Общая алгебра | это... Что такое Общая алгебра? (original) (raw)

Общая алгебра (также абстрактная алгебра, высшая алгебра) — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также отображения между такими структурами.

Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются полугруппы, моноиды, группы, квазигруппы, полурешётки, две бинарных операции — в кольцах, почти-кольцах, полях, решётках. Более сложными примерами алгебраических структур являются модули над кольцами, векторные пространства, ассоциативные алгебры, алгебры Ли. Особо изучаются тернарные алгебры, полиадические алгебры (например, полиадические группы), многосортные алгебры.

Для изучения структур используются общие методы и сходные понятия: для отображения между структурами вводятся понятия гомоморфизмов, изоморфизмов, автоморфизмов, для изучения внутреннего строения вводятся подсистемы (подгруппы, подкольца, подрешётки) и факторсистемы (факторгруппы, факторкольца, факторешётки). Векторные пространства и линейные отображения между ними изучаются в разделе под названием линейная алгебра. Алгебраические уравнения высших порядков от одной переменной, а также, более общо, свойства групп автоморфизмов различных алгебраических систем есть предмет теории Галуа.

Наиболее общие для всех этих алгебраических систем свойства формализуются и изучаются специальным разделом общей алгебры — универсальной алгеброй. Теория категорий, также считающаяся разделом общей алгебры, изучает свойства алгебраических структур и соотношений между ними с использованием таких абстракций, как объекты, морфизмы, функторы, которые обобщают соответствующие понятия не только в алгебраических структурах, но и в топологии, логике, теории множеств.

Литература