Transfinite induction (original) (raw)
Transfinitní indukce je postup důkazu používaný v teorii množin obdobný jako klasická matematická indukce, ale rozšířený z přirozených čísel na ordinální čísla.
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| dbo:abstract | Transfinitní indukce je postup důkazu používaný v teorii množin obdobný jako klasická matematická indukce, ale rozšířený z přirozených čísel na ordinální čísla. (cs) En matematiko, transfinia indukto estas vastigaĵo de matematika indukto al bonordaj aroj, ekzemple al aro de ordaj numeroj aŭ kardinaloj. (eo) Transfinite Induktion ist eine Beweistechnik in der Mathematik, die die von den natürlichen Zahlen bekannte Induktion auf beliebige wohlgeordnete Klassen verallgemeinert, zum Beispiel auf Mengen von Ordinalzahlen oder Kardinalzahlen, oder sogar auf die echte Klasse aller Ordinalzahlen. Entsprechend ist die transfinite Rekursion ein Definitionsprinzip, das die Rekursion bei natürlichen Zahlen verallgemeinert. Sie ist ein deduktives Verfahren. Die erste transfinite Rekursion führte Georg Cantor 1897 durch. Felix Hausdorff erhob sie zum allgemeinen Definitionsprinzip und führte auch die transfinite Induktion als Beweisprinzip ein. (de) La inducción transfinita es una extensión de la inducción matemática a (grandes) conjuntos bien ordenados, tales como conjuntos de ordinales o cardinales. (es) En mathématiques, on parle de récurrence transfinie ou de récursion transfinie pour deux principes reliés mais distincts. Les définitions par récursion transfinie — permettent de construire des objets infinis, et généralisent les définitions de suite par récurrence sur l'ensemble N des entiers naturels en considérant des familles indexées par un ordinal infini quelconque, au lieu de se borner au plus petit d'entre eux qu'est N, appelé ω en tant que nombre ordinal. Les démonstrations par récurrence transfinie — ou induction transfinie — généralisent de même à un ordinal quelconque les récurrences ordinaires sur les entiers. Une fois acquis le concept d'ordinal, on dispose là d'un outil très commode, que l'on peut utiliser conjointement avec l'axiome du choix à la place du lemme de Zorn, pour faire des constructions conformes à l'intuition et où l'on dispose de renseignements précis pour une étude approfondie. (fr) Transfinite induction is an extension of mathematical induction to well-ordered sets, for example to sets of ordinal numbers or cardinal numbers. Its correctness is a theorem of ZFC. (en) Transfiniete inductie is een vorm van inductie die de volledige inductie op natuurlijke getallen naar willekeurige welgeordende verzamelingen uitbreidt, bijvoorbeeld verzamelingen van ordinaal- of kardinaalgetallen. Voor ordinaalgetallen bestaat een bewijs met transfiniete inductie, dat een uitspraak geldig is voor alle ordinaalgetallen, meestal uit drie delen: 1. * een bewijs dat geldig is voor ; 2. * een bewijs dat, uit de veronderstelling dat geldt voor een willekeurig ordinaalgetal , ook volgt; 3. * een bewijs dat, uit de veronderstelling dat voor een willekeurig limiet-ordinaal , geldig is voor alle volgt, dat geldig is. (nl) Indukcja pozaskończona – rozszerzenie indukcji matematycznej na zbiory dobrze uporządkowane, m.in. klasę liczb porządkowych. (pl) L'induzione transfinita è una tecnica di dimostrazione matematica analoga all'induzione matematica applicata ad insiemi ben ordinati, ad esempio all'insieme dei numeri ordinali o dei numeri cardinali. Se si vuole dimostrare che una proprietà P vale per tutti gli ordinali, si può applicare l'induzione transfinita coi seguenti passi: * Dimostrare che P(0) vale * Dimostrare che, per ogni ordinale b, se P(a) vale per tutti gli ordinali a<b allora vale anche P(b) L'ultimo passo viene spesso diviso in due casi: il caso di ordinale successore, dove si può applicare il ragionamento induttivo classico (mostrare che P(a) implica P(a+1)) e il caso di ordinale limite, che non ha predecessore e quindi non può essere trattato con quel ragionamento. Tipicamente il caso di ordinale limite viene affrontato notando che un ordinale limite b è, per definizione, l'estremo superiore di tutti gli ordinali a<b e usando poi questo fatto per dimostrare che, supponendo che P(a) valga per tutti gli a<b, vale anche P(b). (it) Em matemática, e em especial na teoria dos conjuntos, a indução transfinita é uma técnica matemática rigorosa que permite provar propriedades para todos números ordinais (ou, de forma mais geral, para qualquer conjunto (ou classe) bem ordenado) a partir de etapas finitas. É uma generalização da indução finita. A indução transfinita foi feita, primeiro, por Georg Cantor em 1897, e foi formalizada em 1914 por Felix Hausdorff, no livro (Bases da Teoria dos Conjuntos) . Analogamente a definições recursivas (por exemplo, o fatorial, definido como 0! = 1 e, recursivamente, como (n+1)! = (n+1) n!), existe a recursão transfinita, que consiste em definir uma "função" cujo argumento pertence a uma classe bem ordenada. (pt) Трансфинитная индукция — метод доказательства, обобщающий математическую индукцию на случай несчётного числа значений параметра. (ru) 超限归纳法（英語：Transfinite Induction）是数学归纳法向（大）良序集合比如基數或序数的集合的扩展。 (zh) Трансфінітна індукція — метод доведення, що узагальнює математичну індукцію у випадку незліченного числа значень параметра. Трансфінітна індукція базується на наступному твердженні: (uk) |
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