Супернатуральные числа | это... Что такое Супернатуральные числа? (original) (raw)

Супернатуральные числа (иногда также именумые обобщённые натуральные числа или числа Стейница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число $\omega$ является формальным произведением:

$\omega = \prod_p p^{n_p},$

где может быть любым простым числом, а каждое n_p является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут $v_p(\omega)$ для обозначения n_p . Если не выполняется условие $n_p = \infty$ и имеется только конечное число ненулевых n_p , тогда мы получаем полностью натуральный ряд чисел. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют делить любое данное простое число $\omega$ «бесконечно много», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.

Не существует естественного пути определить сложение для супернатуральных чисел, но они могут быть перемножены $\prod_p p^{n_p}\cdot\prod_p p^{m_p}=\prod_p p^{n_p+m_p}$ . Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости $\omega_1\mid\omega_2$ если $v_p(\omega_1)\leq v_p(\omega_2)$ для всех . Мы можем также ввести для супернатуральных чисел понятие наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель, определив

$\displaystyle \operatorname{lcm}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\sup(v_p(\omega_i))}$

$\displaystyle \operatorname{gcd}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\inf(v_p(\omega_i))}$

С помощью этих алгоритмов мы сможем как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.

Мы также можем распространить обычные p-адические функции на супернатуральные числа, определив $v_p(\omega)=n_p$ для каждого .

Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп, и благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.

Ссылки

Planet Math: Supernatural number

Числовые системы
Счётныемножества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) • Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) • Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) • Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) • Периоды • Вычислимые • Арифметические
Вещественные числаи их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) • Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) • Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) • Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.)
Другиечисловые системы	Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион