Boolean prime ideal theorem (original) (raw)
Twierdzenie o ideale pierwszym – twierdzenie teorii krat rozdzielnych.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, the Boolean prime ideal theorem states that ideals in a Boolean algebra can be extended to prime ideals. A variation of this statement for filters on sets is known as the ultrafilter lemma. Other theorems are obtained by considering different mathematical structures with appropriate notions of ideals, for example, rings and prime ideals (of ring theory), or distributive lattices and maximal ideals (of order theory). This article focuses on prime ideal theorems from order theory. Although the various prime ideal theorems may appear simple and intuitive, they cannot be deduced in general from the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (abbreviated ZF). Instead, some of the statements turn out to be equivalent to the axiom of choice (AC), while others—the Boolean prime ideal theorem, for instance—represent a property that is strictly weaker than AC. It is due to this intermediate status between ZF and ZF + AC (ZFC) that the Boolean prime ideal theorem is often taken as an axiom of set theory. The abbreviations BPI or PIT (for Boolean algebras) are sometimes used to refer to this additional axiom. (en) Der boolesche Primidealsatz sagt aus, dass jede boolesche Algebra ein Primideal enthält. Der Beweis dieses Satzes kann nicht ohne transfinite Methoden geführt werden, das bedeutet, dass er nicht aus den Axiomen der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom beweisbar ist. Umgekehrt ist das Auswahlaxiom nicht aus dem booleschen Primidealsatz beweisbar, dieser Satz ist also schwächer als das Auswahlaxiom. Außerdem ist der Satz (relativ zu den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) äquivalent zu einigen anderen Sätzen wie zum Beispiel Gödels Vollständigkeitssatz. (Das bedeutet, dass man aus den Axiomen der Mengenlehre plus dem booleschen Primidealsatz dieselben Sätze beweisen kann wie aus den Axiomen der Mengenlehre plus dem gödelschen Vollständigkeitssatz.) Ersetzt man die boolesche Algebra durch ihre duale boolesche Algebra, so wird der boolesche Primidealsatz zum Ultrafilterlemma. (de) En mathématiques, un théorème de l'idéal premier garantit l'existence de certains types de sous-ensembles dans une algèbre. Un exemple courant est le théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole, qui énonce que tout idéal d'une algèbre de Boole est inclus dans un idéal premier. Une variante de cet énoncé pour filtres sur des ensembles est connue comme le . D'autres théorèmes sont obtenus en considérant les différentes structures mathématiques avec les notions d'idéal appropriées, par exemple, les anneaux et leurs idéaux premiers (en théorie des anneaux), ou les treillis distributifs et leurs idéaux maximaux (en théorie des ordres). Cet article se concentre sur le théorème de l'idéal premier en théorie des ordres. Bien que les divers théorèmes de l'idéal premier puissent paraître simples et intuitifs, ils ne peuvent pas être déduits en général des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix (en abrégé ZF). Au lieu de cela, certains énoncés s'avèrent équivalents à l'axiome du choix (AC), tandis que d'autres — le théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole, par exemple — constituent une propriété strictement plus faible que AC. C'est grâce à ce statut intermédiaire entre ZF et ZF + AC (ZFC) que le théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole est souvent pris comme un axiome de la théorie des ensembles. Les abréviations BPI ou PIT (pour les algèbres de Boole) sont parfois utilisées pour se référer à cet axiome supplémentaire. (fr) Twierdzenie o ideale pierwszym – twierdzenie teorii krat rozdzielnych. (pl) Em matemática, um teorema do ideal primo garante a existência de certos tipos de subconjuntos numa álgebra dada. Um exemplo comum é o teorema do ideal primo booleano, o qual afirma que ideais em uma álgebra booleana podem ser estendidos para ideais primos. Uma variação dessa afirmação para filtros em conjuntos é conhecida como o . Outros teoremas são obtidos considerando diferentes estruturas matemáticas com noções apropriadas de ideais, por exemplo, anéis e ideais primos (da teoria dos anéis), ou e ideais maximais (de ). Esse artigo foca nos teoremas do ideal primo da . Embora os vários teoremas do ideal primo possam parecer simples e intuitivos, eles geralmente não podem ser derivados dos axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o axioma da escolha (abreviado ZF). Em vez disso, algumas das afirmações acabam sendo equivalentes ao axioma da escolha (AC = Axiom of choice), enquanto outros – o teorema do ideal primo booleano, por exemplo - representam uma propriedade que é estritamente mais fraca que AC. Devido a este estado intermediário entre ZF e ZF + AC (ZFC) que o teorema do ideal primo booleano é frequentemente considerado um axioma da teoria dos conjuntos. As abreviações BPI (Boolean Prime Ideal, em português ideal primo booleano, IPB) ou PIT (Prime Ideal Teorem, teorema do ideal primo em português, TIP) (para álgebras booleanas) são por vezes usadas para se referir a esse axioma adicional. (pt) Теорема про Булеві прості ідеали в теорії порядку стверджує, що ідеали в булевій алгебрі можуть бути розширені до простих ідеалів. Так як в теорії порядку більшість понять є , і двоїстим до ідеала є фільтр, то аналогічне твердження для фільтрів називається — . Існують аналогічні формулювання і для інших алгебраїчних структур, наприклад, для кілець та їх простих ідеалів (в теорії кілець). Всі ці формулювання не можуть бути доведені в рамках аксіом теорії множин Цермело-Френцеля (ZF). В рамках ZFC деякі з них еквівалентні аксіомі вибору (AC), а саме теорема про Булеві прості ідеали (BPI) — є набагато слабшою за AC. (uk) 素理想定理（prime ideal theorem）即保证在给定的抽象代数中特定类型之子集的存在性之數學定理。常见的例子就是布尔素理想定理（Boolean prime ideal theorem），它声称在布尔代数中的理想可以被扩展成素理想。这个陈述对于在集合上的滤子的变体叫做叫做。通过考虑不同的带有适当的理想概念的数学结构可获得其他定理，例如環和（环论的）素理想，和分配格和（序理论的）的极大理想。本文关注序理论的素理想定理。 尽管各种素理想定理可能看起来简单且直觉，它们一般不能从策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZF）的公理推导出来。反而某些陈述等价于选择公理（AC），而其他的如布尔素理想定理，体现了严格弱于AC的性质。由于这个在ZF和ZF+AC (ZFC)之间的中介状态，布尔素理想定理经常被接受为集合论的公理。经常用缩写BPI（对布尔代数）或PIT提及这个额外公理。 (zh) |
| dbo:wikiPageID | 314919 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 15804 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1087342940 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbc:Axiom_of_choice dbr:Basis_(linear_algebra) dbr:Vector_space dbr:De_Bruijn–Erdős_theorem_(graph_theory) dbc:Order_theory dbr:Consistent dbr:Mathematics dbr:Order_theory dbr:Graph_coloring dbr:Stone's_representation_theorem_for_Boolean_algebras dbr:Zermelo–Fraenkel_set_theory dbr:Axiom_of_Choice dbr:Distributive_lattice dbr:Duality_(order_theory) dbr:Join_and_meet dbr:Lattice_(order) dbr:List_of_Boolean_algebra_topics dbr:Non-measurable_set dbr:Stone_duality dbr:Filter_(mathematics) dbr:Filter_(set_theory) dbr:Filters_in_topology dbr:Partially_ordered_set dbr:Cardinality dbr:Directed_set dbr:Graph_theory dbr:Isomorphism dbr:Ultrafilter dbr:Ring_(mathematics) dbc:Boolean_algebra dbr:Hahn-Banach_theorem dbr:Hausdorff_spaces dbr:Heyting_algebra dbc:Theorems_in_lattice_theory dbr:Supremum dbr:Zorn's_lemma dbr:Axiom_of_choice dbr:Azriel_Lévy dbr:Boolean_algebra_(structure) dbr:Ideal_(order_theory) dbr:Tychonoff's_theorem dbr:Up_to dbr:Journal_of_the_London_Mathematical_Society dbr:Subset dbr:Vitali_set dbr:Lower_set dbr:Powerset dbr:Disjoint_set dbr:Alexander_subbase_theorem dbr:Stone's_representation_theorem dbr:Ultrafilter_lemma |
| dbp:date | November 2021 (en) |
| dbp:reason | Does this specific point of view match the title? (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Citation_needed dbt:Em dbt:Main dbt:Mvar dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Short_description dbt:Technical dbt:Why |
| dct:subject | dbc:Axiom_of_choice dbc:Order_theory dbc:Boolean_algebra dbc:Theorems_in_lattice_theory |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInAlgebra yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | Twierdzenie o ideale pierwszym – twierdzenie teorii krat rozdzielnych. (pl) 素理想定理（prime ideal theorem）即保证在给定的抽象代数中特定类型之子集的存在性之數學定理。常见的例子就是布尔素理想定理（Boolean prime ideal theorem），它声称在布尔代数中的理想可以被扩展成素理想。这个陈述对于在集合上的滤子的变体叫做叫做。通过考虑不同的带有适当的理想概念的数学结构可获得其他定理，例如環和（环论的）素理想，和分配格和（序理论的）的极大理想。本文关注序理论的素理想定理。 尽管各种素理想定理可能看起来简单且直觉，它们一般不能从策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZF）的公理推导出来。反而某些陈述等价于选择公理（AC），而其他的如布尔素理想定理，体现了严格弱于AC的性质。由于这个在ZF和ZF+AC (ZFC)之间的中介状态，布尔素理想定理经常被接受为集合论的公理。经常用缩写BPI（对布尔代数）或PIT提及这个额外公理。 (zh) Der boolesche Primidealsatz sagt aus, dass jede boolesche Algebra ein Primideal enthält. Der Beweis dieses Satzes kann nicht ohne transfinite Methoden geführt werden, das bedeutet, dass er nicht aus den Axiomen der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom beweisbar ist. Umgekehrt ist das Auswahlaxiom nicht aus dem booleschen Primidealsatz beweisbar, dieser Satz ist also schwächer als das Auswahlaxiom. Außerdem ist der Satz (relativ zu den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) äquivalent zu einigen anderen Sätzen wie zum Beispiel Gödels Vollständigkeitssatz. (Das bedeutet, dass man aus den Axiomen der Mengenlehre plus dem booleschen Primidealsatz dieselben Sätze beweisen kann wie aus den Axiomen der Mengenlehre plus dem gödelschen Vollständigkeitssatz.) (de) In mathematics, the Boolean prime ideal theorem states that ideals in a Boolean algebra can be extended to prime ideals. A variation of this statement for filters on sets is known as the ultrafilter lemma. Other theorems are obtained by considering different mathematical structures with appropriate notions of ideals, for example, rings and prime ideals (of ring theory), or distributive lattices and maximal ideals (of order theory). This article focuses on prime ideal theorems from order theory. (en) En mathématiques, un théorème de l'idéal premier garantit l'existence de certains types de sous-ensembles dans une algèbre. Un exemple courant est le théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole, qui énonce que tout idéal d'une algèbre de Boole est inclus dans un idéal premier. Une variante de cet énoncé pour filtres sur des ensembles est connue comme le . D'autres théorèmes sont obtenus en considérant les différentes structures mathématiques avec les notions d'idéal appropriées, par exemple, les anneaux et leurs idéaux premiers (en théorie des anneaux), ou les treillis distributifs et leurs idéaux maximaux (en théorie des ordres). Cet article se concentre sur le théorème de l'idéal premier en théorie des ordres. (fr) Em matemática, um teorema do ideal primo garante a existência de certos tipos de subconjuntos numa álgebra dada. Um exemplo comum é o teorema do ideal primo booleano, o qual afirma que ideais em uma álgebra booleana podem ser estendidos para ideais primos. Uma variação dessa afirmação para filtros em conjuntos é conhecida como o . Outros teoremas são obtidos considerando diferentes estruturas matemáticas com noções apropriadas de ideais, por exemplo, anéis e ideais primos (da teoria dos anéis), ou e ideais maximais (de ). Esse artigo foca nos teoremas do ideal primo da . (pt) Теорема про Булеві прості ідеали в теорії порядку стверджує, що ідеали в булевій алгебрі можуть бути розширені до простих ідеалів. Так як в теорії порядку більшість понять є , і двоїстим до ідеала є фільтр, то аналогічне твердження для фільтрів називається — . Існують аналогічні формулювання і для інших алгебраїчних структур, наприклад, для кілець та їх простих ідеалів (в теорії кілець). Всі ці формулювання не можуть бути доведені в рамках аксіом теорії множин Цермело-Френцеля (ZF). (uk) |
| rdfs:label | Boolescher Primidealsatz (de) Boolean prime ideal theorem (en) Théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole (fr) Twierdzenie o ideale pierwszym (pl) Teorema do ideal primo booliano (pt) Теорема про булеві прості ідеали (uk) 布尔素理想定理 (zh) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Set-theoretic_topology |
| owl:sameAs | freebase:Boolean prime ideal theorem yago-res:Boolean prime ideal theorem wikidata:Boolean prime ideal theorem dbpedia-de:Boolean prime ideal theorem dbpedia-fr:Boolean prime ideal theorem dbpedia-pl:Boolean prime ideal theorem dbpedia-pt:Boolean prime ideal theorem dbpedia-uk:Boolean prime ideal theorem dbpedia-zh:Boolean prime ideal theorem https://global.dbpedia.org/id/51wbF |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Boolean_prime_ideal_theorem?oldid=1087342940&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Boolean_prime_ideal_theorem |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:BPI dbr:Pit dbr:Boolean |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:BPIT |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:BPI dbr:List_of_axioms dbr:Ultrafilter_(set_theory) dbr:De_Bruijn–Erdős_theorem_(graph_theory) dbr:List_of_order_theory_topics dbr:Stone's_representation_theorem_for_Boolean_algebras dbr:Compactness_theorem dbr:Functional_analysis dbr:Halpern–Läuchli_theorem dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Pit dbr:Distributive_lattice dbr:Gödel's_completeness_theorem dbr:Linear_extension dbr:List_of_Boolean_algebra_topics dbr:Non-measurable_set dbr:Stone_duality dbr:Adrian_Mathias dbr:Ultrafilter dbr:Hahn–Banach_theorem dbr:Discrete_space dbr:Axiom_of_choice dbr:Azriel_Lévy dbr:Boolean dbr:Boolean_algebra dbr:Boolean_algebra_(structure) dbr:Ideal_(order_theory) dbr:Kirszbraun_theorem dbr:Krein–Milman_theorem dbr:Original_proof_of_Gödel's_completeness_theorem dbr:Tychonoff's_theorem dbr:List_of_theorems dbr:Property_of_Baire dbr:BPIT dbr:Prime_ideal_theorem |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Ultrafilter_(set_theory) |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Boolean_prime_ideal_theorem |