Weyl tensor (original) (raw)
En géométrie riemannienne, le tenseur de Weyl, nommé en l'honneur d'Hermann Weyl, représente la partie du tenseur de Riemann ne possédant pas de trace.
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| dbo:abstract | Der Weyl-Tensor oder Weyl-Krümmungstensor ist ein Tensor 4. Stufe, der in der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) die Rolle des Riemann-Krümmungstensor in den Feldgleichungen für den materiefreien Raum übernimmt (Vakuumlösungen). Er ist nach Hermann Weyl benannt. Wie der Riemannsche Krümmungstensor drückt er die gravitativen Gezeitenkräfte aus, die im Rahmen der ART auf einen frei fallenden ausgedehnten Körper ausgeübt werden. Er wird aus dem Riemannschen Krümmungstensor gebildet, indem verschiedene Spuren (erzeugt mit Tensorverjüngung) abgezogen werden, so dass der Weyl-Krümmungstensor im Gegensatz zum vollen Riemann-Krümmungstensor spurfrei ist. Zudem drückt er im Gegensatz zum vollen Riemann-Krümmungstensor die Formänderungen durch die Gezeitenkräfte aus, erfasst aber nicht die Volumenänderung, die der Ricci-Tensor beschreibt, der durch einfache Spurbildung aus dem Riemann-Krümmungstensor entsteht. Der Weyl-Tensor der ART stimmt im materiefreien Raum (Vakuumlösungen der Feldgleichungen), wo der Ricci-Tensor verschwindet, mit dem Riemann-Krümmungstensor überein und beschreibt damit die Ausbreitung von Gravitationswellen. Der Weyl-Tensor ist in oder Dimensionen gleich Null. In vier und mehr Dimensionen ist er im Allgemeinen von Null verschieden. In Tensor-Notation ist der Weyl-Krümmungstensor: , und in der ART mit : . Dabei ist der metrische Tensor, der Ricci-Tensor und die Skalarkrümmung (sie entsteht durch Spurbildung aus dem Riccitensor). Der Weyl-Tensor hat dieselben Symmetrien wie der volle Riemann-Krümmungstensor: Das Verschwinden der Spur lautet in Komponentenschreibweise (mit Einsteinscher Summenkonvention): In vier Raumzeitdimensionen hat er zehn unabhängige Komponenten. Allgemein hat er für unabhängige Komponenten. Da er bei konformen Transformationen der Metrik invariant ist, wird der Weyl-Tensor auch konformer Tensor genannt. Im Minkowski-Raum verschwindet der Weyl-Tensor und ebenso in jedem konform flachen Raum (dessen Metrik also über eine konforme Transformation mit der eines Minkowski-Raums verbunden ist). Da der Weyl-Tensor in die Vakuum-Feldgleichungen eingeht, spielt er auch eine Rolle in der Klassifizierung von deren Lösungen (Petrow-Klassifizierung). Er dient der geometrischen Analyse von Raumzeiten (Singularitäten der Krümmung, asymptotisch flache Raumzeiten u. a.). Daraus lassen sich Invariante wie der Kretschmann-Skalar ableiten. (de) En géométrie riemannienne, le tenseur de Weyl, nommé en l'honneur d'Hermann Weyl, représente la partie du tenseur de Riemann ne possédant pas de trace. (fr) In differential geometry, the Weyl curvature tensor, named after Hermann Weyl, is a measure of the curvature of spacetime or, more generally, a pseudo-Riemannian manifold. Like the Riemann curvature tensor, the Weyl tensor expresses the tidal force that a body feels when moving along a geodesic. The Weyl tensor differs from the Riemann curvature tensor in that it does not convey information on how the volume of the body changes, but rather only how the shape of the body is distorted by the tidal force. The Ricci curvature, or trace component of the Riemann tensor contains precisely the information about how volumes change in the presence of tidal forces, so the Weyl tensor is the traceless component of the Riemann tensor. This tensor has the same symmetries as the Riemann tensor, but satisfies the extra condition that it is trace-free: metric contraction on any pair of indices yields zero. It is obtained from the Riemann tensor by subtracting a tensor that is a linear expression in the Ricci tensor. In general relativity, the Weyl curvature is the only part of the curvature that exists in free space—a solution of the vacuum Einstein equation—and it governs the propagation of gravitational waves through regions of space devoid of matter. More generally, the Weyl curvature is the only component of curvature for Ricci-flat manifolds and always governs the characteristics of the field equations of an Einstein manifold. In dimensions 2 and 3 the Weyl curvature tensor vanishes identically. In dimensions ≥ 4, the Weyl curvature is generally nonzero. If the Weyl tensor vanishes in dimension ≥ 4, then the metric is locally conformally flat: there exists a local coordinate system in which the metric tensor is proportional to a constant tensor. This fact was a key component of Nordström's theory of gravitation, which was a precursor of general relativity. (en) 미분기하학에서 바일 곡률 텐서(Weyl曲率tensor, 영어: Weyl curvature tensor)는 리만 다양체의 곡률을 나타내는 완전 무대각합 (totally trace-free) 4-텐서장이다. 리만 곡률 텐서에서 리치 곡률 텐서에 해당하는 성분을 빼 없애고 남은 성분으로 생각할 수 있다. (ko) In geometria differenziale, il tensore di curvatura di Weyl, che prende il nome da Hermann Weyl, è una misura della curvatura dello spaziotempo o, più in generale, una varietà pseudo-Riemanniana. Come il tensore di curvatura di Riemann, il tensore di Weyl esprime la forza mareale che un corpo avverte quando si muove lungo una geodetica. Il tensore di Weyl si differenzia dal tensore di curvatura di Riemann poiché non fornisce informazioni su come il volume del corpo cambi, ma piuttosto soltanto su come la forma del corpo sia distorta dalla forza mareale. È la curvatura di Ricci, o il componente traccia del tensore di Riemann, a contenere precisamente l'informazione su come i volumi cambino in presenza di forze mareali, quindi il tensore di Weyl è il componente a traccia nulla del tensore di Riemann. È un tensore che ha le stesse simmetrie del tensore di Riemann, con la condizione extra che sia senza traccia: la contrazione metrica di qualsiasi coppia di indici restituisce zero. In relatività generale la curvatura di Weyl è l'unica parte della curvatura che esiste nello spazio libero (una soluzione delle equazioni di Einstein nel vuoto) e governa la propagazione della radiazione gravitazionale attraverso le regioni di spazio prive di materia. Più in generale, la curvatura di Weyl è l'unica componente della curvatura per varietà Ricci-piatte e governa sempre le caratteristiche delle equazioni di campo di una varietà di Einstein. (it) Em geometria diferencial, o tensor da curvatura de Weyl, em homenagem a Hermann Weyl, é uma medida da curvatura do espaço-tempo ou, mais genericamente, uma variedade pseudo-Riemanniana. Como o tensor da curvatura de Riemann, o tensor de Weyl expressa a força de maré que um corpo sente quando se desloca ao longo de uma linha geodésica. (pt) Тензор кривини Вейля — частина тензора кривини Рімана з нульовим слідом. Іншими словами, це тензор, що задовольняє всім властивостям симетрії тензора Рімана з додатковою умовою, що побудований за ним тензор Річчі дорівнює нулю. Названий на честь Германа Вейля. (uk) Тензор кривизны Вейля — часть тензора кривизны Римана с нулевым следом. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием, что построенный по нему тензор Риччи равен нулю. Назван в честь Германа Вейля. (ru) |
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