Axiom of determinacy (original) (raw)
L'axiome de détermination est un axiome alternatif de la théorie des ensembles affirmant que certains jeux (au sens de la théorie des jeux) infinis sont déterminés. Cet axiome n'est pas compatible avec l'axiome du choix mais implique l'axiome du choix dénombrable pour les familles d'ensembles de réels et implique également une forme faible de l'hypothèse du continu.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Das Axiom der Determiniertheit (abgekürzt mit AD) besagt, dass für bestimmte Spiele unendlicher Länge immer eine Gewinnstrategie existiert, der Gewinner also determiniert ist. Vor dem Hintergrund der üblichen Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) ist es nicht mit dem Auswahlaxiom verträglich. Aus dem Axiom der Determiniertheit folgt die Existenz gewisser unerreichbarer Kardinalzahlen in bestimmten Modellen. Da auf Grund des zweiten gödelschen Unvollständigkeitssatzes nicht gezeigt werden kann, dass die Annahme der Existenz unerreichbarer Kardinalzahlen konsistent ist, kann auch nicht gezeigt werden, dass das Axiom der Determiniertheit konsistent ist. Das Axiom der Determiniertheit ist äquikonsistent zu der Existenz unendlich vieler . Unendliche Spiele wurden zuerst 1930 von Stanisław Mazur und Stefan Banach untersucht. Das Axiom der Determiniertheit wurde 1962 von Jan Mycielski und Hugo Steinhaus eingeführt. (de) In mathematics, the axiom of determinacy (abbreviated as AD) is a possible axiom for set theory introduced by Jan Mycielski and Hugo Steinhaus in 1962. It refers to certain two-person topological games of length ω. AD states that every game of a certain type is determined; that is, one of the two players has a winning strategy. Steinhaus and Mycielski's motivation for AD was its interesting consequences, and suggested that AD could be true in the smallest natural model L(R) of a set theory, which accepts only a weak form of the axiom of choice (AC) but contains all real and all ordinal numbers. Some consequences of AD followed from theorems proved earlier by Stefan Banach and Stanisław Mazur, and . Mycielski and Stanisław Świerczkowski contributed another one: AD implies that all sets of real numbers are Lebesgue measurable. Later Donald A. Martin and others proved more important consequences, especially in descriptive set theory. In 1988, John R. Steel and W. Hugh Woodin concluded a long line of research. Assuming the existence of some uncountable cardinal numbers analogous to , they proved the original conjecture of Mycielski and Steinhaus that AD is true in L(R). (en) L'axiome de détermination est un axiome alternatif de la théorie des ensembles affirmant que certains jeux (au sens de la théorie des jeux) infinis sont déterminés. Cet axiome n'est pas compatible avec l'axiome du choix mais implique l'axiome du choix dénombrable pour les familles d'ensembles de réels et implique également une forme faible de l'hypothèse du continu. (fr) 집합론과 일반위상수학에서 결정 집합(決定集合, 영어: determined set)은 두 사람이 번갈아서 자연수를 고르는 게임에서, 항상 두 사람 가운데 하나가 필승 전략을 갖게 되는 집합이다. 결정 공리(決定公理, 영어: axiom of determinacy, 약자 )는 자연수열 공간의 모든 부분 집합이 결정 집합이라는 명제이다. 결정 공리는 선택 공리와 모순되지만, 제한된 형태는 선택 공리와 일관적일 수 있다. (ko) 決定性公理（けっていせいこうり、英: axiom of determinacy）とは、1962年に、によって提出された集合論の公理である。もとの決定性公理はゲーム理論に言及し、可算無限の長さをもったある特定の二人完全情報ゲームについて（後述）、どちらかのプレイヤーは必ず必勝法を持つことを主張する。 決定性公理は公理的集合論の選択公理と矛盾する。決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「を持つ」ことが従う。とくに実数の任意の部分集合が完全集合性を持つことは「実数の部分で非可算なる集合は実数と同じ濃度を持つ」という弱い形の連続体仮説が成り立つことに換言される。選択公理からは「実数の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する」ことが導かれるが、この事実からも決定性公理と選択公理が相容れないことが分かる。 (ja) Aksjomat determinacji, AD (od ang. axiom of determinacy) – aksjomat teorii mnogości postulujący zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych. Implikuje on, że aksjomat wyboru jest fałszywy, a zatem unieważnia paradoksy wynikające z tego ostatniego. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych. W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak AD niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla. W dalszej części tego artykułu będą używane oznaczenia i definicje wprowadzone w artykule o grach nieskończonych. (pl) Аксиома детерминированности — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая AD. Эту аксиому предложили в 1962 году польские математики Ян Мычельский и Гуго Штейнгауз в качестве замены для аксиомы выбора (введённой в 1904 году, обозначается AC). Причиной поиска альтернативы аксиоме выбора стали необычные следствия из этой аксиомы, которые вызывали и продолжают вызывать критику со стороны части математиков. Например, в случае применения аксиомы выбора возникают парадоксальные конструкции вроде «парадокса удвоения шара». Многие математики отмечали, что множества, существование которых доказывается с помощью аксиомы выбора, лишены индивидуальности в том смысле, что мы не можем исчерпывающе описать их состав из-за отсутствия ясного алгоритма выбора. В классических разделах математики (теория чисел, математический анализ и др.) замена AC на AD ничего не меняет, но в теории множеств и топологии следствия из аксиомы детерминированности во многом существенно отличаются от следствий аксиомы выбора. Например, из AD следует, что все множества вещественных чисел измеримы, проблема континуума решается однозначно (промежуточных мощностей не существует), парадокс удвоения шара не возникает. Аксиома детерминированности уже самим своим существованием вызвала большой интерес у специалистов по основаниям математики, ей посвящено немало публикаций, особенно в области дескриптивной теории множеств. По мнению сторонников этой аксиомы, ситуация в теории множеств сейчас напоминает положение после открытия неевклидовой геометрии — можно признать, что существует не одна теория множеств, а по крайней мере две, и вопрос о том, какая из них правильная, лишён смысла. Сторонники отмечают также, что теория множеств на основе аксиомы детерминированности более согласована с математической интуицией, чем на основе аксиомы выбора. (ru) 在數學上，決定公理（Axiom of determinacy，常記做AD）是一個在1962年由和所提出的可能的集合論公理，這公理探討的是特定類型且長度為ω的二人，而決定公理聲稱，任何這類的遊戲都是，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。 他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果，他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型中成立，這模型只接受較弱版本的選擇公理，但包括了所有的實數和序數。決定公理的一些結果，可由早前由斯特凡·巴拿赫、以及莫頓·戴維斯（Morton Davis）等人證明的定理得出；而米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏則證明了另一個結果，那就是在決定公理下，所有實數的集合都是勒貝格可測的。之後Donald A. Martin等人證明了更多重要的結果，尤其在描述集合論方面更是如此。在1988年，與總結了一長串的研究，並證明說在類似的不可數基數存在的狀況下，米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏原先的猜想，也就是「決定公理在集合論的最小自然模型中成立」這點是對的。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://telgarska.com/1987-RMJM-Telgarsky-Topological-Games.pdf http://www.math.ucla.edu/~ynm/lectures/dst2009/dst2009.pdf http://plato.stanford.edu/entries/large-cardinals-determinacy/ https://web.archive.org/web/20141112111558/http:/www.math.ucla.edu/~ynm/lectures/dst2009/dst2009.pdf |
| dbo:wikiPageID | 1002300 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 11160 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1117466836 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cardinality_of_the_continuum dbr:Mycielski dbr:Determined_game dbr:Hugo_Steinhaus dbr:Descriptive_set_theory dbr:Donald_A._Martin dbr:Infinitary_logic dbr:Jan_Mycielski dbr:L(R) dbr:Transfinite_induction dbr:Mathematics dbr:Measurable_cardinal dbr:Martin_measure dbr:Stanford_Encyclopedia_of_Philosophy dbr:Stanisław_Mazur dbr:Stanisław_Świerczkowski dbr:Stefan_Banach dbr:Clopen_set dbr:Closed_set dbr:Proceedings_of_the_National_Academy_of_Sciences_of_the_United_States_of_America dbr:W._Hugh_Woodin dbr:Large_cardinal dbr:Banach–Mazur_game dbr:Cardinal_number dbr:Cardinality dbr:John_R._Steel dbr:Journal_of_the_American_Mathematical_Society dbr:Baire_space_(set_theory) dbc:Axioms_of_set_theory dbc:Determinacy dbr:Transfinite_recursion dbr:Woodin_cardinal dbr:Axiom dbr:Axiom_of_choice dbr:Axiom_of_determinacy dbr:Axiom_of_real_determinacy dbc:Large_cardinals dbr:Borel_determinacy_theorem dbr:Borel_set dbr:Winning_strategy dbr:Inaccessible_cardinal dbr:Natural_number dbr:Ordinal_number dbr:Real_number dbr:Set_theory dbr:Topological_game dbr:Real_line dbr:Property_of_Baire dbr:Uncountable dbr:Well_order dbr:Ω_(ordinal_number) dbr:Lebesgue_measurable dbr:Quantifiers_(logic) dbr:Projective_determinacy dbr:Projective_set dbr:Infinite_sequence dbr:Morton_Davis dbr:Rastislav_J._Telgársky |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Set_theory dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Short_description |
| dcterms:subject | dbc:Axioms_of_set_theory dbc:Determinacy dbc:Large_cardinals |
| gold:hypernym | dbr:Axiom |
| rdf:type | yago:WikicatLargeCardinals yago:Bishop109857200 yago:Cardinal109894143 yago:CausalAgent100007347 yago:Clergyman109927451 yago:Leader109623038 yago:LivingThing100004258 yago:Object100002684 yago:Organism100004475 yago:Person100007846 yago:PhysicalEntity100001930 yago:Priest110470779 yago:YagoLegalActor yago:YagoLegalActorGeo yago:SpiritualLeader109505153 yago:Whole100003553 |
| rdfs:comment | L'axiome de détermination est un axiome alternatif de la théorie des ensembles affirmant que certains jeux (au sens de la théorie des jeux) infinis sont déterminés. Cet axiome n'est pas compatible avec l'axiome du choix mais implique l'axiome du choix dénombrable pour les familles d'ensembles de réels et implique également une forme faible de l'hypothèse du continu. (fr) 집합론과 일반위상수학에서 결정 집합(決定集合, 영어: determined set)은 두 사람이 번갈아서 자연수를 고르는 게임에서, 항상 두 사람 가운데 하나가 필승 전략을 갖게 되는 집합이다. 결정 공리(決定公理, 영어: axiom of determinacy, 약자 )는 자연수열 공간의 모든 부분 집합이 결정 집합이라는 명제이다. 결정 공리는 선택 공리와 모순되지만, 제한된 형태는 선택 공리와 일관적일 수 있다. (ko) 決定性公理（けっていせいこうり、英: axiom of determinacy）とは、1962年に、によって提出された集合論の公理である。もとの決定性公理はゲーム理論に言及し、可算無限の長さをもったある特定の二人完全情報ゲームについて（後述）、どちらかのプレイヤーは必ず必勝法を持つことを主張する。 決定性公理は公理的集合論の選択公理と矛盾する。決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「を持つ」ことが従う。とくに実数の任意の部分集合が完全集合性を持つことは「実数の部分で非可算なる集合は実数と同じ濃度を持つ」という弱い形の連続体仮説が成り立つことに換言される。選択公理からは「実数の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する」ことが導かれるが、この事実からも決定性公理と選択公理が相容れないことが分かる。 (ja) 在數學上，決定公理（Axiom of determinacy，常記做AD）是一個在1962年由和所提出的可能的集合論公理，這公理探討的是特定類型且長度為ω的二人，而決定公理聲稱，任何這類的遊戲都是，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。 他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果，他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型中成立，這模型只接受較弱版本的選擇公理，但包括了所有的實數和序數。決定公理的一些結果，可由早前由斯特凡·巴拿赫、以及莫頓·戴維斯（Morton Davis）等人證明的定理得出；而米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏則證明了另一個結果，那就是在決定公理下，所有實數的集合都是勒貝格可測的。之後Donald A. Martin等人證明了更多重要的結果，尤其在描述集合論方面更是如此。在1988年，與總結了一長串的研究，並證明說在類似的不可數基數存在的狀況下，米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏原先的猜想，也就是「決定公理在集合論的最小自然模型中成立」這點是對的。 (zh) In mathematics, the axiom of determinacy (abbreviated as AD) is a possible axiom for set theory introduced by Jan Mycielski and Hugo Steinhaus in 1962. It refers to certain two-person topological games of length ω. AD states that every game of a certain type is determined; that is, one of the two players has a winning strategy. (en) Das Axiom der Determiniertheit (abgekürzt mit AD) besagt, dass für bestimmte Spiele unendlicher Länge immer eine Gewinnstrategie existiert, der Gewinner also determiniert ist. Vor dem Hintergrund der üblichen Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) ist es nicht mit dem Auswahlaxiom verträglich. Aus dem Axiom der Determiniertheit folgt die Existenz gewisser unerreichbarer Kardinalzahlen in bestimmten Modellen. Da auf Grund des zweiten gödelschen Unvollständigkeitssatzes nicht gezeigt werden kann, dass die Annahme der Existenz unerreichbarer Kardinalzahlen konsistent ist, kann auch nicht gezeigt werden, dass das Axiom der Determiniertheit konsistent ist. Das Axiom der Determiniertheit ist äquikonsistent zu der Existenz unendlich vieler . (de) Aksjomat determinacji, AD (od ang. axiom of determinacy) – aksjomat teorii mnogości postulujący zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych. Implikuje on, że aksjomat wyboru jest fałszywy, a zatem unieważnia paradoksy wynikające z tego ostatniego. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych. W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak AD niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla. (pl) Аксиома детерминированности — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая AD. Эту аксиому предложили в 1962 году польские математики Ян Мычельский и Гуго Штейнгауз в качестве замены для аксиомы выбора (введённой в 1904 году, обозначается AC). Причиной поиска альтернативы аксиоме выбора стали необычные следствия из этой аксиомы, которые вызывали и продолжают вызывать критику со стороны части математиков. Например, в случае применения аксиомы выбора возникают парадоксальные конструкции вроде «парадокса удвоения шара». Многие математики отмечали, что множества, существование которых доказывается с помощью аксиомы выбора, лишены индивидуальности в том смысле, что мы не можем исчерпывающе описать их состав из-за отсутствия ясного алгоритма выбора. (ru) |
| rdfs:label | Determiniertheitsaxiom (de) Axiom of determinacy (en) Axiome de détermination (fr) 決定性公理 (ja) 결정 집합 (ko) Aksjomat determinacji (pl) Аксиома детерминированности (ru) 決定公理 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Axiom of determinacy yago-res:Axiom of determinacy wikidata:Axiom of determinacy dbpedia-de:Axiom of determinacy dbpedia-fr:Axiom of determinacy dbpedia-ja:Axiom of determinacy dbpedia-ko:Axiom of determinacy dbpedia-pl:Axiom of determinacy dbpedia-ru:Axiom of determinacy dbpedia-zh:Axiom of determinacy https://global.dbpedia.org/id/4TuFp |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Axiom_of_determinacy?oldid=1117466836&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Axiom_of_determinacy |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:AD_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Axiom_of_determinateness dbr:Determinacy_axiom |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_axioms dbr:List_of_first-order_theories dbr:Hugo_Steinhaus dbr:Descriptive_set_theory dbr:Independence_(mathematical_logic) dbr:Infinitary_combinatorics dbr:Infinity-Borel_set dbr:L(R) dbr:List_of_mathematical_logic_topics dbr:List_of_set_theory_topics dbr:Measurable_cardinal dbr:Glossary_of_set_theory dbr:Moschovakis_coding_lemma dbr:Continuum_hypothesis dbr:Equiconsistency dbr:Martin_measure dbr:Stanisław_Świerczkowski dbr:Zermelo–Fraenkel_set_theory dbr:Proper_forcing_axiom dbr:Strong_partition_cardinal dbr:Steve_Jackson_(mathematician) dbr:Jónsson_cardinal dbr:Lebesgue_measure dbr:Wadge_hierarchy dbr:Angel_problem dbr:AD_(disambiguation) dbr:AD+ dbr:Suslin's_problem dbr:Woodin_cardinal dbr:Axiom_of_choice dbr:Axiom_of_determinacy dbr:Axiom_of_projective_determinacy dbr:Axiom_of_real_determinacy dbr:Borel_determinacy_theorem dbr:Set_theory dbr:Rowbottom_cardinal dbr:Uniformization_(set_theory) dbr:Extensive-form_game dbr:List_of_statements_independent_of_ZFC dbr:Θ_(set_theory) dbr:The_Higher_Infinite dbr:Axiom_of_determinateness dbr:Determinacy_axiom |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Axiom_of_determinacy |