Tetration (original) (raw)
Tetrace je matematická operace, která je jakýmsi rozšířením umocňování. Zatímco násobení je vlastně opakované sčítání a umocňování opakované násobení, tetrace je opakované umocňování. Opakovaná tetrace se nazývá pentace.
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| dbo:abstract | Tetrace je matematická operace, která je jakýmsi rozšířením umocňování. Zatímco násobení je vlastně opakované sčítání a umocňování opakované násobení, tetrace je opakované umocňování. Opakovaná tetrace se nazývá pentace. (cs) In der Mathematik, insbesondere der Zahlentheorie, spricht man von einem Potenzturm, wenn der Exponent einer Potenz selbst als Potenz dargestellt wird. Dies kann sich dann wiederholen, indem auch der Exponent des Exponenten eine Potenz ist und so weiter, sodass sich die Basen zu einem Turm aufbauen, der vom (letzten) Exponenten abgeschlossen wird. Die Schreibweise wird üblicherweise für Zahlen verwendet, bei denen der Exponent in normaler Schreibweise zu groß wäre, z. B.: Je größer die Zahl wird, desto deutlicher wird der Vorteil dieser verkürzenden Schreibweise. Schon der Exponent dieser 2er-Potenz hätte, in Dezimalschreibweise notiert, 19.728 Stellen. Das Gesamtergebnis wäre damit kaum noch nutzbar oder verständlich. Dabei gilt die Konvention, dass Potenztürme „von oben nach unten“ abgearbeitet werden, also mit der höchsten Potenz beginnend: bedeutet daher und nicht . Mit Hilfe dieser Schreibweise lassen sich sehr große Zahlen übersichtlich darstellen, die schnell jenseits jeder direkten Vorstellbarkeit liegen und die sich in absoluter Länge und als einfache Potenz nicht mehr oder nur umständlich darstellen lassen. Dennoch gibt es Zahlen, die so groß sind, dass selbst diese Schreibweise nicht mehr ausreicht, um sie darzustellen. Wenn also ein Potenzturm zu viele Stufen hat, als dass man sie noch darstellen könnte, nutzt man alternative Schreibweisen wie den Hyper-Operator. (de) En matematiko, supereksponento aŭ 4-hiperoperatoro estas ripetita eksponenta funkcio, la sekva hiperoperatoro post potencigo. Jen estas la unuaj kvar hiperoperatoroj, kaj supereksponento estas la kvara: * 1 Adicio * 2 Multipliko * 3 potencigo * 4 Supereksponento kie ĉiu operacio estas difinita kiel ripetado de la antaŭa. Adicio (a+b) estas b-foja ripeto de la "adicio de 1" aplikata al a, multipliko (ab) estas ĉena adicio de b nombroj a, potencigo ab estas ĉena multipliko de b nombroj a. Analoge, supereksponento ba estas ĉena potencigo de b nombroj a. La parametro a estas la bazo kaj la parametro b estas la alto-parametro. La unua tri operatoroj - adicio, multipliko kaj potencigo - povas esti ĝeneraligita por kompleksaj valoroj de ambaŭ argumentoj. Sed por supereksponento ĉi tia bona regula ĝeneraligo ne estas ankoraŭ trovita. Iuj provoj de ĝeneraligo estas priskribitaj pli sube, sed ili ne estas sufiĉe bonaj. Tiel supereksponento ne estas konsiderata kiel . Gravas ke en kalkulado de multnivela potencigo, la potencigo estas farita ekde la plej profunda nivelo (en la skribmaniero, ekde la plej supra nivelo): Se fari la potencigon en la mala ordo rezultiĝas ĝenerale la alia valoro, ekzemple: La alia varianto de supereksponento povas esti enkondukita por la dua varianto, tamen ĉi tiu okazo povas esti skribita kiel Estas ankaŭ la aliaj similaj al supereksponento esprimoj: (eo) En matemáticas, la tetración (o hiper-4) es el siguiente hiperoperador después de la exponenciación, y es definida como una exponenciación iterada. La palabra proviene de tetra (cuatro) y ción (iteración). La tetración es usada para la . (es) La tétration (ou encore nappe exponentielle, hyperpuissance, tour de puissances, super-exponentiation ou hyper4) est une « exponentiation itérée ». C'est le premier hyperopérateur après l'exponentiation. Le mot-valise tétration a été forgé par Reuben Goodstein sur la base du préfixe tétra- (quatre) et itération. La tétration est utilisée pour l'écriture des grands nombres. Elle suit l'addition, la multiplication et l'exponentiation comme indiqué ci-après : 1. * multiplication 2. * exponentiation 3. * tétration avec chaque fois b apparitions de la lettre a. La multiplication (a × b) peut être vue comme (b-1) itérations de l'opération "ajouter a", l'exponentiation (ab) comme (b-1) itérations de l'opération "multiplier par a" donc b apparitions de la lettre a. De manière analogue, la tétration (ba) peut être considérée comme (b-1) itérations de l'opération "élever à la puissance a". On remarquera que lorsque l'on évalue une exponentiation à niveaux multiples, l'exponentiation est effectuée au niveau le plus « profond » en premier lieu (en notation, au niveau le plus élevé), c'est-à-dire de la droite vers la gauche. En d'autres termes : n'est pas égal à . Ceci est la règle générale pour l'ordre des opérations impliquant une exponentiation répétée. (fr) Tetrasi (bahasa Inggris: Tetration) adalah operator matematika binari, yang dirumuskan seperti , dengan y kalinya x. operator ini tak muncul di matematika umum, jadi tak banyak dikenal. Bila ini diulang-ulang lagi, akan menghasilkan pentasi (tetrasi berulang, atau ). Tetrasi juga bisa disimbolkan sebagai dalam notasi anak panah Knuth. (in) In mathematics, tetration (or hyper-4) is an operation based on iterated, or repeated, exponentiation. There is no standard notation for tetration, though and the left-exponent xb are common. Under the definition as repeated exponentiation, means , where n copies of a are iterated via exponentiation, right-to-left, i.e. the application of exponentiation times. n is called the "height" of the function, while a is called the "base," analogous to exponentiation. It would be read as "the nth tetration of a". It is the next hyperoperation after exponentiation, but before pentation. The word was coined by Reuben Louis Goodstein from tetra- (four) and iteration. Tetration is also defined recursively as allowing for attempts to extend tetration to non-natural numbers such as real and complex numbers. The two inverses of tetration are called super-root and super-logarithm, analogous to the nth root and the logarithmic functions. None of the three functions are elementary. Tetration is used for the notation of very large numbers. (en) La tetrazione è la quarta operazione aritmetica, dopo addizione, moltiplicazione e potenza. Le relative operazioni inverse della tetrazione sono la e il . La tetrazione è una serie di esponenti: che si legge "a tetratto " o "a torre ". Quando, in una potenza, l'esponente è troppo lungo da scrivere, il numero potrebbe essere riscritto sotto forma di iperpotenza: La tetrazione è il minimo iper-operatore caratterizzato dalla cosiddetta "convergenza p-adica" (cfr. Numero p-adico). Fissata la base di numerazione, calcolando (con ed interi positivi) le ultime cifre resteranno immutate per (con ), a partire da un certo valore . Un modo compatto di rappresentare la tetrazione è offerto dalla Notazione a frecce di Knuth. Se si considera il numero di cifre del generico numerosi ottiene la , corrispondente alla successione A054382 dell'OEIS. (it) テトレーション（英: tetration）とは、冪乗の次となる4番目のハイパー演算である。つまり、自らの冪乗を指定された回数反復する二項演算である。超冪（ちょうべき）ともいうが、この語は n ≥ 4 番目の一般のハイパー演算を総称するために用いられることもある。テトレーションという語はによって、「4」を意味する接頭辞 tetra- と「繰り返し」を意味する iteration から作り出された。 (ja) 수학에서 테트레이션(영어: tetration, hyper-4)은 거듭제곱의 다음 차례에 오는 하이퍼 연산으로, 거듭제곱의 반복으로 정의된다. 이 단어는 루벤 루이스 굿스타인이 4를 뜻하는 tetra-와 를 의미하는 iteration을 합성한 것이다. 테트레이션은 보통 큰 수를 표기하는 데 이용한다. 표기법 은 에서 거듭제곱이 번 적용된 것을 의미한다. 여기에 나타낸 것은 처음 네 하이퍼연산을 나타낸 것으로, 테트레이션이 네 번째이다(그리고 증분, 증분은 로 정의된 단항 연산으로 를 넣으면 의 다음 수를 얻는 연산이 0번째다): 1. * 덧셈n번 a에 1이 더해졌다. 2. * 곱셈n번 a가 덧셈으로 결합했다. 3. * 거듭제곱n번 a가 곱셈으로 결합했다. 4. * 테트레이션n번 a가 오른쪽에서 왼쪽으로 결합했다. 위의 예시들은 "a의 n번째 테트레이션"(the nth tetration of a)이라고 읽는다. 각 연산은 이전의 연산을 반복하는 것으로 정의한다(이 수열의 다음 연산은 펜테이션이다). 테트레이션은 초등함수가 아니다. (ko) Tetratie is de operatie van het herhaald machtsverheffen, waarbij het resultaat van een machtsverheffing steeds wordt gebruikt als exponent bij de volgende, terwijl het grondtal steeds gelijk blijft. Tetratie is een rekenkundige bewerking van de vierde orde en kan in termen van machtsverheffen als volgt worden gedefinieerd: Het is hier geschreven als maal machtsverheffen met grondtal , beginnend bij , maar gelijkwaardig is het maal machtsverheffen met grondtal , beginnend bij (vergelijk machtsverheffen, dat herhaald vermenigvuldigen is met factor , beginnend bij of 1, en vermenigvuldigen, dat herhaald optellen is met term , beginnend bij of 0). De notatie is een relatief eenvoudige versie van de Knuths pijlomhoognotatie (met "slechts" twee pijlen), terwijl de notatie onder de noemer Ruckers notatie te boek staat.Bij de ruckernotatie dient er zorg voor gedragen te worden dat er geen verwarring ontstaat bij uitdrukkingen van de vorm . In de meeste gevallen geldt namelijk dat . Deze notatie wordt in andere talen ook wel de toren van machten of machtentoren genoemd. (nl) Tetracja (znana też jako iterowane potęgowanie, superpotęgowanie, wieża wykładnicza lub hiper-4) – działanie dwuargumentowe będące wielokrotnym potęgowaniem elementu przez siebie. Słowo tetracja wymyślił angielski matematyk Reuben Louis Goodstein łącząc (cztery) i iteracja. W praktyce tetracja jest używana do zapisu bardzo dużych liczb. Poniżej przedstawione są pierwsze cztery hiperoperatory: 1. * dodawanie powiększone o razy. 2. * mnożenie dodane do siebie razy. 3. * potęgowanie pomnożone przez siebie razy. 4. * tetracja potęgowane przez siebie razy. gdzie każda operacja jest zdefiniowana przez iterowanie poprzedniej. W odróżnieniu od pierwszych trzech działań dla tetracji nie ma uogólnienia wartości na liczby wymierne (a tym bardziej na rzeczywiste). (pl) Tetraering är en aritmetisk operator som betecknar upprepade potenser. Ett tetraeringsuttryck kan till exempel skrivas , och utläses "fjärde tetraeringen av två". Ett annat sätt att skriva tetraering är med Knuths pilnotation: . Tetraering är den fjärde så kallade . Den tredje är exponentiering och den femte kallas . (sv) Тетра́ция (гиперопера́тор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел. Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году. (ru) Em matemática, Tetração (também conhecida como hiper-4) é uma exponencial iterada, o primeiro hiper operador após a exponenciação. A palavra tetração foi cunhada pelo matemático inglês Rubem Louis Goodstein de tetra- (quatro) e iteração. Tetração é usada como notação para números muito grandes, mas tem poucas aplicações práticas, por isso só tem sido estudada em matemática pura. Aqui são mostrados exemplos dos primeiros quatro hiper operadores, com tetração como o quarto: 1. * AdiçãoA primeira e mais simples operação. 2. * MultiplicaçãoGeralmente também é uma das operações primárias, mas em casos especiais (para os números naturais) pode ser vista como a somado a si mesmo, n vezes. 3. * Exponenciaçãoa multiplicado por si mesmo, n vezes. 4. * Tetraçãoa exponenciado por si mesmo, n vezes. Onde cada operação é definida pela iteração do anterior. A peculiaridade da tetração entre essas operações é que as três primeiras (adição, multiplicação e exponenciação) são generalizadas para os valores complexos de n, enquanto que para a tetração, nenhuma generalização regular foi ainda estabelecida; e a tetração não é considerada uma função elementar. Adição (a + n) é a operação mais básica. A multiplicação (an) é também uma operação primária, embora para números naturais possa ser pensada como uma adição encadeada envolvendo n números a; e a exponenciação pode ser pensada como uma multiplicação encadeada envolvendo n números a. Analogamente, tetração pode ser pensada como uma potência encadeada envolvendo n números a. O parâmetro a pode ser chamado de parâmetro-base a ser seguido, enquanto o parâmetro n a ser seguido pode ser chamado de parâmetro-altura (que é inteiro na primeira abordagem, mas pode ser generalizado para altura fracionária, real e complexa). (pt) 在數學裡面，迭代冪次 （亦作超-4運算或四級運算），或可理解為迭代乘方、冪塔運算和超冪運算等等，是專指冪的下一個超運算級別，用以表示極大的數字。以下列舉了首四個超運算級別，其中迭代冪次為第四級，（后继函数，例如即將加上一，可理解為第零級運算，相關解釋參見皮亞諾公理）。範例如下： 1. * 加法a 的連續n 次後繼 2. * 乘法a 連續加上自己n 次 3. * 冪a 連續乘以自己n 次 4. * 迭代冪次a 連續取冪於自己n 次 以上每一個運算級別皆被定義為對上一運算級別的迭代（迭代冪次的下一個運算級別為五級運算（超-5運算））。迭代冪次跟首三個超運算級別的一大不同之處在於首三個超運算級別中的n 可以是任意複數，而n 為任意複數的迭代冪次目前則未有一個概括的定義。另外，迭代冪次不屬於初等函數。 加法(a + n)是最基本的運算級別；乘法(a × n)亦是其中一種初等函數，在自然數的域當中，它可被視為a 的n 次鏈式加法；冪則可被視為a 的n 次鏈式乘法。如此類推，迭代冪次可被視為a 的n 次鏈式冪。當中，變量a 將會在下文被稱為底數，而變量n 則是此函數的高度值，在下文有時會被稱為上標數（早段提及的上標數皆為整數，而後則會擴展到分數、實數以及複數，如下所示）。 (zh) Тетрація (супер-степінь, гіпер-4) — ітераційна операція піднесення до степеня; гіпероператор наступний після піднесення до степеня. Застосовується для опису великих чисел. Термін тетрація, складається зі слів тетра- (чотири) та ітерація, був вперше застосований англійським математиком в 1947 році (uk) |
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(in) テトレーション（英: tetration）とは、冪乗の次となる4番目のハイパー演算である。つまり、自らの冪乗を指定された回数反復する二項演算である。超冪（ちょうべき）ともいうが、この語は n ≥ 4 番目の一般のハイパー演算を総称するために用いられることもある。テトレーションという語はによって、「4」を意味する接頭辞 tetra- と「繰り返し」を意味する iteration から作り出された。 (ja) 수학에서 테트레이션(영어: tetration, hyper-4)은 거듭제곱의 다음 차례에 오는 하이퍼 연산으로, 거듭제곱의 반복으로 정의된다. 이 단어는 루벤 루이스 굿스타인이 4를 뜻하는 tetra-와 를 의미하는 iteration을 합성한 것이다. 테트레이션은 보통 큰 수를 표기하는 데 이용한다. 표기법 은 에서 거듭제곱이 번 적용된 것을 의미한다. 여기에 나타낸 것은 처음 네 하이퍼연산을 나타낸 것으로, 테트레이션이 네 번째이다(그리고 증분, 증분은 로 정의된 단항 연산으로 를 넣으면 의 다음 수를 얻는 연산이 0번째다): 1. * 덧셈n번 a에 1이 더해졌다. 2. * 곱셈n번 a가 덧셈으로 결합했다. 3. * 거듭제곱n번 a가 곱셈으로 결합했다. 4. * 테트레이션n번 a가 오른쪽에서 왼쪽으로 결합했다. 위의 예시들은 "a의 n번째 테트레이션"(the nth tetration of a)이라고 읽는다. 각 연산은 이전의 연산을 반복하는 것으로 정의한다(이 수열의 다음 연산은 펜테이션이다). 테트레이션은 초등함수가 아니다. (ko) Tetraering är en aritmetisk operator som betecknar upprepade potenser. Ett tetraeringsuttryck kan till exempel skrivas , och utläses "fjärde tetraeringen av två". Ett annat sätt att skriva tetraering är med Knuths pilnotation: . Tetraering är den fjärde så kallade . Den tredje är exponentiering och den femte kallas . (sv) Тетра́ция (гиперопера́тор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел. Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году. (ru) 在數學裡面，迭代冪次 （亦作超-4運算或四級運算），或可理解為迭代乘方、冪塔運算和超冪運算等等，是專指冪的下一個超運算級別，用以表示極大的數字。以下列舉了首四個超運算級別，其中迭代冪次為第四級，（后继函数，例如即將加上一，可理解為第零級運算，相關解釋參見皮亞諾公理）。範例如下： 1. * 加法a 的連續n 次後繼 2. * 乘法a 連續加上自己n 次 3. * 冪a 連續乘以自己n 次 4. * 迭代冪次a 連續取冪於自己n 次 以上每一個運算級別皆被定義為對上一運算級別的迭代（迭代冪次的下一個運算級別為五級運算（超-5運算））。迭代冪次跟首三個超運算級別的一大不同之處在於首三個超運算級別中的n 可以是任意複數，而n 為任意複數的迭代冪次目前則未有一個概括的定義。另外，迭代冪次不屬於初等函數。 加法(a + n)是最基本的運算級別；乘法(a × n)亦是其中一種初等函數，在自然數的域當中，它可被視為a 的n 次鏈式加法；冪則可被視為a 的n 次鏈式乘法。如此類推，迭代冪次可被視為a 的n 次鏈式冪。當中，變量a 將會在下文被稱為底數，而變量n 則是此函數的高度值，在下文有時會被稱為上標數（早段提及的上標數皆為整數，而後則會擴展到分數、實數以及複數，如下所示）。 (zh) Тетрація (супер-степінь, гіпер-4) — ітераційна операція піднесення до степеня; гіпероператор наступний після піднесення до степеня. Застосовується для опису великих чисел. Термін тетрація, складається зі слів тетра- (чотири) та ітерація, був вперше застосований англійським математиком в 1947 році (uk) En matematiko, supereksponento aŭ 4-hiperoperatoro estas ripetita eksponenta funkcio, la sekva hiperoperatoro post potencigo. Jen estas la unuaj kvar hiperoperatoroj, kaj supereksponento estas la kvara: * 1 Adicio * 2 Multipliko * 3 potencigo * 4 Supereksponento kie ĉiu operacio estas difinita kiel ripetado de la antaŭa. Gravas ke en kalkulado de multnivela potencigo, la potencigo estas farita ekde la plej profunda nivelo (en la skribmaniero, ekde la plej supra nivelo): Se fari la potencigon en la mala ordo rezultiĝas ĝenerale la alia valoro, ekzemple: (eo) In der Mathematik, insbesondere der Zahlentheorie, spricht man von einem Potenzturm, wenn der Exponent einer Potenz selbst als Potenz dargestellt wird. Dies kann sich dann wiederholen, indem auch der Exponent des Exponenten eine Potenz ist und so weiter, sodass sich die Basen zu einem Turm aufbauen, der vom (letzten) Exponenten abgeschlossen wird. Die Schreibweise wird üblicherweise für Zahlen verwendet, bei denen der Exponent in normaler Schreibweise zu groß wäre, z. B.: Je größer die Zahl wird, desto deutlicher wird der Vorteil dieser verkürzenden Schreibweise. (de) La tétration (ou encore nappe exponentielle, hyperpuissance, tour de puissances, super-exponentiation ou hyper4) est une « exponentiation itérée ». C'est le premier hyperopérateur après l'exponentiation. Le mot-valise tétration a été forgé par Reuben Goodstein sur la base du préfixe tétra- (quatre) et itération. La tétration est utilisée pour l'écriture des grands nombres. Elle suit l'addition, la multiplication et l'exponentiation comme indiqué ci-après : 1. * multiplication 2. * exponentiation 3. * tétration n'est pas égal à . (fr) La tetrazione è la quarta operazione aritmetica, dopo addizione, moltiplicazione e potenza. Le relative operazioni inverse della tetrazione sono la e il . La tetrazione è una serie di esponenti: che si legge "a tetratto " o "a torre ". Quando, in una potenza, l'esponente è troppo lungo da scrivere, il numero potrebbe essere riscritto sotto forma di iperpotenza: Un modo compatto di rappresentare la tetrazione è offerto dalla Notazione a frecce di Knuth. Se si considera il numero di cifre del generico numerosi ottiene la , corrispondente alla successione A054382 dell'OEIS. (it) In mathematics, tetration (or hyper-4) is an operation based on iterated, or repeated, exponentiation. There is no standard notation for tetration, though and the left-exponent xb are common. Under the definition as repeated exponentiation, means , where n copies of a are iterated via exponentiation, right-to-left, i.e. the application of exponentiation times. n is called the "height" of the function, while a is called the "base," analogous to exponentiation. It would be read as "the nth tetration of a". Tetration is also defined recursively as (en) Tetratie is de operatie van het herhaald machtsverheffen, waarbij het resultaat van een machtsverheffing steeds wordt gebruikt als exponent bij de volgende, terwijl het grondtal steeds gelijk blijft. Tetratie is een rekenkundige bewerking van de vierde orde en kan in termen van machtsverheffen als volgt worden gedefinieerd: Deze notatie wordt in andere talen ook wel de toren van machten of machtentoren genoemd. (nl) Em matemática, Tetração (também conhecida como hiper-4) é uma exponencial iterada, o primeiro hiper operador após a exponenciação. A palavra tetração foi cunhada pelo matemático inglês Rubem Louis Goodstein de tetra- (quatro) e iteração. Tetração é usada como notação para números muito grandes, mas tem poucas aplicações práticas, por isso só tem sido estudada em matemática pura. Aqui são mostrados exemplos dos primeiros quatro hiper operadores, com tetração como o quarto: (pt) Tetracja (znana też jako iterowane potęgowanie, superpotęgowanie, wieża wykładnicza lub hiper-4) – działanie dwuargumentowe będące wielokrotnym potęgowaniem elementu przez siebie. Słowo tetracja wymyślił angielski matematyk Reuben Louis Goodstein łącząc (cztery) i iteracja. W praktyce tetracja jest używana do zapisu bardzo dużych liczb. Poniżej przedstawione są pierwsze cztery hiperoperatory: 1. * dodawanie powiększone o razy. 2. * mnożenie dodane do siebie razy. 3. * potęgowanie pomnożone przez siebie razy. 4. * tetracja potęgowane przez siebie razy. (pl) |
| rdfs:label | Tetrace (cs) Potenzturm (de) Supereksponento (eo) Tetración (es) Tétration (fr) Tetrasi (in) Tetrazione (it) 테트레이션 (ko) テトレーション (ja) Tetratie (nl) Tetracja (pl) Tetração (pt) Tetration (en) Тетрация (ru) Tetraering (sv) Тетрація (uk) 迭代冪次 (zh) |
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