Semisimple algebra (original) (raw)
In ring theory, a branch of mathematics, a semisimple algebra is an associative artinian algebra over a field which has trivial Jacobson radical (only the zero element of the algebra is in the Jacobson radical). If the algebra is finite-dimensional this is equivalent to saying that it can be expressed as a Cartesian product of simple subalgebras.
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| dbo:abstract | In ring theory, a branch of mathematics, a semisimple algebra is an associative artinian algebra over a field which has trivial Jacobson radical (only the zero element of the algebra is in the Jacobson radical). If the algebra is finite-dimensional this is equivalent to saying that it can be expressed as a Cartesian product of simple subalgebras. (en) En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, un anneau A est dit semi-simple si A, considéré comme A-module, est semi-simple, c'est-à-dire somme directe de A-modules qui n'admettent pas d'autres sous-modules que {0} et lui-même. À isomorphisme près, ce sont les anneaux produits d'anneaux de matrices carrées sur des corps, commutatifs ou non. Cette notion est présente dans de nombreuses branches mathématiques : on peut citer l'algèbre linéaire, l'arithmétique, la théorie des représentations d'un groupe fini celle des groupes de Lie ou celle des algèbres de Lie. Elle est, par exemple, utilisée pour démontrer le critère de réciprocité de Frobenius. La théorie des algèbres semi-simples se fonde sur le lemme de Schur et le théorème d'Artin-Wedderburn. (fr) 환론에서 반단순환(半單純環, 영어: semisimple ring)은 모든 가군이 반단순 가군인 환이다. 유한 개의 나눗셈환들의 위의 들의 직접곱과 동형이다. (ko) 数学、特に代数学において、環 A が A-加群として半単純加群、すなわち、非自明な部分加群をもたない A-加群の直和であるとき、A を半単純環という。これは、同型の違いを除いて、（可換とは限らない）体上の全行列環の有限個の直積である。 この概念は数学の多くの分野において現れる。例えば、線型代数学、数論、、リー群論、リー環論が挙げられる。これは例えば、の証明に役立つ。 半単純多元環の理論はシューアの補題とアルティン・ウェダーバーンの定理を基盤としている。 (ja) Een halfenkelvoudige algebra (ook semi-simpele algebra) is in de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, een associatieve algebra met een triviale Jacobson-radicaal (dat wil zeggen dat alleen het nulelement van de algebra in de Jacobson-radicaal voorkomt). Als de algebra eindig-dimensionaal is, is dit gelijkwaardig aan zeggen dat een halfenkelvoudige algebra kan worden uitgedrukt als een Cartesisch product van enkelvoudige deelalgebra's. (nl) |
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