Cantor's diagonal argument (original) (raw)
Cantorova diagonální metoda je matematický důkaz, pomocí kterého Georg Cantor ukázal, že množina všech reálných čísel je nespočetná. Diagonální metoda nebyla prvním důkazem, který Cantor použil k dokázání tohoto faktu, byla publikována až tři roky po prvním důkazu. Na druhou stranu je ale oproti tomuto důkazu mnohem známější, navíc od prvního publikování byla podobná metoda použita pro dokázání mnoha dalších vět (například problém zastavení).
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | حجة كانتور القُطْرية هي برهان رياضي في نظرية المجموعات نشره جورج كانتور عام 1891 لبرهنة وجود مجموعات غير منتهية لا يمكن مقابلة عناصرها مع عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية الغير منتهية. تُعرف هذه المجموعات الآن بالمجموعات غير العدودة، وتساعدنا نظرية كانتور للأعداد الأصلية في التعامل مع حجم هذه المجموعات الغير منتهية. لم تكن الحجة القُطرية هي أول برهان لكانتور على استحالة حصر الأعداد الحقيقية، بل سبقتها مقالة نشرها عام 1874. ولكنه في هذا البرهان أسس لتقنية عامة أُستخدِمَت فيما بعد في مجموعة كبيرة من البراهين، بما في ذلك أول مبرهنات عدم الاكتمال لجودل وحل تورينج لمسألة القرار. أحيانا تكون الحجج القطرية مصدرًا للتناقضات مثل مفارقة راسل ومفارقة ريتشارد. (ar) Cantorova diagonální metoda je matematický důkaz, pomocí kterého Georg Cantor ukázal, že množina všech reálných čísel je nespočetná. Diagonální metoda nebyla prvním důkazem, který Cantor použil k dokázání tohoto faktu, byla publikována až tři roky po prvním důkazu. Na druhou stranu je ale oproti tomuto důkazu mnohem známější, navíc od prvního publikování byla podobná metoda použita pro dokázání mnoha dalších vět (například problém zastavení). (cs) La diagonalització de Cantor, també coneguda com a mètode diagonal, és una prova matemàtica albirada per Georg Cantor per a demostrar que el conjunt dels nombres reals no és numerable. Aquesta demostració de la impossibilitat de comptar els nombres reals no va ser la primera, però sí que és més senzilla i elegant que aquesta. Posteriorment aquesta prova va inspirar altres demostracions, conegudes com a argument diagonal per l'analogia amb aquesta demostració. (ca) Cantors zweites Diagonalargument ist ein mathematischer Beweis dafür, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist, und allgemeiner, dass die Abbildungen einer Menge nach {0,1} sowie die Potenzmenge einer Menge mächtiger als diese Menge sind. Der Mathematiker Georg Cantor fand diesen Beweis im Jahr 1877 und gab die beiden Verallgemeinerungen 1891 und 1899 an. Mit seinem ersten Diagonalargument zeigte Cantor, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, er gab eine umkehrbar eindeutige Abbildung (eine Bijektion) zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der rationalen Zahlen an. Diese Abbildung erlaubt es anschaulich, alle rationalen Zahlen in einer abzählbar unendlichen Folge anzuordnen. Durch Widerspruch zeigte er, dass es für die reellen Zahlen keine solche Folge gibt, d. h. keine Bijektion zu den natürlichen Zahlen. Dieser Beweis ist nicht Cantors erster Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis wurde 1874, drei Jahre vor seinem Diagonalargument, veröffentlicht. Der erste Beweis arbeitet mit anderen Eigenschaften der reellen Zahlen und kommt ganz ohne ein Zahlensystem aus. (de) En matematiko, la diagonala argumento de Cantor estas pruvo ke ekzistas malfiniaj aroj, kiuj ne povas esti en bijekcia rilato kun la malfinia aro de naturaj nombroj. Ĉi tiaj aroj estas nekalkuleblaj aroj, iliaj kardinalecoj estas pli grandaj ol kardinaleco de la aro de naturaj nombroj. La diagonala argumento estis publikigita de Georg Cantor en 1891. Ĝi ne estis de Cantor de la nekalkulebleco de la reelaj nombroj. La diagonala argumento estis publikigita multe poste ol lia unua pruvo, kiu aperis en 1874. Tamen, ĝi demonstracias povan kaj ĝeneralan manieron kiu estas uzata en larĝa limigo de pruvoj, ankaŭ konataj kiel diagonalaj argumentoj. Iuj ekzemploj estas paradokso de Russell, la unua el la teoremoj de nekompleteco, kaj respondo de Turing al la . La originala pruvo konsideras malfiniajn vicojn de formo (x1, x2, x3, ...) kie ĉiu ero xi estas 0 aŭ 1. Konsideru ĉiun kalkuleblan liston de iuj el ĉi tiuj vicoj, ekzemple: s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)... kaj ĝenerale sn = (sn,1, sn,2, sn,3, sn,4, ...) kio estas ke sn, m estas la m-a ero de la n-a vico de la listo. Eblas konstrui vicon de eroj s0 tian, ke ĝia unua ero estas malsama de la unua ero de la unua vico en la listo, ĝia dua ero estas malsama de la dua ero de la dua vico de la listo, kaj, ĝenerale, ĝia n-a ero estas malsama de la n-a ero de la n-a vico de la listo. Tio estas, se sm,m=0, do s0,m=1; kaj se sm,m=1, do s0,m=0. En la ekzemplo: s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)...s0 = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, ...) La eroj s1,1, s2,2, s3,3, ..., laŭ kiuj estas la konstruado, estas situantaj laŭ diagonalo de la tabelo, de kie aperis la nomo "diagonala argumento". Tiel la nova vico s0 estas malsama de ĉiuj vicoj en la listo, ĉar ĝi estas malsama de ĉiu vico si je almenaŭ unu ero s0, i≠si, i. De ĉi tio sekvas ke la aro T, konsistanta el ĉiuj malfiniaj vicoj de 0 kaj 1, ne povas esti metita en kalkulebla listo s1, s2, s3, .... Alie, ĝi devus ebli per la pli supre priskribita procezo konstrui vicon s0, kiu devus esti en T (ĉar ĝi estas vico de 0 kaj 1 kiu estas en T laŭ la difino de T) kaj samtempe ne en T (ĉar oni povas intence konstrui ĝi tiel ke ĝi ne estas en la listo). Pro tio T ne povas esti en bijekcia (unu al unu) rilato kun la naturaj nombroj. En aliaj vortoj, ĝi estas nekalkulebla. (eo) In set theory, Cantor's diagonal argument, also called the diagonalisation argument, the diagonal slash argument, the anti-diagonal argument, the diagonal method, and Cantor's diagonalization proof, was published in 1891 by Georg Cantor as a mathematical proof that there are infinite sets which cannot be put into one-to-one correspondence with the infinite set of natural numbers. Such sets are now known as uncountable sets, and the size of infinite sets is now treated by the theory of cardinal numbers which Cantor began. The diagonal argument was not Cantor's first proof of the uncountability of the real numbers, which appeared in 1874.However, it demonstrates a general technique that has since been used in a wide range of proofs, including the first of Gödel's incompleteness theorems and Turing's answer to the Entscheidungsproblem. Diagonalization arguments are often also the source of contradictions like Russell's paradox and Richard's paradox. (en) El argumento de la diagonal de Cantor, también conocido como método de la diagonal, es una argumentación o demostración matemática vislumbrada por Georg Cantor hacia 1891 para demostrar que el conjunto de los números reales no es numerable. Esta demostración de la imposibilidad de contar o enumerar los números reales no fue la primera, pero sí la más sencilla y elegante. Posteriormente, esta demostración inspiró otras demostraciones, conocidas como argumento diagonal por la analogía con esta demostración. (es) Cantorren Argudio Diagonala, diagonalaren metodoa bezala ezagutzen dena baita ere, Georg Cantorrek gutxi gorabehera 1891. urtean frogatutako argudio edo frogapena izan zen. Argudio honen bitartez Cantorrek zenbaki errealen multzoa ez zela frogatu zuen. Zenbaki errealak zenbatzeko edo zerrendatzeko ezintasunaren frogapen hau ez zen lehenengoa izan, baina sinpleena eta dotoreena izan zen. Geroago, frogapen honek beste zenbait frogapen inspiratu zituen. (eu) En mathématiques, l'argument de la diagonale, ou argument diagonal, fut inventé par le mathématicien allemand Georg Cantor et publié en 1891. Il permit à ce dernier de donner une deuxième démonstration de la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels, beaucoup plus simple, selon Cantor lui-même, que la première qu'il avait publiée en 1874, et qui utilisait des arguments d'analyse, en particulier le théorème des segments emboîtés. L'argument diagonal fut exploité dans un cadre plus général par Cantor dans le même article pour son théorème sur la cardinalité de l'ensemble des parties d'un ensemble. L'argument diagonal s'applique à une relation ou une fonction (éventuellement partielle) à deux arguments sur un même domaine E, ou, ce qui revient au même, à une fonction qui à chaque élément de E associe une fonction définie sur E. Il utilise de façon essentielle la diagonale de E × E : l'ensemble des couples (x, x) pour x dans E, d'où l'appellation. Il a été adapté pour de nombreuses démonstrations. Des paradoxes qui ont joué un rôle dans la fondation de la théorie des ensembles comme le paradoxe de Russell (inspiré du théorème de Cantor) mais aussi le paradoxe de Richard s'appuient sur le raisonnement diagonal. Le théorème d'incomplétude de Gödel l'utilise pour un lemme essentiel. La théorie de la calculabilité en fait grand usage, à commencer par la démonstration de l'indécidabilité du problème de l'arrêt. L'argument diagonal est ainsi devenu un classique de la démonstration en mathématiques. (fr) L'argomento diagonale di Cantor è una tecnica dimostrativa con cui Georg Cantor ha dimostrato la non numerabilità dei numeri reali. La tecnica di Cantor è stata usata in numerose varianti per ottenere risultati nell'ambito della logica matematica e della teoria della calcolabilità. (it) 집합론에서 대각선 논법(對角線論法, 영어: diagonal argument)은 게오르크 칸토어가 실수가 자연수보다 많음을 증명하는 데 사용한 방법이다. 즉, 대각선 논법은 실수의 집합이 비가산 집합임을 보이는 데 사용된다. (ko) カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう、英: Cantor's diagonal argument）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文の中で用いられたのが最初だとされている。その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しないことを示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、といった重要な定理の証明で使われている。 (ja) Het diagonaalbewijs van Cantor (ook: de diagonaalmethode van Cantor) is een bewijs, afkomstig van de wiskundige Georg Cantor, dat de kardinaliteit van de verzameling van reële getallen groter is dan die van de verzameling van natuurlijke getallen. De verzameling natuurlijke getallen is aftelbaar oneindig, kortweg aftelbaar genoemd. Als een oneindige verzameling niet een-eenduidig op de natuurlijke getallen kan worden afgebeeld, wordt overaftelbaar genoemd. Met zijn diagonaalmethode laat Cantor zien dat er geen een-eenduidige correspondentie is tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen. Cantor publiceerde dit bewijs in 1891, maar had de overaftelbaarheid van de reële getallen al eerder bewezen. (nl) Rozumowanie przekątniowe – klasyczny przykład rozumowania w dowodzie nie wprost. Za jego pomocą można wykazać na przykład, że moc zbioru liczb rzeczywistych z przedziału jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych; formułuje się to obrazowo: liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych. Rozumowanie przekątniowe i jego modyfikacje ma znacznie więcej zastosowań, stosowane jest m.in. w logice, topologii, teorii mnogości. Wykorzystywane jest zwykle do konstrukcji obiektów mających, lub nie, określone własności. Po raz pierwszy w dowodzie matematycznym rozumowania przekątniowego użył twórca teorii mnogości Georg Cantor. Generalnie, jako metoda dowodzenia metoda przekątniowa polega na skonstruowaniu elementu, o którym wiemy, że nie należy do rozpatrywanego zbioru, dzięki czemu możemy wykazać, że pewne założenie o elementach owego zbioru jest nieprawdziwe: w przykładzie poniższym założeniem jest możliwość ponumerowania liczb rzeczywistych z przedziału Metoda przekątniowa jest narzędziem do konstruowania takich właśnie elementów. Rozumowanie opiera się na następującym fakcie: każda liczba rzeczywista ma swoje rozwinięcie dziesiętne z zerową cyfrą jedności, skończone lub nie. Jeśli jest ono skończone, to uzupełniamy rozwinięcie o nieskończoną ilość zer tak, by otrzymać rozwinięcie formalnie nieskończone. Jest też odwrotnie – każdy ciąg cyfr po przecinku reprezentuje pewną liczbę rzeczywistą. Załóżmy, że możemy ponumerować wszystkie liczby rzeczywiste liczbami naturalnymi, czyli ustawić je w nieskończony ciąg. Na przykład w ten sposób: 1. * 0, 2 6 7 8 8 8 9 2 8 7 1 7 7 4 3 ... 2. * 0, 2 7 1 6 7 3 8 2 0 9 8 3 0 9 8 ... 3. * 0, 2 1 9 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ... 4. * 0, 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 2 2 ... 5. * 0, 2 1 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 ... 6. * 0, 9 5 4 1 1 2 1 2 2 8 9 3 4 5 7 ... 7. * 0, 7 3 9 2 0 8 3 9 6 7 1 6 2 6 3 ... 8. * ... Skonstruujemy teraz liczbę rzeczywistą która w powyższym ciągu na pewno nie wystąpi. Mianowicie, kolejne cyfry liczby tworzymy wg zasady: * jeśli k-ta liczba ciągu ma na k-tym miejscu po przecinku jedną z cyfr 0,1,...8, to liczba ma na k-tym miejscu cyfrę o 1 większą; * jeśli k-ta liczba ciągu ma na k-tym miejscu po przecinku cyfrę 9, to liczba ma na k-tym miejscu cyfrę 0. W naszym przykładzie liczba wyglądałaby tak: 0,3802334... W efekcie liczba rzeczywista od pierwszej liczby ciągu różni (co najmniej) pierwszą cyfrą, od drugiej liczby ciągu różni (co najmniej) drugą cyfrą, ... od k-tej liczby ciągu różni (co najmniej) k-tą cyfrą.Tzn. liczba nie występuje w ciągu, wbrew temu, że ciąg zawierał wszystkie liczby rzeczywiste. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych z przedziału nie są równoliczne. (pl) Диагональный аргумент (диагональный метод Кантора) — доказательство теоремы Кантора о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую мощность, чем само множество. В частности, множество всех подмножеств натурального ряда имеет мощность большую, чем алеф-0, и, значит, не является счётным. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе: Пусть есть взаимнооднозначное соответствие, которое каждому элементу множества ставит в соответствие подмножество множества Пусть будет множеством, состоящим из элементов таких, что (диагональное множество). Тогда дополнение этого множества не может быть ни одним из А следовательно, соответствие было не взаимнооднозначным. Кантор использовал диагональный аргумент при доказательстве несчётности действительных чисел в 1891 году. (Это не первое его доказательство несчётности действительных чисел, но наиболее простое). Диагональный аргумент использовался во многих областях математики. Так, например, он является центральным аргументом в теореме Гёделя о неполноте, в доказательстве существования неразрешимого перечислимого множества и, в частности, в доказательстве неразрешимости проблемы остановки. (ru) Na teoria dos conjuntos, o argumento da diagonalização de Cantor, também chamada de argumento da diagonalização, foi publicado em 1891 por Georg Cantor como uma prova matemática de que existem conjuntos infinitos que não podem ser mapeados em uma correspondência um-para-um ao conjunto infinito de números naturais. Tais conjuntos são agora conhecidos como conjuntos incontáveis, e o tamanho dos conjuntos infinitos agora é tratada pela teoria dos números cardinais que Cantor iniciou. O argumento da diagonalização não foi a primeira prova da não-enumerabilidade dos números reais de Cantor; ele realmente foi publicado bem posteriormente do que a sua primeira prova, que apareceu em 1874. No entanto, ele demonstra uma técnica poderosa e geral, que desde então tem sido usado em uma ampla gama de provas, também conhecido como argumentos da diagonalização por analogia com o argumento utilizado nesta prova. Os exemplos mais famosos são o paradoxo de Russell, o primeiro dos teoremas da incompletude de Gödel, e a resposta de Turing ao Entscheidungsproblem. (pt) У теорії множин, Діагональний метод Кантора або діагональний аргумент Кантора, також відомий як метод діагоналізації, був опублікований у 1891 році Георгом Кантором як математичний доказ того, що існують нескінченні множини для котрих не існує взаємно однозначної відповідності з нескінченною множиною натуральних чисел. Такі множини тепер називають незліченними множинами, і розміри незліченних множин вивчає теорія кардинальних чисел, започаткована Кантором. Кантор незліченність дійсних чисел у 1874 році іншим методом, відмінним від діагонального. Однак діагональний метод є потужним і універсальним способом, що був відтоді використаний у широкому діапазоні доведень, включаючи першу теорему Геделя про неповноту і тезу Черча — Тюрінга. Аргументи діагоналізації також часто є джерелом суперечностей, таких як парадокс Рассела і . (uk) 对角论证法是乔治·康托尔於1891年提出的用于说明实数集合是不可数集的证明。 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证明，而是发表在他第一个证明的三年后。他的第一个证明既未用到十进制展开也未用到任何其它數系。自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证明中都用到了类似的证明构造方法，它們一般亦稱為對角論證法。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Diagonal_argument_01_svg.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.mathpages.com/home/kmath371.htm |
| dbo:wikiPageID | 51426 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 23264 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1123339851 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cantor's_first_uncountability_proof dbr:Cantor's_theorem dbr:Cardinality_of_the_continuum dbr:Power_set dbr:Schröder–Bernstein_theorem dbr:Entscheidungsproblem dbr:Model_theory dbr:New_Foundations dbr:Dedekind_cut dbr:Dyadic_rational dbr:Infinite_set dbr:Construction_of_the_real_numbers dbr:Countable_set dbr:Countably_infinite dbc:Arguments dbr:Russell's_Paradox dbr:Russell's_paradox dbr:Function_(mathematics) dbr:Function_composition dbr:Generalized_continuum_hypothesis dbr:Georg_Cantor dbr:Naive_set_theory dbr:Constructive_proof dbr:Continuum_hypothesis dbr:Controversy_over_Cantor's_theory dbc:Set_theory dbr:Total_order dbr:Trigonometric_functions dbr:Type_theory dbr:Irrational_number dbr:Law_of_excluded_middle dbr:Linear_function dbc:Theorems_in_the_foundations_of_mathematics dbr:Cardinal_number dbr:Cardinality dbr:Cauchy_sequence dbr:Diagonal_lemma dbr:Lemma_(mathematics) dbr:Closed_interval dbr:Ones'_complement dbr:Proof_by_contradiction dbr:Decimal_fractions dbr:Mathematical_proof dbr:Radix dbr:Gödel's_incompleteness_theorems dbr:Halting_problem dbc:Mathematical_proofs dbr:Subcountability dbr:Surjective dbc:Infinity dbc:Cardinal_numbers dbr:Bijection dbr:Classical_mathematics dbr:Constructivism_(mathematics) dbr:Injective_function dbr:Natural_number dbr:Open_interval dbc:Georg_Cantor dbr:Real_number dbr:Recursive_set dbr:Set_(mathematics) dbr:Set_theory dbr:Complexity_classes dbr:Diagonalization_(disambiguation) dbr:Image_(mathematics) dbr:Tarski's_axiomatization_of_the_reals dbr:Richard's_paradox dbr:Intuitionist dbr:Rice's_theorem dbr:Subset dbr:Uncountable_set dbr:Unrestricted_comprehension dbr:P_versus_NP dbr:Set_of_all_sets dbr:W._V._Quine dbr:Infinite_series dbr:Binary_digits dbr:Binary_expansion dbr:Binary_point dbr:Sequences dbr:Subcountable dbr:File:Aplicación_2_inyectiva_sobreyectiva02.svg dbr:File:Diagonal_argument_01_svg.svg dbr:File:Diagonal_argument_powerset_svg.svg |
| dbp:caption | The function h: → (en) The function tan: → R (en) |
| dbp:height | 159 (xsd:integer) 580 (xsd:integer) |
| dbp:id | CantorDiagonalMethod (en) |
| dbp:image | Linear transformation svg.svg (en) Tangent one period.svg (en) |
| dbp:title | Cantor Diagonal Method (en) |
| dbp:totalWidth | 200 (xsd:integer) |
| dbp:width | 106 (xsd:integer) 338 (xsd:integer) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Set_theory dbt:= dbt:About-distinguish-text dbt:Anchor dbt:Color dbt:MathWorld dbt:Multiple_image dbt:Rp dbt:Short_description dbt:Space dbt:Use_dmy_dates dbt:Mathematical_logic |
| dcterms:subject | dbc:Arguments dbc:Set_theory dbc:Theorems_in_the_foundations_of_mathematics dbc:Mathematical_proofs dbc:Infinity dbc:Cardinal_numbers dbc:Georg_Cantor |
| gold:hypernym | dbr:Sets |
| rdf:type | yago:WikicatArguments yago:WikicatCardinalNumbers yago:WikicatMathematicalProofs yago:WikicatTheoremsInTheFoundationsOfMathematics yago:WikicatParadoxes yago:Abstraction100002137 yago:Argument106648724 yago:CardinalNumber113597585 yago:Communication100033020 yago:Contradiction107206887 yago:DefiniteQuantity113576101 yago:Evidence106643408 yago:Falsehood106756407 yago:Indication106797169 yago:MathematicalProof106647864 yago:Measure100033615 yago:Message106598915 yago:Number113582013 yago:Paradox106724559 yago:Proof106647614 yago:Proposition106750804 dbo:Train yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | Cantorova diagonální metoda je matematický důkaz, pomocí kterého Georg Cantor ukázal, že množina všech reálných čísel je nespočetná. Diagonální metoda nebyla prvním důkazem, který Cantor použil k dokázání tohoto faktu, byla publikována až tři roky po prvním důkazu. Na druhou stranu je ale oproti tomuto důkazu mnohem známější, navíc od prvního publikování byla podobná metoda použita pro dokázání mnoha dalších vět (například problém zastavení). (cs) La diagonalització de Cantor, també coneguda com a mètode diagonal, és una prova matemàtica albirada per Georg Cantor per a demostrar que el conjunt dels nombres reals no és numerable. Aquesta demostració de la impossibilitat de comptar els nombres reals no va ser la primera, però sí que és més senzilla i elegant que aquesta. Posteriorment aquesta prova va inspirar altres demostracions, conegudes com a argument diagonal per l'analogia amb aquesta demostració. (ca) El argumento de la diagonal de Cantor, también conocido como método de la diagonal, es una argumentación o demostración matemática vislumbrada por Georg Cantor hacia 1891 para demostrar que el conjunto de los números reales no es numerable. Esta demostración de la imposibilidad de contar o enumerar los números reales no fue la primera, pero sí la más sencilla y elegante. Posteriormente, esta demostración inspiró otras demostraciones, conocidas como argumento diagonal por la analogía con esta demostración. (es) Cantorren Argudio Diagonala, diagonalaren metodoa bezala ezagutzen dena baita ere, Georg Cantorrek gutxi gorabehera 1891. urtean frogatutako argudio edo frogapena izan zen. Argudio honen bitartez Cantorrek zenbaki errealen multzoa ez zela frogatu zuen. Zenbaki errealak zenbatzeko edo zerrendatzeko ezintasunaren frogapen hau ez zen lehenengoa izan, baina sinpleena eta dotoreena izan zen. Geroago, frogapen honek beste zenbait frogapen inspiratu zituen. (eu) L'argomento diagonale di Cantor è una tecnica dimostrativa con cui Georg Cantor ha dimostrato la non numerabilità dei numeri reali. La tecnica di Cantor è stata usata in numerose varianti per ottenere risultati nell'ambito della logica matematica e della teoria della calcolabilità. (it) 집합론에서 대각선 논법(對角線論法, 영어: diagonal argument)은 게오르크 칸토어가 실수가 자연수보다 많음을 증명하는 데 사용한 방법이다. 즉, 대각선 논법은 실수의 집합이 비가산 집합임을 보이는 데 사용된다. (ko) カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう、英: Cantor's diagonal argument）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文の中で用いられたのが最初だとされている。その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しないことを示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、といった重要な定理の証明で使われている。 (ja) Het diagonaalbewijs van Cantor (ook: de diagonaalmethode van Cantor) is een bewijs, afkomstig van de wiskundige Georg Cantor, dat de kardinaliteit van de verzameling van reële getallen groter is dan die van de verzameling van natuurlijke getallen. De verzameling natuurlijke getallen is aftelbaar oneindig, kortweg aftelbaar genoemd. Als een oneindige verzameling niet een-eenduidig op de natuurlijke getallen kan worden afgebeeld, wordt overaftelbaar genoemd. Met zijn diagonaalmethode laat Cantor zien dat er geen een-eenduidige correspondentie is tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen. Cantor publiceerde dit bewijs in 1891, maar had de overaftelbaarheid van de reële getallen al eerder bewezen. (nl) 对角论证法是乔治·康托尔於1891年提出的用于说明实数集合是不可数集的证明。 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证明，而是发表在他第一个证明的三年后。他的第一个证明既未用到十进制展开也未用到任何其它數系。自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证明中都用到了类似的证明构造方法，它們一般亦稱為對角論證法。 (zh) حجة كانتور القُطْرية هي برهان رياضي في نظرية المجموعات نشره جورج كانتور عام 1891 لبرهنة وجود مجموعات غير منتهية لا يمكن مقابلة عناصرها مع عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية الغير منتهية. تُعرف هذه المجموعات الآن بالمجموعات غير العدودة، وتساعدنا نظرية كانتور للأعداد الأصلية في التعامل مع حجم هذه المجموعات الغير منتهية. (ar) En matematiko, la diagonala argumento de Cantor estas pruvo ke ekzistas malfiniaj aroj, kiuj ne povas esti en bijekcia rilato kun la malfinia aro de naturaj nombroj. Ĉi tiaj aroj estas nekalkuleblaj aroj, iliaj kardinalecoj estas pli grandaj ol kardinaleco de la aro de naturaj nombroj. La originala pruvo konsideras malfiniajn vicojn de formo (x1, x2, x3, ...) kie ĉiu ero xi estas 0 aŭ 1. Konsideru ĉiun kalkuleblan liston de iuj el ĉi tiuj vicoj, ekzemple: kaj ĝenerale sn = (sn,1, sn,2, sn,3, sn,4, ...) kio estas ke sn, m estas la m-a ero de la n-a vico de la listo. (eo) Cantors zweites Diagonalargument ist ein mathematischer Beweis dafür, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist, und allgemeiner, dass die Abbildungen einer Menge nach {0,1} sowie die Potenzmenge einer Menge mächtiger als diese Menge sind. Der Mathematiker Georg Cantor fand diesen Beweis im Jahr 1877 und gab die beiden Verallgemeinerungen 1891 und 1899 an. Durch Widerspruch zeigte er, dass es für die reellen Zahlen keine solche Folge gibt, d. h. keine Bijektion zu den natürlichen Zahlen. (de) In set theory, Cantor's diagonal argument, also called the diagonalisation argument, the diagonal slash argument, the anti-diagonal argument, the diagonal method, and Cantor's diagonalization proof, was published in 1891 by Georg Cantor as a mathematical proof that there are infinite sets which cannot be put into one-to-one correspondence with the infinite set of natural numbers. Such sets are now known as uncountable sets, and the size of infinite sets is now treated by the theory of cardinal numbers which Cantor began. (en) En mathématiques, l'argument de la diagonale, ou argument diagonal, fut inventé par le mathématicien allemand Georg Cantor et publié en 1891. Il permit à ce dernier de donner une deuxième démonstration de la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels, beaucoup plus simple, selon Cantor lui-même, que la première qu'il avait publiée en 1874, et qui utilisait des arguments d'analyse, en particulier le théorème des segments emboîtés. L'argument diagonal fut exploité dans un cadre plus général par Cantor dans le même article pour son théorème sur la cardinalité de l'ensemble des parties d'un ensemble. (fr) Rozumowanie przekątniowe – klasyczny przykład rozumowania w dowodzie nie wprost. Za jego pomocą można wykazać na przykład, że moc zbioru liczb rzeczywistych z przedziału jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych; formułuje się to obrazowo: liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych. Załóżmy, że możemy ponumerować wszystkie liczby rzeczywiste liczbami naturalnymi, czyli ustawić je w nieskończony ciąg. Na przykład w ten sposób: Skonstruujemy teraz liczbę rzeczywistą która w powyższym ciągu na pewno nie wystąpi. Mianowicie, kolejne cyfry liczby tworzymy wg zasady: 0,3802334... (pl) Na teoria dos conjuntos, o argumento da diagonalização de Cantor, também chamada de argumento da diagonalização, foi publicado em 1891 por Georg Cantor como uma prova matemática de que existem conjuntos infinitos que não podem ser mapeados em uma correspondência um-para-um ao conjunto infinito de números naturais. Tais conjuntos são agora conhecidos como conjuntos incontáveis, e o tamanho dos conjuntos infinitos agora é tratada pela teoria dos números cardinais que Cantor iniciou. (pt) Диагональный аргумент (диагональный метод Кантора) — доказательство теоремы Кантора о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую мощность, чем само множество. В частности, множество всех подмножеств натурального ряда имеет мощность большую, чем алеф-0, и, значит, не является счётным. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе: Кантор использовал диагональный аргумент при доказательстве несчётности действительных чисел в 1891 году. (Это не первое его доказательство несчётности действительных чисел, но наиболее простое). (ru) У теорії множин, Діагональний метод Кантора або діагональний аргумент Кантора, також відомий як метод діагоналізації, був опублікований у 1891 році Георгом Кантором як математичний доказ того, що існують нескінченні множини для котрих не існує взаємно однозначної відповідності з нескінченною множиною натуральних чисел. Такі множини тепер називають незліченними множинами, і розміри незліченних множин вивчає теорія кардинальних чисел, започаткована Кантором. (uk) |
| rdfs:label | حجة كانتور القطرية (ar) Diagonalització de Cantor (ca) Cantorova diagonální metoda (cs) Cantors zweites Diagonalargument (de) Diagonala argumento de Cantor (eo) Cantor's diagonal argument (en) Argumento de la diagonal de Cantor (es) Cantorren Argudio Diagonala (eu) Argument de la diagonale de Cantor (fr) Argomento diagonale di Cantor (it) 대각선 논법 (ko) カントールの対角線論法 (ja) Diagonaalbewijs van Cantor (nl) Metoda przekątniowa (pl) Argumento de diagonalização de Cantor (pt) Диагональный аргумент (ru) 對角論證法 (zh) Діагональний метод Кантора (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Cantor's diagonal argument yago-res:Cantor's diagonal argument wikidata:Cantor's diagonal argument dbpedia-ar:Cantor's diagonal argument dbpedia-ca:Cantor's diagonal argument dbpedia-cs:Cantor's diagonal argument dbpedia-da:Cantor's diagonal argument dbpedia-de:Cantor's diagonal argument dbpedia-eo:Cantor's diagonal argument dbpedia-es:Cantor's diagonal argument dbpedia-et:Cantor's diagonal argument dbpedia-eu:Cantor's diagonal argument dbpedia-fa:Cantor's diagonal argument dbpedia-fi:Cantor's diagonal argument dbpedia-fr:Cantor's diagonal argument dbpedia-he:Cantor's diagonal argument dbpedia-hu:Cantor's diagonal argument dbpedia-it:Cantor's diagonal argument dbpedia-ja:Cantor's diagonal argument dbpedia-ka:Cantor's diagonal argument dbpedia-ko:Cantor's diagonal argument dbpedia-lmo:Cantor's diagonal argument http://ml.dbpedia.org/resource/കാന്ററുടെ_ഡയഗണൽ_ആർഗ്യുമെന്റ് dbpedia-nl:Cantor's diagonal argument dbpedia-pl:Cantor's diagonal argument dbpedia-pt:Cantor's diagonal argument dbpedia-ru:Cantor's diagonal argument dbpedia-simple:Cantor's diagonal argument dbpedia-sk:Cantor's diagonal argument dbpedia-sl:Cantor's diagonal argument http://ta.dbpedia.org/resource/கேண்டரின்_கோணல்கோடு_நிறுவல்முறை dbpedia-th:Cantor's diagonal argument dbpedia-tr:Cantor's diagonal argument dbpedia-uk:Cantor's diagonal argument dbpedia-vi:Cantor's diagonal argument dbpedia-zh:Cantor's diagonal argument https://global.dbpedia.org/id/4tvJX |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Cantor's_diagonal_argument?oldid=1123339851&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Aplicación_2_inyectiva_sobreyectiva02.svg wiki-commons:Special:FilePath/Diagonal_argument_powerset_svg.svg wiki-commons:Special:FilePath/Diagonal_argument_01_svg.svg wiki-commons:Special:FilePath/Linear_transformation_svg.svg wiki-commons:Special:FilePath/Tangent_one_period.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Cantor's_diagonal_argument |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:CDA dbr:Diagonal_argument |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Cantor's_diagonalization_proof dbr:Cantor's+proof dbr:Cantor's_diagonal dbr:Cantor's_diagonal_proof dbr:Cantor's_diagonal_slash dbr:Cantor's_diagonal_theorem dbr:Cantor's_diagonalization dbr:Cantor's_diagonalization_argument dbr:Cantor's_diagonalization_method dbr:Cantor's_proof dbr:Cantor's_second_diagonal_argument dbr:Cantor's_second_uncountability_proof dbr:Cantor's_snake dbr:Cantor_Diagonalisation dbr:Cantor_Diagonalization dbr:Cantor_diagonal_argument dbr:Cantor_diagonal_method dbr:Cantor_diagonal_slash dbr:Cantor_diagonalization dbr:Cantor_diagonalization_argument dbr:Cantors_Diagonal_argument dbr:First_diagonal_method dbr:Diagonal_Slash dbr:Diagonal_proof dbr:Diagonal_slash dbr:Diagonal_slash_argument dbr:Diagonalisation_argument dbr:Diagonalization_argument dbr:Second_diagonal_method |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Cantor's_diagonalization_proof dbr:Cantor's_first_set_theory_article dbr:Cantor's_theorem dbr:Cardinality_of_the_continuum dbr:Power_set dbr:Primitive_recursive_function dbr:Proof_of_impossibility dbr:Beyond_Infinity_(mathematics_book) dbr:CDA dbr:Definable_real_number dbr:Description_number dbr:List_of_mathematical_logic_topics dbr:List_of_mathematical_proofs dbr:List_of_paradoxes dbr:List_of_set_theory_topics dbr:Pseudomathematics dbr:0.999... dbr:Constructivism_(philosophy_of_mathematics) dbr:Countable_set dbr:Mathematical_logic dbr:Mathematics dbr:Ordinal_collapsing_function dbr:Timeline_of_mathematical_logic dbr:Timeline_of_mathematics dbr:Enumeration dbr:Georg_Cantor dbr:Constructive_analysis dbr:Constructive_set_theory dbr:Continuum_hypothesis dbr:Controversy_over_Cantor's_theory dbr:Computable_number dbr:From_Zero_to_Infinity dbr:Paradoxes_of_set_theory dbr:Mathematical_Cranks dbr:Transcendental_number dbr:Turing's_proof dbr:DM dbr:Hausdorff_dimension dbr:Irrational_number dbr:Jules_Richard_(mathematician) dbr:Algorithm_characterizations dbr:Eugenia_Cheng dbr:Fallibilism dbr:Pairing_function dbr:Cardinal_characteristic_of_the_continuum dbr:Cardinal_number dbr:Cardinality dbr:Diagonal_lemma dbr:History_of_the_Church–Turing_thesis dbr:Keith_Simmons_(philosopher) dbr:Kolmogorov_complexity dbr:List_of_German_inventions_and_discoveries dbr:Gödel's_incompleteness_theorems dbr:Halting_problem dbr:The_Man_Who_Loved_Only_Numbers dbr:Subcountability dbr:Karp–Lipton_theorem dbr:Boolean_algebras_canonically_defined dbr:Cantor's_theorem_(disambiguation) dbr:Real_number dbr:Sequence dbr:Turing_machine dbr:Underwood_Dudley dbr:Diagonal_argument dbr:Diagonalization dbr:List_of_theorems dbr:List_of_things_named_after_Georg_Cantor dbr:Malware_research dbr:Richard's_paradox dbr:Transcendental_number_theory dbr:Simple_theorems_in_the_algebra_of_sets dbr:Time_hierarchy_theorem dbr:Outline_of_logic dbr:Turing_completeness dbr:Uncountable_set dbr:Cantor's+proof dbr:Cantor's_diagonal dbr:Cantor's_diagonal_proof dbr:Cantor's_diagonal_slash dbr:Cantor's_diagonal_theorem dbr:Cantor's_diagonalization dbr:Cantor's_diagonalization_argument dbr:Cantor's_diagonalization_method dbr:Cantor's_proof dbr:Cantor's_second_diagonal_argument dbr:Cantor's_second_uncountability_proof dbr:Cantor's_snake dbr:Cantor_Diagonalisation dbr:Cantor_Diagonalization dbr:Cantor_diagonal_argument dbr:Cantor_diagonal_method dbr:Cantor_diagonal_slash dbr:Cantor_diagonalization dbr:Cantor_diagonalization_argument dbr:Cantors_Diagonal_argument dbr:First_diagonal_method dbr:Diagonal_Slash dbr:Diagonal_proof dbr:Diagonal_slash dbr:Diagonal_slash_argument dbr:Diagonalisation_argument dbr:Diagonalization_argument dbr:Second_diagonal_method |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Cantor's_diagonal_argument |
