Tissot's indicatrix (original) (raw)
Tissotova indikatrix je elipsa, která je obrazem nekonečně malé kružnice opsané danému bodu, jejími hlavními osami jsou hodnoty maximálního a minimálního délkového zkreslení v použitém kartografickém zobrazení. Název nese po francouzském matematikovi .
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| dbo:abstract | Indicatriu de Tissot, o el·lipse de distorsió, és un concepte desenvolupat pel matemàtic francès , entre 1859 i 1871, per a mesurar i il·lustrar distorsions de les projeccions cartogràfiques. És la figura teòrica que resulta de la projecció ortogonal d'un cercle infinitesimal amb una unitat de radi, definit en un model geomètric de la Terra (una esfera o un el·lipsoide), en un pla de projecció. Tissot va provar que aquesta figura és normalment una el·lipse, els eixos indiquen les dues de la projecció en un determinat punt, per exemple, les direccions al llarg de les quals la seva escala és màxima i mínima. Quan la indicatriu de Tissot es redueix a un cercle vol dir que, en aquest punt en particular, l'escala és independent de la direcció. En les , on els angular es conserva en tot el mapa, les indicatrius de Tissot són totes cercles, amb formats variables. En les (àrees iguals), on les proporcions d'àrea es mantenen en tot el mapa, les indicatrius de Tissot tenen la mateixa unitat d'àrea, encara que les seves formes i orientacions varien amb la ubicació. La indicatriu de Tissot s'usa per il·lustrar gràficament les distorsions lineals, angulars i d'àrea dels mapes: * Una distorsió lineal passa quan el quocient entre les corresponents longituds (distàncies) a la superfície de projecció i en el model de la Terra és diferent a l' del mapa. A l'el·lipse de distorsió això s'expressa per una longitud de ràdio diferent a la unitat, en la direcció considerada. * Una distorsió angular passa quan, en una ubicació particular, els angles mesurats en el model de la Terra no es mantenen en la projecció. Això s'expressa per una el·lipse de distorsió que no és un cercle. * Una distorsió d'àrea passa quan les àrees medidad en un model de la Terra no es mantenen en la projecció. Com a conseqüència, les corresponents el·lipses de distorsió tenen àrees diferents a la unitat. (ca) Tissotova indikatrix je elipsa, která je obrazem nekonečně malé kružnice opsané danému bodu, jejími hlavními osami jsou hodnoty maximálního a minimálního délkového zkreslení v použitém kartografickém zobrazení. Název nese po francouzském matematikovi . (cs) Als tissotsche Indikatrix (nach dem französischen Mathematiker Nicolas Auguste Tissot) bezeichnet man Verzerrungsellipsen, mit deren Hilfe Kartennetzentwürfe auf ihre Verzerrungseigenschaften hin überprüft werden können. Um verschiedene Punkte (meist ein Raster von Punkten mit äquidistanten Koordinatenwerten) werden auf der Erdoberfläche gleich große Kreise gezogen. Nach der Verebnung in die Karte können bei den Kreisen unterschiedliche Verformungen auftreten. Danach lassen sich dann die wichtigsten Eigenschaften des Kartennetzentwurfes beurteilen. * Bei winkeltreuen Entwürfen sind alle Verzerrungsellipsen Kreise. * Bei flächentreuen Entwürfen haben alle Verzerrungsellipsen die gleiche Flächengröße. * Bei längentreuen Entwürfen haben die Verzerrungsellipsen in Richtung der Längentreue gleich große Radien. Meist sind Karten nur entlang der Breitenkreise oder Meridiane längentreu. * Behrmanns flächentreuer Schnittzylinderentwurf: Alle Verzerrungsellipsen haben die gleiche Flächengröße. * Winkeltreue Mercatorprojektion: Alle Verzerrungsellipsen sind Kreise. * Vermittelnde Robinson-Projektion: Diese Kartenprojektion ist weder flächentreu noch längentreu oder winkeltreu. (de) L’indicatrice de Tissot est une forme géométrique (un cercle ou une ellipse) permettant d'apprécier le degré de déformation d'un système de projection cartographique. Cet indicateur a été inventé par le cartographe français Nicolas Auguste Tissot. Les modes de projection dits conformes préservent la forme circulaire des indicatrices, mais pas leur taille (ces projections conservent donc les formes des objets représentés, mais pas leur surface). Les modes de projection dits équivalents préservent la surface des indicatrices, mais pas leur forme, ce sont des ellipses (les formes sont altérées, mais pas les surfaces). Les modes de projection les plus courants sont des compromis des deux. (fr) Indicatriz de Tissot, o elipse de distorsión, es un concepto desarrollado por el matemático francés , en 1859 y 1871, para medir e ilustrar distorsiones de las proyecciones cartográficas. Es la figura teórica que resulta de la proyección ortogonal de un círculo infinitesimal con una unidad de radio, definido en un modelo geométrico de la Tierra (una esfera o un elipsoide), en un plano de proyección. Tissot probó que esta figura es normalmente una elipse, cuyos ejes indican las dos de la proyección en un determinado punto, por ejemplo, las direcciones a lo largo de las cuales su escala es máxima y mínima. Cuando la Indicatriz de Tissot se reduce a un círculo significa que, en ese punto en particular, la escala es independiente de la dirección. En las , donde los ángulos se conservan en todo el mapa, las Indicatrices de Tissot son todas círculos, con tamaños variables. En las (áreas iguales), donde las proporciones de área se mantienen en todo el mapa, las Indicatrices de Tissot tienen la misma unidad de área, aunque sus formas y orientaciones varíen con la ubicación. La Indicatriz de Tissot se usa para ilustrar gráficamente las distorsiones lineares, angulares y de área de los mapas: * Una distorsión linear ocurre cuando el cociente entre las correspondientes longitudes (distancias) en la superficie de proyección y en el modelo de la Tierra es diferente a la del mapa. En la elipse de distorsión esto se expresa por una longitud de radio diferente a la unidad, en la dirección considerada. * Una distorsión angular ocurre cuando, en una ubicación particular, los ángulos medidos en el modelo de la Tierra no se mantienen en la proyección. Esto se expresa por una elipse de distorsión que no es un círculo. * Una distorsión de área ocurre cuando las áreas medida en un modelo de la Tierra no se mantienen en la proyección. Como consecuencia, las correspondientes elipses de distorsión tienen áreas diferentes a la unidad. (es) In cartography, a Tissot's indicatrix (Tissot indicatrix, Tissot's ellipse, Tissot ellipse, ellipse of distortion) (plural: "Tissot's indicatrices") is a mathematical contrivance presented by French mathematician Nicolas Auguste Tissot in 1859 and 1871 in order to characterize local distortions due to map projection. It is the geometry that results from projecting a circle of infinitesimal radius from a curved geometric model, such as a globe, onto a map. Tissot proved that the resulting diagram is an ellipse whose axes indicate the two principal directions along which scale is maximal and minimal at that point on the map. A single indicatrix describes the distortion at a single point. Because distortion varies across a map, generally Tissot's indicatrices are placed across a map to illustrate the spatial change in distortion. A common scheme places them at each intersection of displayed meridians and parallels. These schematics are important in the study of map projections, both to illustrate distortion and to provide the basis for the calculations that represent the magnitude of distortion precisely at each point. There is a one-to-one correspondence between the Tissot indicatrix and the metric tensor of the map projection coordinate conversion. (en) 티소 타원(Tissot’s indicatrix , Tissot ellipse, 왜곡의 타원) is a mathematical contrivance presented by French mathematician (Nicolas Auguste Tissot)가 지도 투영법을 연구하며 만든 것으로 지도의 왜곡을 나타내는 지표다. 티소는 사영 변환을 하면 미세한 원은 타원이 된다는 것을 알아냈다. (ko) De indicatrix van Tissot of vervormingsellips is een ellips waarmee de vervorming die optreedt bij kaartprojecties kan worden weergegeven. Deze werd gepubliceerd door de Franse cartograaf Nicolas Auguste Tissot in 1881. De hoek die twee lijnen met elkaar maken op een plat vlak, kan afhankelijk van de gebruikte projectie afwijken van de hoek van die lijnen op aarde. Er zijn echter voor vrijwel elk punt op aarde twee lijnen te vinden die elkaar zowel op aarde als op de kaart loodrecht snijden. Dit zijn de hoofdassen van vervorming, wat niet noodzakelijk de meridiaan λ en de parallel φ hoeven te zijn. Voor alle andere lijnen zal de hoek niet gelijk zijn, tenzij de projectie hoekgetrouw is. De grootste hoekvervorming wordt aangeduid met 2ω. Een infinitesimaal kleine cirkel op aarde zal door dit hoekverschil na projectie afgebeeld worden als ellips met als grote en kleine as de hoofdassen. Alleen bij conforme projecties is ω nul en wordt ook na projectie een cirkel als cirkel afgebeeld. Bij oppervlaktegetrouwe projecties hebben alle indicatrices dezelfde oppervlakte, al variëren vorm en oriëntatie met de locatie op de kaart. Volgens de stelling van Tissot bestaan er bij een afbeelding van een continu oppervlak op een willekeurig ander continu oppervlak steeds twee richtingen die zowel op het oorspronkelijke oppervlak als na afbeelding loodrecht op elkaar staan. (nl) テイソーの指示楕円（テイソーのしじだえん、英: Tissot's indicatrix）とは、地図の中に一定規則の楕円を描くことで、その地図の投影法による歪みを視覚的に表現するものである。19世紀の地図学者により考案された。ティソーの示誤楕円、ティソーの標形とも呼ぶ。 地球表面に同じ直径の小さな円を多数描いたと仮定し、その地球表面を当該投影法で描写して、地図上でそれらの円がどのように歪むかを見る。地図上でも円となる地点については、小さな図形であれば形の歪みが起きない。楕円となる地点では形の歪みが起こるが、小さな図形であれば、元の図形を楕円の長軸方向へ引き伸ばした変形で近似できる。つまり近くの楕円との長軸の向きの違いは、歪みの向きの違いになる。円・楕円の大きさは縮尺の変化を表す。 正角図法であれば全てが円となるが、縮尺変化に応じて円の大きさが変わる。正積図法であれば楕円の面積が全て同じとなる。正距図法であれば、「正距」となる方向の楕円の直径が一定になる。 しかし、地図中に多数引かれている経線や緯線、世界地図に関する事前知識や先入観（正誤問わず）、さらに似たような楕円が多数並んでいる事などから錯視が引き起こされる場合もあり、「地図の歪み」という本来の目的を直感的に理解しやすいかどうかは微妙な面もある。 * メルカトル図法の場合。正角図法なので全て円となる。 * ミラー図法の場合 * 横メルカトル図法（中心経線が東経135度-西経45度）の場合 * 平射図法の場合 * パース・クインカンシャル図法の場合。経度の方向をわずかにずらしており、特異点を含む4つの円だけ歪みが大きい。 * 正距方位図法の場合 * サンソン図法の場合 * モルワイデ図法の場合 * ハンメル図法の場合 * 正距円筒図法の場合 * ランベルト正積円筒図法の場合 * ヴィンケル第三図法の場合 * ガル・ピーターズ図法の場合 * ロビンソン図法の場合 * ベールマン図法の場合 (ja) L'indicatore di Tissot (anche chiamato ellisse di Tissot o ellisse di distorsione) è uno strumento matematico proposto dal cartografo francese nel 1859 con lo scopo di mostrare la distorsione locale in una mappa. Un singolo indicatore mostra la distorsione in un punto specifico, poiché solitamente la distorsione varia lungo una mappa vengono disposti numerosi indicatori su tutta la mappa per illustrare il cambiamento nella distorsione spaziale. Spesso vengono posti ad ogni intersezione fra i paralleli e meridiani segnati sulla mappa. L'ellisse indicatrice di Tissot è un modo grafico per mostrare come vengono deformate lunghezze, angoli e aree: una trasformazione conforme (in cui il modulo di deformazione lineare è costante e il modulo di deformazione angolare è nullo) trasforma il cerchio oggettivo in un cerchio soggettivo di diversa area, mentre una trasformazione equivalente (in cui il modulo di deformazione superficiale è unitario) trasforma il cerchio oggettivo in una ellisse soggettiva di uguale area. (it) Эллипс искажения (также индикатриса Тиссо́) — бесконечно малый эллипс в каждой точке на карте, являющийся изображением бесконечно малой окружности на поверхности, с помощью которого производится обобщённая характеристика искажений картографических проекций.В точке нулевых искажений эллипс превращается в окружность.Изменение формы эллипса отражает степень искажения углов и расстояний, а размера — степень искажения площадей. Предложен французским картографом Николя Тиссо в середине XIX века. (ru) Twierdzenia Tissota - twierdzenia teorii zniekształceń odwzorowawczych sformułowane przez francuskiego kartografa Nicolas Auguste Tissot'a. Twierdzenie I (dot. ) - w dowolnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istnieje zawsze przynajmniej jedna (jeśli jest to powierzchnia regularna) albo tylko jedna (jeśli jest to powierzchnia nieregularna) siatka ortogonalna (kiedy południki z równoleżnikami tworzą kąty proste) na powierzchni oryginału (kuli ziemskiej), której obraz na powierzchni obrazu (powierzchni odwzorowania) jest również siatką ortogonalną. Twierdzenie II (dot. elipsy zniekształceń) - w regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą zniekształcenia odwzorowawcze długości we wszystkich kierunkach wychodzących z danego punktu można przedstawić w postaci elipsy, której półosie odzwierciedlają maksymalne zniekształcenia w kierunkach głównych (tzn. w kierunku południków i równoleżników). (pl) Е́ліпс спотво́рення (також індикатри́са Тіссо́) — нескінченно малий еліпс у кожній точці на карті, що є зображенням нескінченно малого круга на поверхні, за допомогою якого проводиться узагальнена характеристика спотворень картографічних проєкцій. У точці нульових спотворень еліпс перетворюється на коло. Зміна форми еліпса відображає ступінь спотворення кутів і відстаней, а розміру — ступінь спотворення площ. Запропонував французький картограф в середині XIX століття. (uk) |
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(ru) Е́ліпс спотво́рення (також індикатри́са Тіссо́) — нескінченно малий еліпс у кожній точці на карті, що є зображенням нескінченно малого круга на поверхні, за допомогою якого проводиться узагальнена характеристика спотворень картографічних проєкцій. У точці нульових спотворень еліпс перетворюється на коло. Зміна форми еліпса відображає ступінь спотворення кутів і відстаней, а розміру — ступінь спотворення площ. Запропонував французький картограф в середині XIX століття. (uk) Indicatriu de Tissot, o el·lipse de distorsió, és un concepte desenvolupat pel matemàtic francès , entre 1859 i 1871, per a mesurar i il·lustrar distorsions de les projeccions cartogràfiques. És la figura teòrica que resulta de la projecció ortogonal d'un cercle infinitesimal amb una unitat de radi, definit en un model geomètric de la Terra (una esfera o un el·lipsoide), en un pla de projecció. Tissot va provar que aquesta figura és normalment una el·lipse, els eixos indiquen les dues de la projecció en un determinat punt, per exemple, les direccions al llarg de les quals la seva escala és màxima i mínima. Quan la indicatriu de Tissot es redueix a un cercle vol dir que, en aquest punt en particular, l'escala és independent de la direcció. En les , on els angular es conserva en tot el mapa (ca) Als tissotsche Indikatrix (nach dem französischen Mathematiker Nicolas Auguste Tissot) bezeichnet man Verzerrungsellipsen, mit deren Hilfe Kartennetzentwürfe auf ihre Verzerrungseigenschaften hin überprüft werden können. Um verschiedene Punkte (meist ein Raster von Punkten mit äquidistanten Koordinatenwerten) werden auf der Erdoberfläche gleich große Kreise gezogen. Nach der Verebnung in die Karte können bei den Kreisen unterschiedliche Verformungen auftreten. Danach lassen sich dann die wichtigsten Eigenschaften des Kartennetzentwurfes beurteilen. * * (de) Indicatriz de Tissot, o elipse de distorsión, es un concepto desarrollado por el matemático francés , en 1859 y 1871, para medir e ilustrar distorsiones de las proyecciones cartográficas. Es la figura teórica que resulta de la proyección ortogonal de un círculo infinitesimal con una unidad de radio, definido en un modelo geométrico de la Tierra (una esfera o un elipsoide), en un plano de proyección. Tissot probó que esta figura es normalmente una elipse, cuyos ejes indican las dos de la proyección en un determinado punto, por ejemplo, las direcciones a lo largo de las cuales su escala es máxima y mínima. Cuando la Indicatriz de Tissot se reduce a un círculo significa que, en ese punto en particular, la escala es independiente de la dirección. En las , donde los ángulos se conservan en tod (es) L’indicatrice de Tissot est une forme géométrique (un cercle ou une ellipse) permettant d'apprécier le degré de déformation d'un système de projection cartographique. Cet indicateur a été inventé par le cartographe français Nicolas Auguste Tissot. (fr) In cartography, a Tissot's indicatrix (Tissot indicatrix, Tissot's ellipse, Tissot ellipse, ellipse of distortion) (plural: "Tissot's indicatrices") is a mathematical contrivance presented by French mathematician Nicolas Auguste Tissot in 1859 and 1871 in order to characterize local distortions due to map projection. It is the geometry that results from projecting a circle of infinitesimal radius from a curved geometric model, such as a globe, onto a map. Tissot proved that the resulting diagram is an ellipse whose axes indicate the two principal directions along which scale is maximal and minimal at that point on the map. (en) L'indicatore di Tissot (anche chiamato ellisse di Tissot o ellisse di distorsione) è uno strumento matematico proposto dal cartografo francese nel 1859 con lo scopo di mostrare la distorsione locale in una mappa. Un singolo indicatore mostra la distorsione in un punto specifico, poiché solitamente la distorsione varia lungo una mappa vengono disposti numerosi indicatori su tutta la mappa per illustrare il cambiamento nella distorsione spaziale. Spesso vengono posti ad ogni intersezione fra i paralleli e meridiani segnati sulla mappa. (it) テイソーの指示楕円（テイソーのしじだえん、英: Tissot's indicatrix）とは、地図の中に一定規則の楕円を描くことで、その地図の投影法による歪みを視覚的に表現するものである。19世紀の地図学者により考案された。ティソーの示誤楕円、ティソーの標形とも呼ぶ。 地球表面に同じ直径の小さな円を多数描いたと仮定し、その地球表面を当該投影法で描写して、地図上でそれらの円がどのように歪むかを見る。地図上でも円となる地点については、小さな図形であれば形の歪みが起きない。楕円となる地点では形の歪みが起こるが、小さな図形であれば、元の図形を楕円の長軸方向へ引き伸ばした変形で近似できる。つまり近くの楕円との長軸の向きの違いは、歪みの向きの違いになる。円・楕円の大きさは縮尺の変化を表す。 正角図法であれば全てが円となるが、縮尺変化に応じて円の大きさが変わる。正積図法であれば楕円の面積が全て同じとなる。正距図法であれば、「正距」となる方向の楕円の直径が一定になる。 しかし、地図中に多数引かれている経線や緯線、世界地図に関する事前知識や先入観（正誤問わず）、さらに似たような楕円が多数並んでいる事などから錯視が引き起こされる場合もあり、「地図の歪み」という本来の目的を直感的に理解しやすいかどうかは微妙な面もある。 * メルカトル図法の場合。正角図法なので全て円となる。 * ミラー図法の場合 * * * * (ja) De indicatrix van Tissot of vervormingsellips is een ellips waarmee de vervorming die optreedt bij kaartprojecties kan worden weergegeven. Deze werd gepubliceerd door de Franse cartograaf Nicolas Auguste Tissot in 1881. Volgens de stelling van Tissot bestaan er bij een afbeelding van een continu oppervlak op een willekeurig ander continu oppervlak steeds twee richtingen die zowel op het oorspronkelijke oppervlak als na afbeelding loodrecht op elkaar staan. (nl) Twierdzenia Tissota - twierdzenia teorii zniekształceń odwzorowawczych sformułowane przez francuskiego kartografa Nicolas Auguste Tissot'a. Twierdzenie I (dot. ) - w dowolnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istnieje zawsze przynajmniej jedna (jeśli jest to powierzchnia regularna) albo tylko jedna (jeśli jest to powierzchnia nieregularna) siatka ortogonalna (kiedy południki z równoleżnikami tworzą kąty proste) na powierzchni oryginału (kuli ziemskiej), której obraz na powierzchni obrazu (powierzchni odwzorowania) jest również siatką ortogonalną. (pl) |
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