Алгебра Кэли | это... Что такое Алгебра Кэли? (original) (raw)

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается $\mathbb{O}$ , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Число Кэли — это линейная комбинация элементов $~\{1, i, j, k, l, il, jl, kl\}$ . Каждая октава x может быть записана в форме

$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl.$

с вещественными коэффициентами ~x_i . Октонионы находят применение в физике: например, в СТО и теории струн [1]. Таблица умножения элементов октавы:

1	i (e1)	j (e2)	k (e3)	l (e4)	il (e5)	jl (e6)	kl (e7)
i (e1)	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j (e2)	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k (e3)	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l (e4)	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il (e5)	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl (e6)	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl (e7)	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

Таблица (Кэли) умножения октонионов[2]

Часто числа могут заменяться буквенным обозначением:

Число	1	2	3	4	5	6	7
Буквы	i	j	k	l	il	jl	kl
Замена	i	j	k	l	m	n	o

Свойства

По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Пусть дан октонион

$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl$

Операция сопряжения октониона определена равенством

$x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.$

Операция сопряжения удовлетворяет равенствам

( xy)^*=y^* x^*

$x^* =-\frac 16 (x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl))$

Вещественная часть октониона определена равенством

$\frac 12(x + x^*) = x_0$

и мнимая часть октониона определена равенством

$\frac 12(x - x^*)$

Норма октониона определена равенством

$\|x\| = \sqrt{x^* x}$ .

Легко убедиться, что норма неотрицательное вещественное число

$\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2.$

Следовательно, $\|x\|=0$ тогда и только тогда, когда x=0 .

Из определения нормы следует, что октонион $x\ne 0$ обратим и

$x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}.$

Впервые рассмотрена в 1843 Грейвсом, приятелем[3] Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли.

↑ Ian Stewart: The Missing Link (англ.). Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010.
Статья The missing link на yahoo.com, русский перевод на scientific.ru.
↑ Антисимметрия по диагонали для -1
↑ Куда же спряталась самая свободная алгебра? (HTML) (26-01-2003). Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.

Числовые системы
Счётныемножества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) • Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) • Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) • Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) • Периоды • Вычислимые • Арифметические
Вещественные числаи их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) • Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) • Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) • Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.)
Другиечисловые системы	Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион

Алгебра над кольцом
Математика
2-мерная	Элементы: Комплексные числа
4-мерная	Элементы: Кватернионы
8-мерная	Элементы: Числа Кэли (октонионы или октавы)
16-мерная	Элементы: Седенионы
См. также	Гиперкомплексное число • Алгебра • Тело (алгебра) • Число • мнимая единица
Теория множеств