Двойные числа | это... Что такое Двойные числа? (original) (raw)

О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа

Двойные числа или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа гиперболического типа — гиперкомплексные числа вида « a + j * b », где и — вещественные числа и j^2 = 1 .

Содержание

1 Определение
- 1.1 Алгебраическое определение
- 1.2 Матричное представление
2 Арифметические операции
3 Свойства
4 Ссылки

Определение

Алгебраическое определение

Любое двойное число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел (x, y) . Сложение и умножение определяются по правилам:

(x,y) + (x',y') = (x + x',y + y')

(x,y) * (x',y') = (x x' + y y',x y' + y x')

Числа вида (a,0) отождествляются с вещественными числами, а j = (0,1) . Тогда соответствующие тождества принимают вид:

(x + j y) + (x' + j y') = (x + x') + j(y + y')

(x + j y) * (x' + j y') = (x x' + y y') + j(x y' + y x')

Матричное представление

Двойные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению двойных чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

$j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$x + j y = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$

Арифметические операции

Сложение
Вычитание
Умножение
Деление на число, не являющееся делителем нуля
$\frac{a+bj}{c+dj} = \frac{ac-bd}{c^2-d^2} + \frac{bc-ad}{c^2-d^2} j$

Свойства

$\mathrm{e}^{j x} = \operatorname{ch} x + j \operatorname{sh} x,$ где sh и ch — гиперболические синус и косинус.

$\sin j x = j \sin x$

$\cos j x = \cos x$

Двойные числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. В отличие от поля комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля и все последние имеют вид « $a * (1\pm j)$ ».

Если взять $\alpha=(1+j)/2$ и $\beta=(1-j)/2,$ то

$\alpha \beta=0,$ $\alpha^2=\alpha$ и $\beta^2=\beta.$

Любое двойное число может быть представлено как сумма $\alpha x + \beta y,$ где и — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно. Таким образом, алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Ссылки

Числовые системы
Счётныемножества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) • Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) • Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) • Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) • Периоды • Вычислимые • Арифметические
Вещественные числаи их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) • Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) • Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) • Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.)
Другиечисловые системы	Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион