Discriminant (original) (raw)
Diskriminant je polynom s reálnými nebo komplexními koeficienty, který se používá při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, také při studiu vlastností polynomických funkcí.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En àlgebra, el discriminant d'un polinomi amb coeficients reals o complexos és una expressió dels coeficients del polinomi. Aquesta expressió dona zero si i només si el polinomi té arrels múltiples en el cos dels nombres complexos. Per exemple el discriminant del polinomi de segon grau és . El discriminant d'un polinomi de tercer grau és . Aquest concepte també s'aplica si el polinomi té coeficients en un cos que no sigui subconjunt dels nombres complexos. En aquest cas el discriminant s'anul·la si i només si el polinomi té arrels múltiples en el corresponent cos de descomposició. El discriminant ve donat per on és el coeficient principal i són arrels (tenint en compte la multiplicitat) del polinomi en algun cos de descomposició. El concepte de discriminant s'ha generalitzat a altres estructures algebraiques més enllà dels polinomis, incloent còniques, formes quadràtiques, i . Els discriminants en la teoria de nombres algebraics estan relacionats i contenen informació sobre la . De fet, els altres tipus geomètrics de ramificació també estan relacionats amb tipus més abstractes de discriminant, fent de la idea de discriminant una idea algebraica central en moltes aplicacions. (ca) Diskriminant je polynom s reálnými nebo komplexními koeficienty, který se používá při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, také při studiu vlastností polynomických funkcí. (cs) في الجبر، المُمَيِّز (بالإنجليزية: Discriminant) عبارة رياضية تعرف بها طبيعة جذور متعددة الحدود. سمي بالمميز لأنه يميز بين المعادلة ذات الجذر الواحد والمعادلة ذات الجذر المتعدد المتميز. مثلا، مميز متعددة الحدود التربيعية هو Δ. فإذا كان Δ>0 (مميز المعادلة موجب) فلمتعددة الحدود جذران حقيقيان، وإذا كان Δ=0 فلها جذر حقيقي واحد، أما إذا كان المميز سالبا Δ<0 فليس لها حل حقيقي. (ar) Die Diskriminante (lateinisch discriminare = unterscheiden) ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht. Am bekanntesten ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung. (de) In mathematics, the discriminant of a polynomial is a quantity that depends on the coefficients and allows deducing some properties of the roots without computing them. More precisely, it is a polynomial function of the coefficients of the original polynomial. The discriminant is widely used in polynomial factoring, number theory, and algebraic geometry. The discriminant of the quadratic polynomial is the quantity which appears under the square root in the quadratic formula. If this discriminant is zero if and only if the polynomial has a double root. In the case of real coefficients, it is positive if the polynomial has two distinct real roots, and negative if it has two distinct complex conjugate roots. Similarly, the discriminant of a cubic polynomial is zero if and only if the polynomial has a multiple root. In the case of a cubic with real coefficients, the discriminant is positive if the polynomial has three distinct real roots, and negative if it has one real root and two distinct complex conjugate roots. More generally, the discriminant of a univariate polynomial of positive degree is zero if and only if the polynomial has a multiple root. For real coefficients and no multiple roots, the discriminant is positive if the number of non-real roots is a multiple of 4 (including none), and negative otherwise. Several generalizations are also called discriminant: the discriminant of an algebraic number field; the discriminant of a quadratic form; and more generally, the discriminant of a form, of a homogeneous polynomial, or of a projective hypersurface (these three concepts are essentially equivalent). (en) Réalisant( Ne doit pas être confondu avec Déterminant (mathématiques). ) En mathématiques, le discriminant noté , ou le réalisant noté , est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré > 0 quelconque et dont les coefficients sont choisis dans des ensembles munis d'une addition et d'une multiplication. Le discriminant apporte dans ce cadre une information sur l'existence ou l'absence de racine multiple. Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes. Son usage permet de mieux comprendre les coniques et les quadriques en général. On le retrouve dans l'étude des formes quadratiques ou celle des corps de nombres dans le cadre de la théorie de Galois ou celle des nombres algébriques. Sa définition se fonde sur le calcul d'un déterminant. (fr) En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático es . El discriminante del polinomio cúbico es . Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se anula si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición. El concepto de discriminante ha sido generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo secciones cónicas, formas cuadráticas y . Los discriminantes en la teoría de números algebraicos están fuertemente relacionados y contienen información sobre ramificaciones. De hecho, los tipos de ramificación están relacionados con tipos más abstractos de discriminantes, lo que convierte esta idea algebraica en capital en muchas aplicaciones. (es) Slonn matamaiticiúil a léiríonn go bhfuil fréamhacha réadacha leithleacha nó fréamhacha cothroma ag cothromóid chearnach, nó nach bhfuil. Is é idirdhealaí na cothromóide ax2 + bx + c = 0 ná b2–4 ac. Más b2–4 ac > 0, tá fréamhacha réadacha leithleacha ag an gcothromóid. Más b2–4 ac = 0, tá fréamhacha cothroma aici. Más b2–4 ac < 0, níl fréamhacha réadacha aici, agus scríobhtar na fréamhacha i dtéarmaí uimhreacha coimpléascacha. (ga) Dalam matematika, Diskriminan dari polinomial adalah kuantitas yang bergantung pada koefisien dan menentukan berbagai properti dari . Diskriminan polinomial umumnya didefinisikan dalam istilah fungsi polinomial dari koefisiennya. Diskriminan banyak digunakan dalam , teori bilangan, dan geometri aljabar. Diskriminan, sering dilambangkan dengan simbol , adalah: yang bernilai nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki . Dalam kasus koefisien nyata, bernilai positif jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki dua akar nyata yang berbeda. Demikian pula untuk sebuah , diskriminannya adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki . Dalam kasus koefisien nyata, diskriminan bernilai positif jika akarnya adalah tiga bilangan real berbeda, dan negatif jika ada satu akar nyata dan dua akar berbeda. Secara lebih umum, diskriminan polinomial positif adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut berakar banyak. Jika koefisiennya nyata, dan tidak ada akar ganda, diskriminan bernilai positif jika jumlah akar non-nyata adalah dari 4 (termasuk nol), dan negatif. Beberapa generalisasi diskriminan polinomial (univariat) juga disebut diskriminan: ; yang diskriminan dari ; lebih umum, diskriminan dari , . (in) 数学において、多項式の判別式（はんべつしき、英: discriminant）とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。 一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。 (ja) ( 이 문서는 다항 방정식의 판별식에 관한 것입니다. 대수적 수체의 판별식에 대해서는 수체의 판별식 문서를 참고하십시오.) 수학에서 판별식(判別式, 영어: discriminant)은 다항식이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다. (ko) In de algebra is de discriminant (Latijn: discriminare, onderscheiden) van een polynoom een speciale uitdrukking in de coëfficiënten die belangrijke informatie geeft over het aantal nulpunten. De discriminant is alleen dan gelijk aan nul als de polynoom een of meer meervoudige (complexe) nulpunten heeft. De discriminant is vooral bekend uit de theorie van de vierkantsvergelijkingen, ter bepaling van de nulpunten van tweedegraadspolynomen. (nl) Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników danego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne. (pl) In matematica, il discriminante di un polinomio è una quantità che dà informazioni sulle sue radici e, nell'ambito della teoria di Galois, sul gruppo di Galois del polinomio. Come caso particolare, il discriminante dell'equazione di secondo grado è , e questa quantità è presente direttamente nella formula risolutiva dell'equazione. (it) Дискриміна́нт, ви́ріжник (від лат. discriminar — «розбирати», «розрізняти») многочлена — за визначенням це добуток , де - всі корені (з урахуванням кратностей) в деякому розширенні основного поля, в якому вони існують. (uk) 判別式是代数学中的概念。一个实系数或复系数多项式的判别式是一个与之相关的表达式。判别式等于零当且仅当多项式有重根。 当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为： 其中的是多项式的最高次项系数，是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。 判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。 (zh) Дискримина́нт многочлена — математическое понятие (в алгебре), обозначаемое буквами D или Δ. Для многочлена , , его дискриминант есть произведение ,где — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют. Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена, знак которого определяет количество действительных корней. (ru) |
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Is é idirdhealaí na cothromóide ax2 + bx + c = 0 ná b2–4 ac. Más b2–4 ac > 0, tá fréamhacha réadacha leithleacha ag an gcothromóid. Más b2–4 ac = 0, tá fréamhacha cothroma aici. Más b2–4 ac < 0, níl fréamhacha réadacha aici, agus scríobhtar na fréamhacha i dtéarmaí uimhreacha coimpléascacha. (ga) 数学において、多項式の判別式（はんべつしき、英: discriminant）とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。 一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。 (ja) ( 이 문서는 다항 방정식의 판별식에 관한 것입니다. 대수적 수체의 판별식에 대해서는 수체의 판별식 문서를 참고하십시오.) 수학에서 판별식(判別式, 영어: discriminant)은 다항식이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다. (ko) In de algebra is de discriminant (Latijn: discriminare, onderscheiden) van een polynoom een speciale uitdrukking in de coëfficiënten die belangrijke informatie geeft over het aantal nulpunten. De discriminant is alleen dan gelijk aan nul als de polynoom een of meer meervoudige (complexe) nulpunten heeft. De discriminant is vooral bekend uit de theorie van de vierkantsvergelijkingen, ter bepaling van de nulpunten van tweedegraadspolynomen. (nl) Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników danego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne. (pl) In matematica, il discriminante di un polinomio è una quantità che dà informazioni sulle sue radici e, nell'ambito della teoria di Galois, sul gruppo di Galois del polinomio. Come caso particolare, il discriminante dell'equazione di secondo grado è , e questa quantità è presente direttamente nella formula risolutiva dell'equazione. (it) Дискриміна́нт, ви́ріжник (від лат. discriminar — «розбирати», «розрізняти») многочлена — за визначенням це добуток , де - всі корені (з урахуванням кратностей) в деякому розширенні основного поля, в якому вони існують. (uk) 判別式是代数学中的概念。一个实系数或复系数多项式的判别式是一个与之相关的表达式。判别式等于零当且仅当多项式有重根。 当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为： 其中的是多项式的最高次项系数，是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。 判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。 (zh) Дискримина́нт многочлена — математическое понятие (в алгебре), обозначаемое буквами D или Δ. Для многочлена , , его дискриминант есть произведение ,где — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют. Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена, знак которого определяет количество действительных корней. (ru) En àlgebra, el discriminant d'un polinomi amb coeficients reals o complexos és una expressió dels coeficients del polinomi. Aquesta expressió dona zero si i només si el polinomi té arrels múltiples en el cos dels nombres complexos. Per exemple el discriminant del polinomi de segon grau és . El discriminant d'un polinomi de tercer grau és . on és el coeficient principal i són arrels (tenint en compte la multiplicitat) del polinomi en algun cos de descomposició. (ca) In mathematics, the discriminant of a polynomial is a quantity that depends on the coefficients and allows deducing some properties of the roots without computing them. More precisely, it is a polynomial function of the coefficients of the original polynomial. The discriminant is widely used in polynomial factoring, number theory, and algebraic geometry. The discriminant of the quadratic polynomial is (en) En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático es . El discriminante del polinomio cúbico es . Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se anula si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición. (es) Dalam matematika, Diskriminan dari polinomial adalah kuantitas yang bergantung pada koefisien dan menentukan berbagai properti dari . Diskriminan polinomial umumnya didefinisikan dalam istilah fungsi polinomial dari koefisiennya. Diskriminan banyak digunakan dalam , teori bilangan, dan geometri aljabar. Diskriminan, sering dilambangkan dengan simbol , adalah: Beberapa generalisasi diskriminan polinomial (univariat) juga disebut diskriminan: ; yang diskriminan dari ; lebih umum, diskriminan dari , . (in) Réalisant( Ne doit pas être confondu avec Déterminant (mathématiques). ) En mathématiques, le discriminant noté , ou le réalisant noté , est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. 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