of the terms boundary and frontier, they have sometimes been used to refer to other sets. For example, Metric Spaces by E. T. Copson uses the term boundary to refer to Hausd (en) In topologia, la frontiera o contorno o bordo di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell'insieme meno il suo interno. Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S. Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono b(S) , bd(S), fr(S), e . Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S. (it) Brzeg – zbiór punktów „granicznych” danego zbioru. Zachowanie funkcji na brzegu dziedziny może się znacząco różnić od zachowania w jego wnętrzu (tzn. w dziedzinie z wyłączeniem brzegu); z tego też powodu w analizie matematycznej pochodne funkcji rozpatruje się zwykle wyłącznie na (niepustych) zbiorach bez brzegu, tzw. zbiorach otwartych. Zadanie z postawionymi warunkami ograniczającymi rozwiązania równania różniczkowego na brzegu badanego zbioru nazywa się zagadnieniem brzegowym. Jednym ze znanych wyników rachunku różniczkowego i całkowego wiążącym pole powierzchni brzegu z obejmowaną przez niego objętością jest twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa (a w ogólności – twierdzenie Stokesa). Ważnym twierdzeniem topologicznym dotyczącym pojęcia brzegu jest twierdzenie Baire’a. (pl) |
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