Числа Фибоначчи | это... Что такое Числа Фибоначчи? (original) (raw)

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[1]. Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи $\left\{F_n\right\}$ задается линейным рекуррентным соотношением:

$F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n\geqslant 2.$

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: $F_n=F_{n+2}-F_{n+1}$ :

n	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

Легко заметить, что $\! F_{-n} = (-1)^{n+1}F_n$ .

Содержание

1 Происхождение
2 Формула Бине
3 Тождества
4 Свойства
5 Вариации и обобщения
6 В других областях
- 6.1 В природе
- 6.2 В культуре
7 См. также
8 Примечания
9 Литература
10 Ссылки

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной _n_-1, либо L к образцу длиной _n_-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары).
В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц будет равна F_n . В это время только те кролики, которые жили в месяце n-2 , являются способными к размножению и производят потомков, тогда $F_{n-2}$ пар прибавится к текущей популяции $F_{n-1}$ . Таким образом общее количество пар будет равно:

$F_n = F_{n-2} + F_{n-1}.$

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение F_n как функцию от n:

$F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1}$ ,

где $\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ — золотое сечение. При этом $\varphi\,\!$ и $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi\,\!$ являются корнями характеристического уравнения $x^2-x-1=0\,\!$ .

Из формулы Бине следует, что для всех $n\geqslant 0$ , F_n есть ближайшее к $\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\,$ целое число, то есть $F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil$ . В частности, при $n\to\infty$ справедлива асимптотика $F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$ .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

$F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right)$

При этом соотношение $F_{z+2} = F_{z+1} + F_z$ выполняется для любого комплексного числа z.

Тождества

Геометрическое доказательство формулы для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи[2].

$F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1$
$F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}$
$F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1$
$F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n}$
$F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}$
$F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$
$F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$
$F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3$
$F_{5n}=25F_{n}^5+25(-1)^{n}F_n^3+5F_{n}$

И более общие формулы:

$F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots\\ 0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ , а также $\ F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 & i & 0 &\cdots & 0 \\ i & 1 & i & \ddots & \vdots\\ 0 & i & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & i \\ 0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix}$ ,

где матрицы имеют размер $n\times n$ , i — мнимая единица.

Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышева:

$F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i),$

$F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3).$

Для любого n,

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}.$

Следствие. Подсчёт определителей даёт

$(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2.$

Свойства

Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. $(F_m,F_n) = F_{(m,n)}$ . Следствия:
Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен имеет корни $~\varphi$ и $-\frac{1}{\varphi}$ .
Отношения $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ являются подходящими дробями золотого сечения $\phi$ и, в частности, $\lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi.$
Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы
$F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}$ .
В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал,[3] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:
, , , $F_{12}=12^2=144$ .
Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:
$1 + x + 2 x^2 + 3 x^3 + 5 x^4 + 8 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}$
Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена

на множестве неотрицательных целых чисел x и y.[4]

Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Пизано и обозначается π(n). Периоды Пизано π(n) образуют последовательность:
1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)
- В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.
Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда или является квадратом.[5]
Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.[6]
Число Фибоначчи $F_{n+2}$ равно количеству кортежей длины n из нулей и единиц, в которых нет двух соседних нулей. При этом равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а $F_{n+1}$ — начинающихся с единицы.

Вариации и обобщения

В других областях

Следует отметить, что существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространенный миф, который почти всегда оказывается неточной подгонкой под желаемый результат[7][8].

В природе

Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи. Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.[9][10][11][12]
Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.[9][13]

В культуре

Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал анаграмму на основе последовательности Фибоначчи.
Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до 55 прикреплены на дымовой трубе Turku Energia в Турку [14] и главном вокзале Цюриха[15].
В фильме «Двадцать одно» (англ. 21) последовательность Фибоначчи представлена в виде надписи на торте.
«Ряд Фибоначчи» — дополнительное название песни 2012 года «Новый сигнал из космоса» российской рок-группы «Сплин».
В java-игре Doom RPG для мобильных телефонов в "Проходе" после прохождения 7 сектора есть секретная дверь, кодом которой являются числа Фибоначчи
Числам Фибоначчи посвящён один их шуточных лимериков Джеймса Линдона[16]:

Плотная пища жён Фибоначчи
Только на пользу им шла, не иначе.
Весили жёны, согласно молве,
Каждая — как предыдущие две.

См. также

Примечания

↑ Числа Фибоначчи — статья из Большой советской энциклопедии
↑ Фибоначчи числа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А. П.. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1989. — С. 312—314. — 352 с. — ISBN 5715502187
↑ J H E Cohn. Square Fibonacci Numbers Etc, стр. 109–113.
↑ P. Ribenboim. The New Book of Prime Number Records. — Springer, 1996. — С. 193.
↑ Ira Gessel Problem H-187 // Fibonacci Quarterly. — 1972. — Т. 10. — С. 417–419.
↑ В. Серпинский Задача 66 // 250 задач по элементарной теории чисел. — М.: Просвещение, 1968. — 168 с.
↑ Fibonacci Flim-Flam (англ.)
↑ The Myth That Will Not Go Away (англ.)
↑ 1 2 Золотое сечение в природе
↑ Числа Фибоначчи
↑ Числа Фибоначчи
↑ Глава из книги О. Е. Акимова «Конец науки»
↑ Г. Манукян. ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ
↑ Марио Мерц Fibonacci Sequence 1-55 (фин.)
↑ Based in Villigen: Fibonacci sequence at the Zürich Hauptbahnhof<
↑ Матвеев, Михаил. Путешествие по ПаЛиндондромии с Джеймсом Линдоном // Знание-сила. - 2012. - № 3. - С. 110-116 . - ISSN 0130-1640.

Литература

Н. Н. Воробьёв. Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).
А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
А. Н. Рудаков Числа Фибоначчи и простота числа 2127-1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Т. 4.
Дональд Кнут Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4
Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — С. 703. — ISBN 5-94774-560-7

Ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Числа Фибоначчи
Первые 300 чисел Фибоначчи (англ.)
Расчет чисел Фибоначчи рекурсией (Mathcad Calculation Server)
Компьютеры Фибоначчи
Числа Фибоначчи в природе