Square-free polynomial (original) (raw)
Bezčtvercový polynom či bezčtvercový mnohočlen je v algebře označení takového polynomu (s koeficienty z tělesa či obecněji z Gaussova oboru integrity), který není v rámci v daném polynomiálním okruhu dělitelný druhou mocninou nejednotkového prvku. Jedná se tedy o případ bezčtvercovosti pro polynomiální okruhy.
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| dbo:abstract | Bezčtvercový polynom či bezčtvercový mnohočlen je v algebře označení takového polynomu (s koeficienty z tělesa či obecněji z Gaussova oboru integrity), který není v rámci v daném polynomiálním okruhu dělitelný druhou mocninou nejednotkového prvku. Jedná se tedy o případ bezčtvercovosti pro polynomiální okruhy. (cs) En matemáticas, un polinomio libre de cuadrados (también denominado polinomio sin cuadrados, polinomio sin raíces repetidas o polinomio sin raíces múltiples) es un polinomio definido sobre un cuerpo (o más generalmente, un dominio de integridad) que no tiene como divisor ningún cuadrado de un polinomio no constante. Se dice que un polinomio está libre de cuadrados si y solo si no tiene multiplicidad en un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene sus coeficientes. Esto motiva que en aplicaciones de física e ingeniería, un polinomio libre de cuadrados se denomina comúnmente como un polinomio sin raíces repetidas. (es) En mathématiques, un polynôme sans carré est un polynôme défini sur un corps (commutatif), ou plus généralement sur un anneau factoriel, qui n'a pour facteur aucun carré d'un facteur non unitaire. Dans le cas des polynômes invariables sur un corps k, cela signifie que est sans carré si et seulement si pour chaque polynôme de degré positif. Dans les applications en physique et en génie, un polynôme sans carré est communément appelé un polynôme sans racines répétées. Ces polynômes sont appelés séparables, mais sur un corps parfait, être séparable équivaut à être sans carré. Une décomposition sans carré ou une factorisation sans carré d'un polynôme est une factorisation en puissances de facteurs sans carré où ceux des ak qui ne sont pas égaux à 1 sont des polynômes sans carré premiers entre eux. Chaque polynôme non nul avec des coefficients dans un corps admet une factorisation sans carré, unique à produit près des facteurs par des constantes non nulles. La factorisation sans carré est beaucoup plus facile à calculer que la factorisation complète en facteurs irréductibles, et est donc souvent préférée lorsque la factorisation complète n'est pas vraiment nécessaire, comme pour la décomposition décomposition en éléments simples et l' (en) des fractions rationnelles. La factorisation sans carré est la première étape des algorithmes de factorisation polynomiale qui sont implémentés dans les systèmes d'algèbre informatique. Par conséquent, l'algorithme de factorisation sans carré est basique en algèbre informatique. Dans le cas de polynômes en une variable sur un corps, tout facteur multiple d'un polynôme introduit un facteur commun non trivial de f et sa dérivée formelle f ', donc une condition suffisante pour que f soit sans carré est que le plus grand diviseur commun de f et f ' soit 1. Cette condition est également nécessaire sur un corps de caractéristique 0 ou, plus généralement, sur un corps parfait, car sur un tel corps, tout polynôme irréductible est séparable, et donc premier avec sa dérivée. Sur un corps de caractéristique 0, le quotient de par son PGCD (plus grand commun diviseur) avec son dérivé est le produit des dans la décomposition sans carré ci-dessus. Sur un corps parfait de caractéristique p non nulle, ce quotient est le produit des tels que i n'est pas un multiple de p. D'autres calculs de PGCD et de quotients permettent de calculer la factorisation sans carré. Dans la caractéristique zéro, un meilleur algorithme est connu, l'algorithme de Yun. Sa complexité en temps est au maximum le double de celle du calcul du PGCD du polynôme d'entrée et de sa dérivée. Plus précisément, si est le temps nécessaire pour calculer le PGCD de deux polynômes de degré et le quotient de ces polynômes par ce PGCD, alors est un majorant du temps nécessaire pour calculer la décomposition sans carré. Il existe également des algorithmes pour le calcul de la décomposition sans carré de polynômes en plusieurs variables. (fr) In mathematics, a square-free polynomial is a polynomial defined over a field (or more generally, an integral domain) that does not have as a divisor any square of a non-constant polynomial. A univariate polynomial is square free if and only if it has no multiple root in an algebraically closed field containing its coefficients. This motivates that, in applications in physics and engineering, a square-free polynomial is commonly called a polynomial with no repeated roots. In the case of univariate polynomials, the product rule implies that, if p2 divides f, then p divides the formal derivative f ' of f. The converse is also true and hence, is square-free if and only if is a greatest common divisor of the polynomial and its derivative. A square-free decomposition or square-free factorization of a polynomial is a factorization into powers of square-free polynomials where those of the ak that are non-constant are pairwise coprime square-free polynomials (here, two polynomials are said coprime is their greatest common divisor is a constant; in other words that is the coprimality over the field of fractions of the coefficients that is considered). Every non-zero polynomial admits a square-free factorization, which is unique up to the multiplication and division of the factors by non-zero constants. The square-free factorization is much easier to compute than the complete factorization into irreducible factors, and is thus often preferred when the complete factorization is not really needed, as for the partial fraction decomposition and the symbolic integration of rational fractions. Square-free factorization is the first step of the polynomial factorization algorithms that are implemented in computer algebra systems. Therefore, the algorithm of square-free factorization is basic in computer algebra. Over a field of characteristic 0, the quotient of by its GCD with its derivative is the product of the in the above square-free decomposition. Over a perfect field of non-zero characteristic p, this quotient is the product of the such that i is not a multiple of p. Further GCD computations and exact divisions allow computing the square-free factorization (see square-free factorization over a finite field). In characteristic zero, a better algorithm is known, Yun's algorithm, which is described below. Its computational complexity is, at most, twice that of the GCD computation of the input polynomial and its derivative. More precisely, if is the time needed to compute the GCD of two polynomials of degree and the quotient of these polynomial by the GCD, then is an upper bound for the time needed to compute the square free decomposition. There are also known algorithms for the computation of the square-free decomposition of multivariate polynomials, that proceed generally by considering a multivariate polynomial as a univariate polynomial with polynomial coefficients, and applying recursively a univariate algorithm. (en) |
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