Inductive dimension (original) (raw)

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Bei der kleinen und großen induktiven Dimension handelt es sich um zwei im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Dimensionsbegriffe. Diese Begriffe verwenden keinerlei algebraische Konstruktionen zur Festlegung einer Dimension, wie es etwa aus der Theorie der Vektorräume bekannt ist, sondern lediglich den betrachteten topologischen Raum selbst. Es handelt sich um eine Alternative zur Lebesgue’schen Überdeckungsdimension, die mit bezeichnet und hier zu Vergleichszwecken herangezogen wird.

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dbo:abstract Bei der kleinen und großen induktiven Dimension handelt es sich um zwei im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Dimensionsbegriffe. Diese Begriffe verwenden keinerlei algebraische Konstruktionen zur Festlegung einer Dimension, wie es etwa aus der Theorie der Vektorräume bekannt ist, sondern lediglich den betrachteten topologischen Raum selbst. Es handelt sich um eine Alternative zur Lebesgue’schen Überdeckungsdimension, die mit bezeichnet und hier zu Vergleichszwecken herangezogen wird. (de) In the mathematical field of topology, the inductive dimension of a topological space X is either of two values, the small inductive dimension ind(X) or the large inductive dimension Ind(X). These are based on the observation that, in n-dimensional Euclidean space Rn, (n − 1)-dimensional spheres (that is, the boundaries of n-dimensional balls) have dimension n − 1. Therefore it should be possible to define the dimension of a space inductively in terms of the dimensions of the boundaries of suitable open sets. The small and large inductive dimensions are two of the three most usual ways of capturing the notion of "dimension" for a topological space, in a way that depends only on the topology (and not, say, on the properties of a metric space). The other is the Lebesgue covering dimension. The term "topological dimension" is ordinarily understood to refer to the Lebesgue covering dimension. For "sufficiently nice" spaces, the three measures of dimension are equal. (en) 일반위상수학에서 귀납적 차원(歸納的次元, 영어: inductive dimension)은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 차원 개념이다. 대부분의 경우, 르베그 덮개 차원의 상한과 하한을 정의한다. (ko) 数学の一分野、位相空間論における帰納次元（きのうじげん、英: inductive dimension）は、位相空間 X に対して、小さい帰納次元 ind(X) と大きい帰納次元 Ind(X) の二種類がある。これらは n-次元ユークリッド空間 Rn における (n − 1)-次元球面（つまり、n-次元球体の境界）が次元 n − 1 を持つという観点に基づくもので、適当な開集合の境界の次元に関して帰納的に空間の次元を定義できるものでなければならない。 小さい帰納次元と大きい帰納次元は位相空間に対する「次元」概念を捉えるのに最も利用される三つの方法のうちの二つで、（距離空間などの余分な性質に依存することなく）その位相のみによって定まる。三つのうち後一つはルベーグ被覆次元である（「位相次元」と言えば普通はルベーグ被覆次元の意味に解される）。「十分素性のよい」空間に対しては、これら三種の次元概念は一致する。 (ja) Индуктивная размерность — тип определения размерности топологического пространства, основанный на наблюдении, что сферы в Евклидовом пространстве имеют размерность на единицу меньше. Существует два варианта определения индуктивной размерности, так называемые большая и малая индуктивные размерности;для пространства они обычно обозначаются и соответственно.В большинстве топологических пространств встречающихся в приложениях обе размерности совпадают, и они также равны размерности Лебега. (ru) 在數學的拓撲學中，歸納維數是對拓撲空間X定義的兩種維數，分別為小歸納維數ind(X)與大歸納維數Ind(X)。在n維歐幾里得空間Rn中，一個球的邊界是有n - 1維的球面。以這個觀察為基礎，利用一個空間中適合的開集的邊界維數，應當可以歸納定義出空間的維數。 這兩種維數是只靠空間的拓撲來定義，無需用到空間的其他性質（比如度量）。拓撲空間的一般常用維數有三種，有大小歸納維數，以及勒貝格覆蓋維數。通常說「拓撲維數」是指勒貝格覆蓋維數。對於「足夠好」的空間，這三種維數都相等。 (zh)
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