Resultant (original) (raw)
In der Mathematik ist die Resultante ein Werkzeug der kommutativen Algebra, um zwei Polynome auf das Vorhandensein gemeinsamer Nullstellen zu prüfen. In Erweiterung auf multivariate polynomiale Gleichungssysteme kann die Resultante dazu verwendet werden, nacheinander die Variablen des Systems zu eliminieren. Zu diesem Zweck wurden die Resultante und ähnliche Konstruktionen im Verlaufe des 19. Jahrhunderts untersucht, zuerst für Systeme mit Symmetrien, 1882 durch L. Kronecker auch für den allgemeinen Fall. In modernen Computeralgebrasystemen werden Resultanten bzw. deren mehrdimensionale Analoga benutzt, um aus einer vorher bestimmten Gröbner-Basis auf die Lösungen (bzw. deren Approximationen) eines Gleichungssystems zu schließen.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der Mathematik ist die Resultante ein Werkzeug der kommutativen Algebra, um zwei Polynome auf das Vorhandensein gemeinsamer Nullstellen zu prüfen. In Erweiterung auf multivariate polynomiale Gleichungssysteme kann die Resultante dazu verwendet werden, nacheinander die Variablen des Systems zu eliminieren. Zu diesem Zweck wurden die Resultante und ähnliche Konstruktionen im Verlaufe des 19. Jahrhunderts untersucht, zuerst für Systeme mit Symmetrien, 1882 durch L. Kronecker auch für den allgemeinen Fall. In modernen Computeralgebrasystemen werden Resultanten bzw. deren mehrdimensionale Analoga benutzt, um aus einer vorher bestimmten Gröbner-Basis auf die Lösungen (bzw. deren Approximationen) eines Gleichungssystems zu schließen. (de) En matemáticas, la resultante de dos polinomios mónicos y sobre un cuerpo se define como el producto: de las diferencias de sus raíces, donde y toma valores en la clausura algebraica de . Para polinomios no mónicos con coeficientes dominantes y , respectivamente, el producto de más arriba se multiplica por (es) In mathematics, the resultant of two polynomials is a polynomial expression of their coefficients, which is equal to zero if and only if the polynomials have a common root (possibly in a field extension), or, equivalently, a common factor (over their field of coefficients). In some older texts, the resultant is also called the eliminant. The resultant is widely used in number theory, either directly or through the discriminant, which is essentially the resultant of a polynomial and its derivative. The resultant of two polynomials with rational or polynomial coefficients may be computed efficiently on a computer. It is a basic tool of computer algebra, and is a built-in function of most computer algebra systems. It is used, among others, for cylindrical algebraic decomposition, integration of rational functions and drawing of curves defined by a bivariate polynomial equation. The resultant of n homogeneous polynomials in n variables (also called multivariate resultant, or Macaulay's resultant for distinguishing it from the usual resultant) is a generalization, introduced by Macaulay, of the usual resultant. It is, with Gröbner bases, one of the main tools of elimination theory. (en) En mathématiques, le résultant, ou déterminant de Sylvester, est une notion qui s'applique à deux polynômes. Elle est utilisée en théorie de Galois, en théorie algébrique des nombres, en géométrie algébrique et dans bien d'autres domaines utilisant les polynômes.Le résultant de deux polynômes est un scalaire qui est nul si, et seulement si, les deux polynômes ont un facteur commun. Il peut être calculé à partir des coefficients des polynômes à l'aide d'un déterminant. On peut aussi l'obtenir à partir des racines des polynômes si ceux-ci sont scindés. (fr) 数学において、終結式（しゅうけつしき、英: resultant）とは、2つの多項式の係数から構成される式である。そうして終結式の値が零になることと2つの多項式が（係数体の分解体上で）共通零点を持つことは同値になる。このことから2つの多項式が共通零点を持つための必要十分な条件が元の多項式の係数の多項式として得られる。具体的には、次のようにして定義される： 多項式f(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 (an ≠ 0)の重複を含めた根を α1, …, αn,g(x) = bmxm + bm−1xm−1 + … + b1x + b0 (bm ≠ 0)の重複を含めた根を β1, …, βmとするとき、f, g の終結式 を、次の等式のどちらかで定義する：（対角成分に an が m個、b0 が n個）右辺はシルヴェスター行列の行列式である。 終結式が 0 であることと2つの多項式が共通根を持つことは同値である。 多項式 f の導関数を f' で表すと、 は f の判別式に等しい。 終結式は、数論で広く用いられている。有理係数あるいは多項式係数の2つの多項式の終結式はコンピュータで効率的に計算できる。それは計算機代数の基本的なツールであり、たいていの数式処理システムの組み込み関数である。それはとりわけ、 (CAD), 有理関数の逆微分、代数方程式によって定義された曲線の描画に対して使われる。 (ja) In de wiskunde is de resultante van twee polynomen de determinant van de sylvestermatrix van de beide polynomen. De resultante wordt in de commutatieve algebra gebruikt om van twee polynomen na te gaan of ze een gemeenschappelijk nulpunt hebben. Verder vindt ze uitgebreide toepassing in de getaltheorie en de computeralgebra en wordt ze gebruikt voor , de integratie van rationale functies en het tekenen van krommen die bepaald worden door een polynomiale vergelijking in twee variabelen. (nl) 가환대수학에서 종결식(終結式, 영어: resultant)은 두 다항식이 근을 공유하는지 여부를 나타내는 값이며, 실베스터 행렬의 행렬식이다. (ko) In matematica, il risultante di due polinomi e , con coefficienti dei monomi di grado massimo e rispettivamente, è definito come il prodotto delle differenze tra le loro radici in una chiusura algebrica di , considerate con le loro molteplicità come radici dei polinomi, e di opportune potenze dei coefficienti e . (it) Rugownik – wyrażenie zależne od współczynników dwóch wielomianów, równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik. (pl) Em matemática, a resultante de dois polinômios mônicos e sobre um corpo define-se como o produto: das diferenças de suas raízes, de onde e tomam valores no fecho algébrico de . Para polinômios não-mônicos com coeficientes dominantes e , respectivamente, o produto acima é multiplicado por (pt) En resultant definieras som vektorn bestående av två adderade vektorer och . En resultant kan också vara en rationell funktion av koefficienterna till två algebraiska ekvationer. Den rationella ekvationen är 0 om och endast om ekvationerna har en gemensam rot. (sv) В математике, результантом двух многочленов и над некоторым полем , старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов и (лежащих, быть может, вне поля ), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов и . Для многочленов, старшие коэффициенты которых ( и соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на (ru) 結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 上兩個多項式 ，設其首項係數分別為 ，則其結式定義為 其中 為 的給定代數閉包。由此定義的結式是 的元素，而与代數閉包的選取无关。 (zh) У математиці, результантом двох многочленів і над деяким полем , зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їхніми коренями. Добуток береться за всіма коренями в алгебричному замиканні поля з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів і (які, можливо не належать полю ), його можна записати як многочлен від коефіцієнтів і . Для многочленів, старші коефіцієнти яких ( і відповідно) не обов'язково рівні 1, наведений вище вираз домножується на (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/algebraictheoryo00macauoft%7C https://zenodo.org/record/1447750 https://archive.org/details/salmonalgebra00salmrich |
| dbo:wikiPageID | 2195020 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 45408 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1105451284 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Principal_ideal dbr:Elimination_theory dbr:Minor_(linear_algebra) dbr:Monic_polynomial dbr:Monomial dbr:Monomial_basis dbr:Determinant dbr:Algebraic_closure dbr:Algebraic_set dbr:Algebraically_closed_field dbr:Algorithm dbr:Curve dbr:Cylindrical_algebraic_decomposition dbr:Vector_space dbr:Degree_of_a_polynomial dbr:Indeterminate_(variable) dbr:Integral_domain dbr:Symbolic_integration dbr:Sylvester_matrix dbr:Complex_number dbr:Computer_algebra dbr:Computer_algebra_systems dbr:Mathematics dbr:Generic_polynomial dbr:Generic_property dbr:Subring dbr:Elementary_symmetric_polynomial dbr:Gaussian_elimination dbr:Greatest_common_divisor dbr:Modular_arithmetic dbr:Pseudo-remainder_sequence dbr:Systems_of_polynomial_equations dbr:Antiderivative dbr:Arithmetic_mean dbr:Linear_form dbr:Logarithms dbr:Commutative_ring dbr:Computer_algebra_system dbr:Empty_sum dbr:Francis_Sowerby_Macaulay dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Parametric_equation dbr:Bézout's_identity dbr:Bézout's_theorem dbr:Time_complexity dbr:Total_degree dbr:Irreducible_polynomial dbr:Euclidean_algorithm_for_polynomials dbr:Linear_map dbr:Minimal_polynomial_(field_theory) dbr:Square_matrix dbr:Absolutely_irreducible dbr:Algebraic_number dbr:Daniel_Lazard dbr:E_(mathematical_constant) dbc:Determinants dbr:Field_(mathematics) dbr:Number_theory dbr:Partial_fraction_decomposition dbr:Dimension_of_an_algebraic_variety dbr:Projective_line dbr:Radical_of_an_ideal dbr:Rational_fraction dbr:Rational_function dbr:Gröbner_basis dbr:Hilbert's_Nullstellensatz dbr:Hypersurface dbr:Prime_number dbc:Polynomials dbc:Computer_algebra dbr:Chinese_remainder_theorem dbr:Symmetric_polynomial dbr:System_of_polynomial_equations dbr:Codomain dbr:Homogeneous_coordinates dbr:Homogeneous_polynomial dbr:Discriminant dbr:Bézout_matrix dbr:Polynomial dbr:Polynomial_expression dbr:Polynomial_greatest_common_divisor dbr:Square-free_polynomial dbr:Field_extension dbr:Free_module dbr:Greatest_common_divisor_of_two_polynomials dbr:Algebraic_numbers dbr:Algebraically_closed_extension dbr:Rational_number dbr:Reciprocal_polynomial dbr:Root_of_a_function dbr:Point_at_infinity dbr:Rational_curve dbr:Nonlinear_algebra dbr:Quasi-homogeneous_polynomial dbr:Ring_homomorphism dbr:Intersection_multiplicity dbr:Univariate_polynomial dbr:Fast_multiplication dbr:Fundamental_theorem_of_symmetric_polynomials dbr:Implicit_equation dbr:Polynomial_equation dbr:Polynomial_system_of_equations dbr:Determinants dbr:Plane_algebraic_curve dbr:Projective_algebraic_set dbr:Numerically_unstable dbr:Square-free_factorization dbr:Subresultant dbr:Barry_Trager |
| dbp:title | Resultant (en) |
| dbp:urlname | Resultant (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:About dbt:Anchor dbt:Citation dbt:Delta dbt:Math dbt:MathWorld dbt:Mvar dbt:Reflist dbt:Sfn dbt:Short_description dbt:Slink dbt:Polynomials |
| dcterms:subject | dbc:Determinants dbc:Polynomials dbc:Computer_algebra |
| gold:hypernym | dbr:Expression |
| rdf:type | dbo:Organisation |
| rdfs:comment | In der Mathematik ist die Resultante ein Werkzeug der kommutativen Algebra, um zwei Polynome auf das Vorhandensein gemeinsamer Nullstellen zu prüfen. In Erweiterung auf multivariate polynomiale Gleichungssysteme kann die Resultante dazu verwendet werden, nacheinander die Variablen des Systems zu eliminieren. Zu diesem Zweck wurden die Resultante und ähnliche Konstruktionen im Verlaufe des 19. Jahrhunderts untersucht, zuerst für Systeme mit Symmetrien, 1882 durch L. Kronecker auch für den allgemeinen Fall. In modernen Computeralgebrasystemen werden Resultanten bzw. deren mehrdimensionale Analoga benutzt, um aus einer vorher bestimmten Gröbner-Basis auf die Lösungen (bzw. deren Approximationen) eines Gleichungssystems zu schließen. (de) En matemáticas, la resultante de dos polinomios mónicos y sobre un cuerpo se define como el producto: de las diferencias de sus raíces, donde y toma valores en la clausura algebraica de . Para polinomios no mónicos con coeficientes dominantes y , respectivamente, el producto de más arriba se multiplica por (es) En mathématiques, le résultant, ou déterminant de Sylvester, est une notion qui s'applique à deux polynômes. Elle est utilisée en théorie de Galois, en théorie algébrique des nombres, en géométrie algébrique et dans bien d'autres domaines utilisant les polynômes.Le résultant de deux polynômes est un scalaire qui est nul si, et seulement si, les deux polynômes ont un facteur commun. Il peut être calculé à partir des coefficients des polynômes à l'aide d'un déterminant. On peut aussi l'obtenir à partir des racines des polynômes si ceux-ci sont scindés. (fr) In de wiskunde is de resultante van twee polynomen de determinant van de sylvestermatrix van de beide polynomen. De resultante wordt in de commutatieve algebra gebruikt om van twee polynomen na te gaan of ze een gemeenschappelijk nulpunt hebben. Verder vindt ze uitgebreide toepassing in de getaltheorie en de computeralgebra en wordt ze gebruikt voor , de integratie van rationale functies en het tekenen van krommen die bepaald worden door een polynomiale vergelijking in twee variabelen. (nl) 가환대수학에서 종결식(終結式, 영어: resultant)은 두 다항식이 근을 공유하는지 여부를 나타내는 값이며, 실베스터 행렬의 행렬식이다. (ko) In matematica, il risultante di due polinomi e , con coefficienti dei monomi di grado massimo e rispettivamente, è definito come il prodotto delle differenze tra le loro radici in una chiusura algebrica di , considerate con le loro molteplicità come radici dei polinomi, e di opportune potenze dei coefficienti e . (it) Rugownik – wyrażenie zależne od współczynników dwóch wielomianów, równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik. (pl) Em matemática, a resultante de dois polinômios mônicos e sobre um corpo define-se como o produto: das diferenças de suas raízes, de onde e tomam valores no fecho algébrico de . Para polinômios não-mônicos com coeficientes dominantes e , respectivamente, o produto acima é multiplicado por (pt) En resultant definieras som vektorn bestående av två adderade vektorer och . En resultant kan också vara en rationell funktion av koefficienterna till två algebraiska ekvationer. Den rationella ekvationen är 0 om och endast om ekvationerna har en gemensam rot. (sv) В математике, результантом двух многочленов и над некоторым полем , старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов и (лежащих, быть может, вне поля ), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов и . Для многочленов, старшие коэффициенты которых ( и соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на (ru) 結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 上兩個多項式 ，設其首項係數分別為 ，則其結式定義為 其中 為 的給定代數閉包。由此定義的結式是 的元素，而与代數閉包的選取无关。 (zh) У математиці, результантом двох многочленів і над деяким полем , зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їхніми коренями. Добуток береться за всіма коренями в алгебричному замиканні поля з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів і (які, можливо не належать полю ), його можна записати як многочлен від коефіцієнтів і . Для многочленів, старші коефіцієнти яких ( і відповідно) не обов'язково рівні 1, наведений вище вираз домножується на (uk) In mathematics, the resultant of two polynomials is a polynomial expression of their coefficients, which is equal to zero if and only if the polynomials have a common root (possibly in a field extension), or, equivalently, a common factor (over their field of coefficients). In some older texts, the resultant is also called the eliminant. (en) 数学において、終結式（しゅうけつしき、英: resultant）とは、2つの多項式の係数から構成される式である。そうして終結式の値が零になることと2つの多項式が（係数体の分解体上で）共通零点を持つことは同値になる。このことから2つの多項式が共通零点を持つための必要十分な条件が元の多項式の係数の多項式として得られる。具体的には、次のようにして定義される： 多項式f(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 (an ≠ 0)の重複を含めた根を α1, …, αn,g(x) = bmxm + bm−1xm−1 + … + b1x + b0 (bm ≠ 0)の重複を含めた根を β1, …, βmとするとき、f, g の終結式 を、次の等式のどちらかで定義する：（対角成分に an が m個、b0 が n個）右辺はシルヴェスター行列の行列式である。 終結式が 0 であることと2つの多項式が共通根を持つことは同値である。 多項式 f の導関数を f' で表すと、 は f の判別式に等しい。 (ja) |
| rdfs:label | Resultante (de) Resultante (es) Résultant (fr) Risultante (polinomi) (it) 終結式 (ja) 종결식 (ko) Resultante (wiskunde) (nl) Resultant (en) Rugownik (pl) Resultante (pt) Результант (ru) Resultant (sv) 結式 (zh) Результант (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Resultant wikidata:Resultant dbpedia-be:Resultant dbpedia-de:Resultant dbpedia-es:Resultant dbpedia-fi:Resultant dbpedia-fr:Resultant dbpedia-he:Resultant http://ht.dbpedia.org/resource/Reziltant dbpedia-hu:Resultant dbpedia-it:Resultant dbpedia-ja:Resultant dbpedia-ko:Resultant http://ky.dbpedia.org/resource/Результант dbpedia-nl:Resultant dbpedia-nn:Resultant dbpedia-pl:Resultant dbpedia-pt:Resultant dbpedia-ru:Resultant dbpedia-sv:Resultant dbpedia-uk:Resultant dbpedia-zh:Resultant https://global.dbpedia.org/id/E8vJ |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Resultant?oldid=1105451284&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Resultant |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Resultant_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Macaulay's_resultant dbr:Macaulay_resultant dbr:Polynomial_resultant dbr:Multipolynomial_resultant dbr:Multivariate_resultant dbr:Eliminant dbr:Resultants |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Elimination_theory dbr:List_of_computer_algebra_systems dbr:Determinant dbr:Algebraic_number_field dbr:Cyclotomic_polynomial dbr:Intersection_number dbr:Invariant_of_a_binary_form dbr:Problem_of_Apollonius dbr:List_of_named_matrices dbr:List_of_polynomial_topics dbr:Sylvester_matrix dbr:Macaulay's_resultant dbr:Macaulay_resultant dbr:1683_in_science dbr:1690_in_science dbr:Timeline_of_mathematics dbr:Emmy_Noether dbr:Glossary_of_classical_algebraic_geometry dbr:Glossary_of_invariant_theory dbr:Coppersmith's_attack dbr:Linear_relation dbr:Parametric_equation dbr:Uwe_Storch dbr:Bézout's_theorem dbr:Algebraic_geometry dbr:Algebraic_integer dbr:Algebraic_number dbr:Cubic_equation dbr:Extended_Euclidean_algorithm dbr:Bring_radical dbr:List_of_Japanese_inventions_and_discoveries dbr:Primary_decomposition dbr:Regular_chain dbr:Resultant_(disambiguation) dbr:Gröbner_basis dbr:Hilbert's_Nullstellensatz dbr:Smith_chart dbr:Abramov's_algorithm dbr:SymPy dbr:Weil_reciprocity_law dbr:Discriminant dbr:Bézout_matrix dbr:Polynomial_greatest_common_divisor dbr:Polynomial_resultant dbr:Seki_Takakazu dbr:Plasma-immersion_ion_implantation dbr:Transfer_matrix dbr:Multipolynomial_resultant dbr:Multivariate_resultant dbr:Polynomial_transformation dbr:Nonlinear_algebra dbr:Eliminant dbr:Resultants |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Resultant |