Supersymmetric theory of stochastic dynamics (original) (raw)
La théorie supersymétrique de la dynamique stochastique (TSDS) est une théorie exacte des équations différentielles (partielles) stochastiques (EDS). Elle représente une classe de modèles mathématiques très large qui décrit, en particulier, tous les systèmes dynamiques à temps continu, avec et sans bruit. Du point de vue physique, son utilité tient en une explication théorique rigoureuse du comportement omniprésent d'une dynamique spontanée à longue portée qui se manifeste dans de très nombreuses disciplines via des phénomènes tels que la loi en 1/f, le scintillement, les bruits de crépitement et les statistiques de loi de puissance, ou loi de Zipf, ainsi que des processus instantanés comme les tremblements de terre et les avalanches neurales. D'un point de vue mathématique, TSDS relie deu
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| dbo:abstract | La théorie supersymétrique de la dynamique stochastique (TSDS) est une théorie exacte des équations différentielles (partielles) stochastiques (EDS). Elle représente une classe de modèles mathématiques très large qui décrit, en particulier, tous les systèmes dynamiques à temps continu, avec et sans bruit. Du point de vue physique, son utilité tient en une explication théorique rigoureuse du comportement omniprésent d'une dynamique spontanée à longue portée qui se manifeste dans de très nombreuses disciplines via des phénomènes tels que la loi en 1/f, le scintillement, les bruits de crépitement et les statistiques de loi de puissance, ou loi de Zipf, ainsi que des processus instantanés comme les tremblements de terre et les avalanches neurales. D'un point de vue mathématique, TSDS relie deux grandes parties de la physique mathématique - la théorie des systèmes dynamiques et la théorie topologique des champs. Outre ces disciplines principales et connexes telles que la topologie algébrique et les théories des champs supersymétriques, TSDS est également reliée à la théorie traditionnelle des équations différentielles stochastiques et à la théorie des opérateurs pseudo-hermitiens. La théorie apparait lors de la procédure de fixation de jauge BRST de l'EDS de Langevin, qui a ensuite été adaptée à la mécanique classique et sa généralisation stochastique, puis aux EDS de Langevin d'ordre élevé et, plus récemment, aux EDS de formes arbitraires. Ces travaux ont permis de relier le formalisme BRST au concept d'opérateurs de transfert et d'identifier la brisure spontanée de la supersymétrie BRST comme une généralisation stochastique d'un chaos dynamique. Cette théorie étudie principalement l'évolution temporelle de formes différentielles définies par l'EDS elle-même, plutôt que les trajectoires produites par cette équation. Lors de la dynamique, l'évolution temporelle de ces formes différentielles présente une supersymétrie topologique qui matérialise la préservation d'une certaine structure topologie et/ou du concept de proximité de la mesure dans l'espace des phases. La théorie identifie une situation chaotique, au sens stochastique généralisé, lorsqu'un état fondamental de cette théorie n'est pas supersymétrique, c'est-à-dire lorsque la supersymétrie est spontanément brisée. Il en résulte un comportement émergent à longue portée qui s'accompagne toujours d'un chaos dynamique et de conséquences telles que la turbulence et la criticité auto-organisée, dont la nature peut être perçue comme une manifestation du théorème de Goldstone . (fr) Supersymmetric theory of stochastic dynamics or stochastics (STS) is an exact theory of stochastic (partial) differential equations (SDEs), the class of mathematical models with the widest applicability covering, in particular, all continuous time dynamical systems, with and without noise. The main utility of the theory from the physical point of view is a rigorous theoretical explanation of the ubiquitous spontaneous long-range dynamical behavior that manifests itself across disciplines via such phenomena as 1/f, flicker, and crackling noises and the power-law statistics, or Zipf's law, of instantonic processes like earthquakes and neuroavalanches. From the mathematical point of view, STS is interesting because it bridges the two major parts of mathematical physics – the dynamical systems theory and topological field theories. Besides these and related disciplines such as algebraic topology and supersymmetric field theories, STS is also connected with the traditional theory of stochastic differential equations and the theory of pseudo-Hermitian operators. The theory began with the application of BRST gauge fixing procedure to Langevin SDEs, that was later adapted to classical mechanics and its stochastic generalization, higher-order Langevin SDEs, and, more recently, to SDEs of arbitrary form, which allowed to link BRST formalism to the concept of transfer operators and recognize spontaneous breakdown of BRST supersymmetry as a stochastic generalization of dynamical chaos. The main idea of the theory is to study, instead of trajectories, the SDE-defined temporal evolution of differential forms. This evolution has an intrinsic BRST or topological supersymmetry representing the preservation of topology and/or the concept of proximity in the phase space by continuous time dynamics. The theory identifies a model as chaotic, in the generalized, stochastic sense, if its ground state is not supersymmetric, i.e., if the supersymmetry is broken spontaneously. Accordingly, the emergent long-range behavior that always accompanies dynamical chaos and its derivatives such as turbulence and self-organized criticality can be understood as a consequence of the Goldstone theorem. (en) |
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