Quaternion group (original) (raw)
Kvaternionová grupa je konečná nekomutativní grupa řádu 8, spolu s dihedrální grupou (symetrie čtverce) jediná taková. Lze ji definovat pomocí jednotkových kvaternionů s operací kvaternionového násobení, jako množinu . Grupa má reprezentaci kde je neutrální prvek grupy a komutuje se všemi dalšími prvky. Násobení prvků podmnožiny se chová stejně jako vektorový součin vektorů ortonormální báze třírozměrného Eukleidovského prostoru:
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Kvaternionová grupa je konečná nekomutativní grupa řádu 8, spolu s dihedrální grupou (symetrie čtverce) jediná taková. Lze ji definovat pomocí jednotkových kvaternionů s operací kvaternionového násobení, jako množinu . Grupa má reprezentaci kde je neutrální prvek grupy a komutuje se všemi dalšími prvky. Násobení prvků podmnožiny se chová stejně jako vektorový součin vektorů ortonormální báze třírozměrného Eukleidovského prostoru: (cs) In der Gruppentheorie ist die Quaternionengruppe eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung . Sie wird häufig mit dem Symbol bezeichnet. Ihren Namen erhält sie daher, dass sie aus den acht Elementen im Schiefkörper der Hamiltonschen Quaternionen besteht. (de) En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, le groupe des quaternions est l'un des deux groupes non abéliens d'ordre 8. Il admet une de degré 4, et la sous-algèbre des matrices 4×4 engendrée par son image est un corps gauche qui s'identifie au corps des quaternions de Hamilton. (fr) In group theory, the quaternion group Q8 (sometimes just denoted by Q) is a non-abelian group of order eight, isomorphic to the eight-element subset of the quaternions under multiplication. It is given by the group presentation where e is the identity element and e commutes with the other elements of the group. Another presentation of Q8 is (en) Dalam teori grup, grup angka empat Q8 (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah dari delapan, isomorfik ke himpunan bagian delapan elemen dari angka empat di bawah perkalian. Ini diberikan oleh presentasi grup di mana e adalah elemen identitas dan e komutatif dengan elemen lain dalam grup. Presentasi Q 8 lainnya adalah: (in) 군론에서 사원수군(四元數群, 영어: quaternion group)은 단위 사원수 i, j, k로 생성되는 유한군이다. (ko) In matematica, e specialmente in teoria dei gruppi, il gruppo dei quaternioni (spesso indicato con ) è il gruppo formato dagli otto elementi {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} caratteristici del corpo dei quaternioni. Essi sono legati dalle relazioni È ovviamente non abeliano e generato da due elementi distinti presi tra i, j e k; inoltre è il più piccolo gruppo non abeliano in cui tutti i sottogruppi sono normali (un gruppo di questo tipo è detto hamiltoniano), e il più piccolo gruppo non abeliano il cui ordine è la potenza di un primo. È anche il secondo gruppo non abeliano più piccolo (quello col minor numero di elementi è il gruppo simmetrico , con 6 elementi). Tutti i suoi sottogruppi (diversi dal solo elemento neutro) si intersecano in modo non banale nel sottogruppo {1, -1}, che è anche il centro del gruppo. Questo implica che non è né un prodotto diretto né un prodotto semidiretto di gruppi più piccoli. Il gruppo degli automorfismi di è il gruppo simmetrico , mentre quello degli automorfismi interni è il gruppo di Klein. (it) In de groepentheorie is de quaternionengroup een niet-abelse groep van orde 8. De quaternionengroep wordt vaak aangeduid met Q en wordt met de volgende acht elementen als volgt in multiplicatieve vorm geschreven: Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} Hier is 1 het identiteitselement, (−1)2 = 1, en (−1)a = a(−1) = −a voor alle a in Q. De resterende vermenigvuldigingsregels kan men verkrijgen uit de volgende relaties: De gehele Cayley-tabel (vermenigvuldigingstabel) voor Q wordt gegeven bij: Merk op dat de resulterende groep niet-commutatief is; bijvoorbeeld ij = −ji. Q heeft de ongebruikelijke eigenschap dat zij een Hamiltoniaan is: elke ondergroep van Q is een normale ondergroep, maar de groep is niet-abels. Elke Hamiltoniaanse groep bevat een kopie van Q. (nl) Grupa kwaternionów – nieabelowa grupa multyplikatywna rzędu 8, oznaczana symbolem lub rzadziej lub , składająca się z następujących elementów: będących kwaternionami. Generatorami tej grupy są kwaterniony oraz . Grupa kwaternionów została odkryta przez Hamiltona w 1843 roku. Matematyk wpadł na ten pomysł podczas spaceru, a główne wzory wyrzeźbił na kamiennym moście w Dublinie. Grupę kwaternionów można również potraktować jako grupę macierzową będącą podgrupą specjalnej grupy liniowej . Określmy następujące macierze: . Wtedy zbiór tworzy grupę . W grupie kwaternionów można utworzyć następującą tablicę Cayleya: Podgrupami grupy kwaternionów są oraz . Wszystkie podgrupy tej grupy są normalne. Ponieważ każda podgrupa nieabelowej grupy jest normalna, to mówimy, że grupa kwaternionów jest grupą Hamiltona. Grupa kwaternionów pojawia się w mechanice kwantowej, w teorii spinu elektronu Wolfganga Pauliego, a powyższe macierze nazywane są macierzami Pauliego. (pl) В теории групп группа кватернионов — это неабелева группа восьмого порядка, изоморфная набору из восьми кватернионов с операцией умножения. Она часто обозначается буквой Q или Q8, и определяется заданием группы где 1 — единичный элемент, а элемент −1 коммутирует с остальными элементами группы. (ru) 在群論裡，四元群是指一個8目的不可換群。它常被標示為Q，且被寫成乘法的形式，以下列的8個元素 Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} 這裡，1是單位元素，(−1)2 = 1且對每個Q內的a，(−1)a = a(−1) = −a。剩下的乘法律能由下列的關係獲得： Q的凱萊表如下： 需注意的是，此一群為非可換的；如ij=−ji。Q有著漢彌爾頓群較不常見的性質：每一個Q的子群都是其正規子群，但這個群不是可換的。每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個Q。 在抽象代數裡，可以造出一個其基底為{1,i,j,k}的實四維向量空間，且使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數。其即為一個稱為四元數的除環。需注意的是，這並不是在Q上的群代數(其應該是8維的)。相反地，亦可以先由四元數開始，再「定義」出由八個元素{1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}所組成之乘法子群做為四元群。 i、j和k都是Q內4目的元素且選定其中任兩個都可以產生出整個群來。Q有著下列的展現 其中可以取成i=x、j=y及k=xy。 Q的中心及交換子群為{±1}。其商群 Q/{±1}會同構於克萊因四元群V。Q的內自同構群會同構於Q同餘其中心，且因此也會同構於克萊因四元群。Q的全自同構群會同構於S4。Q的外自同構群因此為S4/V，其會同構於S3。 四元群Q亦可視為是作用於在有限體GF(3)上之二維向量空間的八個非零元素。關於其圖像，請見圖像化GL(2,p)（页面存档备份，存于互联网档案馆）。 (zh) В теорії груп, група кватерніона є групою порядку 8, ізоморфною множині восьми визначеним кватерніонам з операцією множення. Позначається Q8 і представляється заданням групи де 1 (нейтральний елемент) та −1 комутують зі всіма елементами групи. Множення елементів {±i, ±j, ±k} подібне до векторного добутку ортів в тривимірному евклідовому просторі. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/GroupDiagramQ8.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://groupprops.subwiki.org/wiki/Quaternion_group http://groupnames.org/%23%3Fquaternion https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/genquat.pdf |
| dbo:wikiPageID | 153130 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 25439 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1117495224 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Presentation_of_a_group dbr:Projective_space dbr:Quaternion dbr:Binary_tetrahedral_group dbr:Character_table dbr:Cycle_graph_(algebra) dbr:Quotient_ring dbr:16-cell dbc:Group_theory dbr:Commutativity dbr:General_linear_group dbr:Normal_subgroup dbr:Quotient_group dbr:Clifford_algebra dbr:Frobenius_endomorphism dbr:Fundamental_theorem_of_Galois_theory dbr:Angular_momentum_operator dbr:Commutator_subgroup dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Idempotent_(ring_theory) dbr:Subgroup dbr:Galois_group dbr:Irreducible_representation dbr:American_Mathematical_Monthly dbc:Finite_groups dbc:Quaternions dbr:Finite_field dbr:Brauer–Suzuki_theorem dbr:Nilpotent_group dbr:Outer_automorphism_group dbr:Cayley_graph dbr:Cayley_table dbr:Central_simple_algebra dbr:Dicyclic_group dbr:Hamiltonian_group dbr:Regular_representation dbr:Group_(mathematics) dbr:Harold_Scott_MacDonald_Coxeter dbr:Isomorphic dbr:Semisimple_algebra dbr:Abelian_group dbr:Binary_polyhedral_group dbr:Biquaternion dbr:Modular_representation_theory dbr:Dihedral_group dbr:Automorphism_group dbr:Spin_(physics) dbr:Spinor dbr:Split-quaternion dbr:Splitting_field dbr:Field_extension dbr:Group_representation dbr:Group_ring dbr:Group_theory dbr:Group_order dbr:Factor_group dbr:Order_(group_theory) dbr:Rational_number dbr:Klein_four-group dbr:Special_linear_group dbr:Unitary_matrix dbr:Nonabelian_group dbr:European_Journal_of_Physics dbr:List_of_small_groups dbr:Symmetric_group dbr:Examples_of_groups dbr:Polyhedral_group dbr:P-group dbr:Center_of_a_group dbr:Hurwitz_integral_quaternion dbr:Skew_field dbr:Inner_automorphism_group dbr:Dihedral_group_of_order_8 dbr:File:Dih_4_Cayley_Graph;_generators_a,_b.svg dbr:File:Dih4_cycle_graph.svg dbr:File:GroupDiagramQ8.svg dbr:File:Cayley_graph_Q8.svg dbr:File:Quaternion_group;_Cayley_table;_subgroup_of_SL(2,3).svg dbr:File:Quaternion_group;_Cayley_table;_subgroup_of_SL(2,C).svg |
| dbp:title | Quaternion group (en) |
| dbp:urlname | QuaternionGroup (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Harv dbt:Math dbt:MathWorld dbt:Overline dbt:Reflist dbt:Group_theory_sidebar |
| dct:subject | dbc:Group_theory dbc:Finite_groups dbc:Quaternions |
| rdf:type | yago:Abstraction100002137 yago:DefiniteQuantity113576101 yago:Digit113741022 yago:Four113744304 yago:Group100031264 yago:Integer113728499 yago:Measure100033615 yago:Number113582013 yago:WikicatFiniteGroups yago:WikicatQuaternions |
| rdfs:comment | Kvaternionová grupa je konečná nekomutativní grupa řádu 8, spolu s dihedrální grupou (symetrie čtverce) jediná taková. Lze ji definovat pomocí jednotkových kvaternionů s operací kvaternionového násobení, jako množinu . Grupa má reprezentaci kde je neutrální prvek grupy a komutuje se všemi dalšími prvky. Násobení prvků podmnožiny se chová stejně jako vektorový součin vektorů ortonormální báze třírozměrného Eukleidovského prostoru: (cs) In der Gruppentheorie ist die Quaternionengruppe eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung . Sie wird häufig mit dem Symbol bezeichnet. Ihren Namen erhält sie daher, dass sie aus den acht Elementen im Schiefkörper der Hamiltonschen Quaternionen besteht. (de) En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, le groupe des quaternions est l'un des deux groupes non abéliens d'ordre 8. Il admet une de degré 4, et la sous-algèbre des matrices 4×4 engendrée par son image est un corps gauche qui s'identifie au corps des quaternions de Hamilton. (fr) In group theory, the quaternion group Q8 (sometimes just denoted by Q) is a non-abelian group of order eight, isomorphic to the eight-element subset of the quaternions under multiplication. It is given by the group presentation where e is the identity element and e commutes with the other elements of the group. Another presentation of Q8 is (en) Dalam teori grup, grup angka empat Q8 (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah dari delapan, isomorfik ke himpunan bagian delapan elemen dari angka empat di bawah perkalian. Ini diberikan oleh presentasi grup di mana e adalah elemen identitas dan e komutatif dengan elemen lain dalam grup. Presentasi Q 8 lainnya adalah: (in) 군론에서 사원수군(四元數群, 영어: quaternion group)은 단위 사원수 i, j, k로 생성되는 유한군이다. (ko) В теории групп группа кватернионов — это неабелева группа восьмого порядка, изоморфная набору из восьми кватернионов с операцией умножения. Она часто обозначается буквой Q или Q8, и определяется заданием группы где 1 — единичный элемент, а элемент −1 коммутирует с остальными элементами группы. (ru) В теорії груп, група кватерніона є групою порядку 8, ізоморфною множині восьми визначеним кватерніонам з операцією множення. Позначається Q8 і представляється заданням групи де 1 (нейтральний елемент) та −1 комутують зі всіма елементами групи. Множення елементів {±i, ±j, ±k} подібне до векторного добутку ортів в тривимірному евклідовому просторі. (uk) In matematica, e specialmente in teoria dei gruppi, il gruppo dei quaternioni (spesso indicato con ) è il gruppo formato dagli otto elementi {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} caratteristici del corpo dei quaternioni. Essi sono legati dalle relazioni Tutti i suoi sottogruppi (diversi dal solo elemento neutro) si intersecano in modo non banale nel sottogruppo {1, -1}, che è anche il centro del gruppo. Questo implica che non è né un prodotto diretto né un prodotto semidiretto di gruppi più piccoli. (it) Grupa kwaternionów – nieabelowa grupa multyplikatywna rzędu 8, oznaczana symbolem lub rzadziej lub , składająca się z następujących elementów: będących kwaternionami. Generatorami tej grupy są kwaterniony oraz . Grupa kwaternionów została odkryta przez Hamiltona w 1843 roku. Matematyk wpadł na ten pomysł podczas spaceru, a główne wzory wyrzeźbił na kamiennym moście w Dublinie. Grupę kwaternionów można również potraktować jako grupę macierzową będącą podgrupą specjalnej grupy liniowej . Określmy następujące macierze: . Wtedy zbiór tworzy grupę . (pl) In de groepentheorie is de quaternionengroup een niet-abelse groep van orde 8. De quaternionengroep wordt vaak aangeduid met Q en wordt met de volgende acht elementen als volgt in multiplicatieve vorm geschreven: Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} Hier is 1 het identiteitselement, (−1)2 = 1, en (−1)a = a(−1) = −a voor alle a in Q. De resterende vermenigvuldigingsregels kan men verkrijgen uit de volgende relaties: De gehele Cayley-tabel (vermenigvuldigingstabel) voor Q wordt gegeven bij: (nl) 在群論裡，四元群是指一個8目的不可換群。它常被標示為Q，且被寫成乘法的形式，以下列的8個元素 Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} 這裡，1是單位元素，(−1)2 = 1且對每個Q內的a，(−1)a = a(−1) = −a。剩下的乘法律能由下列的關係獲得： Q的凱萊表如下： 需注意的是，此一群為非可換的；如ij=−ji。Q有著漢彌爾頓群較不常見的性質：每一個Q的子群都是其正規子群，但這個群不是可換的。每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個Q。 在抽象代數裡，可以造出一個其基底為{1,i,j,k}的實四維向量空間，且使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數。其即為一個稱為四元數的除環。需注意的是，這並不是在Q上的群代數(其應該是8維的)。相反地，亦可以先由四元數開始，再「定義」出由八個元素{1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}所組成之乘法子群做為四元群。 i、j和k都是Q內4目的元素且選定其中任兩個都可以產生出整個群來。Q有著下列的展現 其中可以取成i=x、j=y及k=xy。 Q的中心及交換子群為{±1}。其商群 Q/{±1}會同構於克萊因四元群V。Q的內自同構群會同構於Q同餘其中心，且因此也會同構於克萊因四元群。Q的全自同構群會同構於S4。Q的外自同構群因此為S4/V，其會同構於S3。 (zh) |
| rdfs:label | Kvaternionová grupa (cs) Quaternionengruppe (de) Grup kuaternion (in) Groupe des quaternions (fr) Gruppo dei quaternioni (it) 사원수군 (ko) Quaternionengroep (nl) Grupa kwaternionów (pl) Quaternion group (en) Группа кватернионов (ru) Група кватерніона (uk) 四元群 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Quaternion group wikidata:Quaternion group dbpedia-cs:Quaternion group dbpedia-de:Quaternion group dbpedia-fr:Quaternion group dbpedia-he:Quaternion group dbpedia-hu:Quaternion group dbpedia-id:Quaternion group dbpedia-it:Quaternion group yago-res:Quaternion group dbpedia-ko:Quaternion group dbpedia-nl:Quaternion group dbpedia-pl:Quaternion group dbpedia-ru:Quaternion group dbpedia-uk:Quaternion group dbpedia-zh:Quaternion group https://global.dbpedia.org/id/MMDs |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Quaternion_group?oldid=1117495224&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Dih_4_Cayley_Graph;_generators_a,_b.svg wiki-commons:Special:FilePath/Cayley_graph_Q8.svg wiki-commons:Special:FilePath/Dih4_cycle_graph.svg wiki-commons:Special:FilePath/SL(2,3);_Cayley_table.svg wiki-commons:Special:FilePath/GroupDiagramQ8.svg wiki-commons:Special:FilePath/Quaternion_group;_Cayley_table;_subgroup_of_SL(2,3).svg wiki-commons:Special:FilePath/Quaternion_group;_Cayley_table;_subgroup_of_SL(2,C).svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Quaternion_group |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Q_(disambiguation) dbr:Quaternion_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Generalized_quaternion_group dbr:Q8_(group) dbr:Q8_group dbr:Quarternionic_group dbr:Quaternion_group_of_order_8 dbr:Generalised_quaternion_group |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Presentation_of_a_group dbr:Quaternion dbr:List_of_abstract_algebra_topics dbr:Binary_tetrahedral_group dbr:Hurwitz_quaternion dbr:Character_table dbr:Cycle_graph_(algebra) dbr:Versor dbr:Dedekind_group dbr:List_of_group_theory_topics dbr:Q16 dbr:Q8 dbr:Generic_polynomial dbr:Norm_(group) dbr:Strongly_embedded_subgroup dbr:Quasigroup dbr:Generalized_quaternion_group dbr:Commutator_subgroup dbr:Frobenius_group dbr:Frobenius–Schur_indicator dbr:Mathieu_group_M11 dbr:Mathieu_group_M12 dbr:Center_(group_theory) dbr:Galois_group dbr:Schur_multiplier dbr:Eduard_Study dbr:Nilpotent_group dbr:Cayley_table dbr:Central_series dbr:Dicyclic_group dbr:History_of_quaternions dbr:Isoclinism_of_groups dbr:Q_(disambiguation) dbr:Quaternion_(disambiguation) dbr:Character_theory dbr:Characteristic_subgroup dbr:Bicomplex_number dbr:Binary_icosahedral_group dbr:Binary_octahedral_group dbr:Biquaternion dbr:Toroidal_graph dbr:Modular_representation_theory dbr:Schur–Zassenhaus_theorem dbr:Split-biquaternion dbr:Group_ring dbr:Semidirect_product dbr:Klein_four-group dbr:Mathieu_group dbr:Solvable_group dbr:Extra_special_group dbr:List_of_small_groups dbr:Point_groups_in_three_dimensions dbr:Supersingular_elliptic_curve dbr:P-group dbr:Spherical_3-manifold dbr:Q8_(group) dbr:Q8_group dbr:Quarternionic_group dbr:Quaternion_group_of_order_8 dbr:Generalised_quaternion_group |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Quaternion_group |
