Octonion (original) (raw)
أوكتونيون Octonion في الرياضيات هي امتداد كعملية غير تجميعية للكواتيرنيون. أبعادها الثمانية الحقيقية الجبرية في حقل الأعداد الحقيقية هو أوسع حقل بعدي من الممكن الحصول عليه باستخدام . يرمز جبرياً إلى الأوكتونيون بالرمز O أو بالحرف العريض . ربما بسبب أن الأوكتونيون لاتحقق الخاصة التجميعية لعملية الضرب، فإنها تجذب اهتماماً أقل من الكواتيرنيون، ولكن وعلى الرغم من شهرتها الضئيلة هذه فإن الأوكتونيون لها تطبيقات عدة في مجالات نظرية الأوتار، النسبية الخاصة، .
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | أوكتونيون Octonion في الرياضيات هي امتداد كعملية غير تجميعية للكواتيرنيون. أبعادها الثمانية الحقيقية الجبرية في حقل الأعداد الحقيقية هو أوسع حقل بعدي من الممكن الحصول عليه باستخدام . يرمز جبرياً إلى الأوكتونيون بالرمز O أو بالحرف العريض . ربما بسبب أن الأوكتونيون لاتحقق الخاصة التجميعية لعملية الضرب، فإنها تجذب اهتماماً أقل من الكواتيرنيون، ولكن وعلى الرغم من شهرتها الضئيلة هذه فإن الأوكتونيون لها تطبيقات عدة في مجالات نظرية الأوتار، النسبية الخاصة، . (ar) V matematice se pojmem oktoniony označuje neasociativní rozšíření kvaternionů. Tvoří osmidimenzionální algebru nad reálnými čísly, nejstarší známý příklad neasociativního okruhu. Oktoniony tvoří poslední, a tudíž nejobecnější typ tzv. normovaných algeber s dělením (též nazývané Hurwitzovy algebry). Je překvapivé, že existují právě jen čtyři takové algebry: reálná čísla, komplexní čísla, kvaterniony a oktoniony. Principiální rozdíl mezi vektorovými prostory a Hurwitzovými algebrami spočívá právě v operaci dělení: zatímco u vektorů operaci dělení dvou vektorů vůbec nezavádíme (neexistuje), u normovaných algeber s dělením (vzájemně jednoznačná a invertibilní) operace dělení existuje. Hurwitzovy algebry však existují jen ve čtyřech výlučných dimenzích: 1, 2, 4, 8. Dimenze 8 má tedy určité unikátní vlastnosti, dané unikátními vlastnostmi oktonionů. Zatímco reálná čísla, komplexní čísla a kvaterniony mají těsný vztah k regulárním Lieovým grupám typu A, B, C, D, oktoniony mají těsný vztah k tzv. typu G2, F4, E6, E7, E8. Řada teoretických fyziků proto oprávněně usuzuje též na hlubokou roli oktonionů ve fyzice, zejména částicové. Zřejmě kvůli neasociativnosti, která je zdánlivě „nefyzikální“, jsou oktoniony dosud méně známé i používané než kvaterniony. Mírou narušení komutativního a asociativního zákona jsou u oktonionů veličiny zvané komutátor a . (cs) Els octonions són l'extensió no associativa dels quaternions. Van ser descoberts per John Thomas Graves el 1843, i independentment per Arthur Cayley, qui ho va publicar per primera vegada el 1845. Són anomenats, de vegades, nombres de Cayley. Els octonions formen una àlgebra 8-dimensional sobre els nombres reals i poden ser compresos com un octet ordenat de nombres reals. Cada octonions forma una combinació lineal de la base: 1, i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i 7 .La forma de multiplicar octonions està donada en la taula següent: Aquest producte no és commutatiu ni associatiu. A causa d'aquesta no associativitat, els octonions, a diferència dels quaternions, no admeten una representació matricial. (ca) Στα μαθηματικά, τα οκτόνια είναι μέρος της άλγεβρας. Συμβολίζονται με έντονο Ο, ή αλλιώς με το σύμβολο . (el) Los octoniones son la extensión no asociativa de los cuaterniones. Fueron descubiertos por John T. Graves en 1843, e independientemente por Arthur Cayley, quien lo publicó por primera vez en 1845. Son llamados, a veces números de Cayley. Los octoniones forman un álgebra 8-dimensional sobre los números reales y pueden ser comprendidos como un octeto ordenado de números reales. Cada octonión forma una combinación lineal de la base: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7.La forma de multiplicar octoniones está dada en la tabla siguiente: Este producto no es conmutativo ni asociativo. A causa de esta no asociatividad, los octoniones, a diferencia de los cuaterniones, no admiten una representación matricial. (es) Die (reellen) Oktaven, auch Oktonionen oder Cayleyzahlen, sind eine Erweiterung der Quaternionen und besitzen das Mengensymbol . Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Quaternionen und bilden einen Alternativkörper. Damit liefern sie als Koordinatenbereich ein Beispiel für eine echte, das heißt nicht-desarguessche Moufang-Ebene in der synthetischen Geometrie. (de) Oktonioiak koaternioien orokortze ez elkarkorra da. Oktonioien taldea adierazteko 𝕆 hizkia erabiltzen da. Zenbaki horiek 1843an, eta Arthur Cayleyek, lehenengo aldiz 1845ean argitaratu zuena, bakoitzak bere aldetik aurkitu zituzten. Batzuetan, Cayleyen zenbakiak ere deitzen dituzte. Oktonioiek zenbaki errealen gaineko 8-dimentsional bat osatzen dute eta zenbaki errealen zortzikote ordenatutzat har daitezke. Oktonioi bakoitzak ondoko oinarriaren konbinazio lineala da: 1, i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i 7 . Hau da: Oktonioiak biderkatzeko taula hau erabiltzen da: Biderketa ez da trukakorra, ezta elkarkorra ere. Elkarkorra ez denez, Oktonioiek, koaternioiek ez bezala, ez dute onartzen matriz-adierazpenik. (eu) En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non associative des quaternions. Ils forment une algèbre à huit dimensions sur le corps ℝ des nombres réels. L’algèbre des octonions est généralement notée 𝕆. En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, ils gardent leur importance en algèbre et en géométrie, notamment parmi les groupes de Lie. (fr) In mathematics, the octonions are a normed division algebra over the real numbers, a kind of hypercomplex number system. The octonions are usually represented by the capital letter O, using boldface O or blackboard bold . Octonions have eight dimensions; twice the number of dimensions of the quaternions, of which they are an extension. They are noncommutative and nonassociative, but satisfy a weaker form of associativity; namely, they are alternative. They are also power associative. Octonions are not as well known as the quaternions and complex numbers, which are much more widely studied and used. Octonions are related to exceptional structures in mathematics, among them the exceptional Lie groups. Octonions have applications in fields such as string theory, special relativity and quantum logic. Applying the Cayley–Dickson construction to the octonions produces the sedenions. (en) Oktonion adalah sebuah barisan 8 bilangan riil dan merupakan salah satu dari 4 bilangan dengan bilangan riil, bersama dengan bilangan riil, bilangan kompleks dan kuaternion. Sifat-sifat aritmetis oktonion diterapkan dalam bidang-bidang seperti teori dawai, relativitas khusus dan . Oktonion ditemukan oleh pada tahun 1843, karena inspirasi penemuan kuaternion oleh temannya William Rowan Hamilton. (in) 数学における八元数（はちげんすう、英: octonion; オクトニオン）の全体は実数体上のノルム多元体で、ふつう大文字アルファベットの O を使って、太字の O（あるいは黒板太字の 𝕆）で表される。実数体上のノルム多元体はたった四種類であり、O のほかは、実数の全体 R, 複素数の全体 C, 四元数の全体 H しかない。O はこれらノルム多元体の中で最大のもので、実八次元、これは H の次元の二倍である（O は H を拡大して得られる）。八元数の全体 O における乗法は非可換かつ非結合的だが、弱い形の結合性であるは満足する。 より広く調べられ利用されている四元数や複素数に比べれば、八元数についてはそれほどよく知られているわけではない。にもかかわらず、八元数にはいくつも興味深い性質があり、それに関連して（例外型リー群が持つような）例外的な構造もいくつも備えている。加えて、八元数は弦理論などといった分野に応用を持っている。 八元数は、ハミルトンの四元数の発見に刺激を受けたによって1843年に発見され、グレイヴスはこれを octaves と呼んだ。それとは独立にケイリーも八元数を発見しており、八元数のことをケイリー数、その全体をケイリー代数と呼ぶことがある。 (ja) 팔원수(八元數, 영어: octonion 옥토니언[*]) 또는 케일리 수(영어: Cayley number)는 유일한 8차원 비가환 비결합 노름 이다. (ko) In matematica, gli ottetti (o ottonioni) sono un'estensione non associativa dei quaternioni. L'algebra relativa viene spesso denotata con oppure con O. (it) In de wiskunde zijn de octonionen een niet-associatieve uitbreiding van de quaternionen. Hun 8-dimensionale genormeerde delingsalgebra over de reële getallen is de meest uitgebreide vorm, die men met behulp van de Cayley-Dickson-constructie kan ontwikkelen. De algebra van octonionen wordt vaak aangeduid met O, of in zogenaamd schoolbordvet door . Misschien omdat zij geen associatieve vermenigvuldiging kennen, ontvangen de octonionen soms minder aandacht dan de quaternionen. Ondanks het gebrek aan populariteit, zijn de octonionen gerelateerd aan een aantal exceptionele structuren in de wiskunde, waaronder de . Daarnaast hebben octonionen toepassingen gevonden in andere gebieden zoals de stringtheorie, speciale relativiteitstheorie en . (nl) Oktonionerna är en icke-associativ utvidgning av kvaternionerna.De upptäcktes av år 1843, och oberoende av Arthur Cayley, som 1845 publicerade det första arbetet om dem. De kallas ibland Cayleytal eller Cayleys algebra. Mängden av oktonioner betecknas 𝕆 eller O. Oktonionerna bildar en 8-dimensionell algebra över de reella talen, och kan därför ses som oktetter av reella tal. Varje oktonion är en reell linjärkombination av enhetsoktonionerna 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 och e7, vars multiplikationstabell ser ut som följer. Multiplicering mellan två olika enhetsoktonioner (≠ 1) kan visualiseras med följande schema. Oktonionstjärna Sök triangeln där enheterna är i hörn. Deras produkt i riktningen för pilen ger triangels tredje enhet och produkt i motsatta riktningen ger minus tredje enhet. Exempel: e4e6= e3 och e6e4 = -e3. (sv) Na matemática, os octoniões (português europeu) ou octônios (português brasileiro) são uma extensão não-associativa dos quaterniões. Sua álgebra da divisão formada de 8 dimensões sobre os números reais é o mais extenso que pode ser obtido da construção de Cayley-Dickson. A álgebra do octoniões é frequentemente denotada como . Possivelmente por não oferecerem uma multiplicação associativa, os octoniões recebem às vezes menos atenção do que os quaterniões. Apesar desta falta da popularidade, eles são relacionados a um número de estruturas excepcionais na matemática, entre elas os . Octoniões são também promissores na física, por exemplo, para avanços na teoria das cordas. (pt) Oktawy Cayleya, oktoniony (łac. octo – osiem), liczby Cayleya – rozszerzenie kwaternionów stanowiące niełączną algebrę. Zostały równolegle odkryte przez dwóch matematyków: w roku 1843 i Arthura Cayleya w roku 1845. Oktawy są trzecią z kolei po liczbach zespolonych i kwaternionach algebrą powstałą przez zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do liczb rzeczywistych. Są algebrą 8-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Z tego też powodu mogą być traktowane jako ośmioelementowe ciągi liczb rzeczywistych. Oktawa jest kombinacją liniową jedynki i 7 jednostek urojonych tworzących bazę standardową przestrzeni: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 i e7. Gdzie e1...e7 podniesione do kwadratu dają −1. Działanie dodawania na oktawach jest równoważne dodawaniu wektorów 8-wymiarowej przestrzeni, natomiast działanie mnożenia definiuje poniższa tabela: Kolejność w mnożeniu to wiersze (ei) – kolumny (ej). Stąd też: dla tu działania oznaczają: * * Obrazek przedstawia metodę mnożenia oktonionów. Porównanie z tabelką u góry może pomóc w jej zrozumieniu i zapamiętaniu. Oktawy stanowią jedyną algebrę skończonego wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych z wykonalnym dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne, ale jest alternatywne (tj. łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów). Oktawy Cayleya zawierają w sobie algebry izomorficzne z: * liczbami rzeczywistymi, * liczbami zespolonymi, * kwaternionami. Z drugiej strony można zanurzyć w następujących algebrach: * sedeniony (pl) А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел.Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами. Впервые рассмотрена в 1843 году , приятелем Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли. Число Кэли — это линейная комбинация элементов .Каждая октава может быть записана в форме: с вещественными коэффициентами . Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн. (ru) Октоніо́н, окта́ва (число Келі) — гіперкомплексне число розмірності вісім. Октоніони були вивчені 1843 року ірландським математиком і, незалежно, через два роки Артуром Келі. На честь останнього октоніони доволі часто називають числами Келі. Можуть бути отримані з кватерніонів за допомогою процедури подвоєння Келі-Діксона. Кожен октоніон x може бути записаним у формі лінійної комбінації базових елементів із дійсними коефіцієнтами: Таблиця множення базових елементів : Алгебра октоніонів (алгебра Келі) є 8-вимірною неасоціативною, некомутативною алгеброю над полем дійсних чисел. Алгебру Келі зазвичай позначають (аналогічно системі раціональних чисел , системі дійсних чисел , системі комплексних чисел та системі кватерніонів ) Кожна з цих алгебр є розширенням попередньої: За теоремою Фробеніуса, алгебра Келі є єдиною 8-вимірною дійсною альтернативною алгеброю без дільників нуля. (uk) 八元数（英語：Octonion）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元数非结合推广的超複數，通常记为O或。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交错代数的特性，並保有冪結合性。 也许是因为八元数的乘法不具備结合性，因此它们作為超複數而言受關注的程度較四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和中也有应用。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Octonion-124-137-156-235-267-346-457.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://nugae.wordpress.com/2007/04/25/on-quaternions-and-octonions/ https://www.ams.org/journals/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01052-9/S0273-0979-05-01052-9.pdf http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/talks_files/octonions.pdf%7Ctitle=Octonions%7Cyear=2008%7Cseries=Pure http://zs.thulb.uni-jena.de/receive/jportal_jparticle_00207304%7Cdoi=10.1080/14786444508645136 https://www.isa-afp.org/entries/Octonions.html |
| dbo:wikiPageID | 51436 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 36408 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1122375800 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Principal_ideal dbr:Projective_plane dbr:Quantum_field_theory dbr:Quantum_logic dbr:Quark dbr:Quaternion dbr:Robotics dbr:Moufang_loop dbr:Algebra_over_a_field dbr:Hodge_star_operator dbr:Vector_(mathematics_and_physics) dbr:E7_(mathematics) dbr:E8_lattice dbr:Index_of_a_subgroup dbr:Number dbr:Lie_group dbr:Commutative dbr:Commutative_property dbr:Commutator dbr:Complex_number dbr:Cross_product dbr:Mathematics dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Simple_group dbr:Quadratic_residue_code dbr:Quantum_information_science dbr:GF(2) dbr:Gamma_matrices dbr:Geometric_algebra dbr:Mnemonic dbr:Modular_arithmetic dbr:Order_(ring_theory) dbr:Leech_lattice dbr:Standard_Model dbr:String_theory dbr:Compact_group dbr:Composition_algebra dbr:Zero_divisor dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Subgroup dbr:Matrix_ring dbr:Automorphism dbr:Cayley–Dickson_construction dbr:William_Rowan_Hamilton dbr:Distributive_property dbr:Division_algebra dbr:G2_(mathematics) dbr:Linear_combination dbr:Linear_span dbr:Linear_subspace dbr:Adolf_Hurwitz dbr:Cyclic_permutation dbr:E6_(mathematics) dbr:E8_(mathematics) dbr:Alternative_algebra dbr:Euclidean_norm dbr:Finite_field dbr:Dimension_(vector_space) dbr:Discrete_mathematics dbr:Fano_plane dbr:Isomorphism dbr:Isotopy_of_an_algebra dbr:John_T._Graves dbr:Seven-dimensional_cross_product dbr:Projective_line dbr:Group_(mathematics) dbr:Hand_eye_calibration_problem dbr:Hilbert_space dbr:Inverse_element dbr:Involution_(mathematics) dbr:Isomorphic dbr:Hypercomplex_number dbr:Simple_Lie_group dbr:Arthur_Cayley dbr:Associative_property dbr:Albert_algebra dbr:Bijection dbc:Composition_algebras dbr:Bivector dbc:Octonions dbr:Blackboard_bold dbr:Split-octonion dbr:Automorphism_group dbr:Spacetime dbr:Special_relativity dbr:Spin(8) dbr:Integer dbr:Kronecker_delta dbr:Associative dbr:Okubo_algebra dbr:Order_(group_theory) dbr:Real_number dbr:Skew-symmetric_matrix dbr:Up_to dbr:Triality dbr:F4_(mathematics) dbr:Linear_transformation dbr:Loop_(algebra) dbr:Octonion_algebra dbr:Supersymmetry dbr:Exceptional_Lie_group dbr:Multiplication_table dbr:Power_associativity dbr:PSL(2,7) dbr:Sedenion dbr:Subalgebra dbr:Self-adjoint dbr:Simply_connected dbr:Normed_division_algebra dbr:Black_hole_entropy dbr:Completely_antisymmetric_tensor dbr:Sporadic_simple_groups dbr:File:FanoPlane.svg dbr:File:Octonion-124-137-156-235-267-346-457.svg dbr:File:Octonion-Fano_Cube.gif |
| dbp:id | p/c021070 (en) |
| dbp:identity | e0 (en) |
| dbp:officialName | Octonions (en) |
| dbp:title | Cayley numbers (en) |
| dbp:type | dbr:Algebra_over_a_field dbr:Hypercomplex_number |
| dbp:units | e0, ..., e7 (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:= dbt:Authority_control dbt:Citation dbt:Cite_journal dbt:Div_col dbt:Div_col_end dbt:Frac dbt:Harvtxt dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:Radic dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Ubl dbt:Su dbt:Infobox_number_system dbt:Number_systems |
| dcterms:subject | dbc:Composition_algebras dbc:Octonions |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatNumbers yago:Abstraction100002137 yago:Amount105107765 yago:Attribute100024264 yago:Magnitude105090441 yago:Number105121418 yago:Property104916342 yago:WikicatHypercomplexNumbers |
| rdfs:comment | أوكتونيون Octonion في الرياضيات هي امتداد كعملية غير تجميعية للكواتيرنيون. أبعادها الثمانية الحقيقية الجبرية في حقل الأعداد الحقيقية هو أوسع حقل بعدي من الممكن الحصول عليه باستخدام . يرمز جبرياً إلى الأوكتونيون بالرمز O أو بالحرف العريض . ربما بسبب أن الأوكتونيون لاتحقق الخاصة التجميعية لعملية الضرب، فإنها تجذب اهتماماً أقل من الكواتيرنيون، ولكن وعلى الرغم من شهرتها الضئيلة هذه فإن الأوكتونيون لها تطبيقات عدة في مجالات نظرية الأوتار، النسبية الخاصة، . (ar) Στα μαθηματικά, τα οκτόνια είναι μέρος της άλγεβρας. Συμβολίζονται με έντονο Ο, ή αλλιώς με το σύμβολο . (el) Die (reellen) Oktaven, auch Oktonionen oder Cayleyzahlen, sind eine Erweiterung der Quaternionen und besitzen das Mengensymbol . Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Quaternionen und bilden einen Alternativkörper. Damit liefern sie als Koordinatenbereich ein Beispiel für eine echte, das heißt nicht-desarguessche Moufang-Ebene in der synthetischen Geometrie. (de) En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non associative des quaternions. Ils forment une algèbre à huit dimensions sur le corps ℝ des nombres réels. L’algèbre des octonions est généralement notée 𝕆. En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, ils gardent leur importance en algèbre et en géométrie, notamment parmi les groupes de Lie. (fr) Oktonion adalah sebuah barisan 8 bilangan riil dan merupakan salah satu dari 4 bilangan dengan bilangan riil, bersama dengan bilangan riil, bilangan kompleks dan kuaternion. Sifat-sifat aritmetis oktonion diterapkan dalam bidang-bidang seperti teori dawai, relativitas khusus dan . Oktonion ditemukan oleh pada tahun 1843, karena inspirasi penemuan kuaternion oleh temannya William Rowan Hamilton. (in) 数学における八元数（はちげんすう、英: octonion; オクトニオン）の全体は実数体上のノルム多元体で、ふつう大文字アルファベットの O を使って、太字の O（あるいは黒板太字の 𝕆）で表される。実数体上のノルム多元体はたった四種類であり、O のほかは、実数の全体 R, 複素数の全体 C, 四元数の全体 H しかない。O はこれらノルム多元体の中で最大のもので、実八次元、これは H の次元の二倍である（O は H を拡大して得られる）。八元数の全体 O における乗法は非可換かつ非結合的だが、弱い形の結合性であるは満足する。 より広く調べられ利用されている四元数や複素数に比べれば、八元数についてはそれほどよく知られているわけではない。にもかかわらず、八元数にはいくつも興味深い性質があり、それに関連して（例外型リー群が持つような）例外的な構造もいくつも備えている。加えて、八元数は弦理論などといった分野に応用を持っている。 八元数は、ハミルトンの四元数の発見に刺激を受けたによって1843年に発見され、グレイヴスはこれを octaves と呼んだ。それとは独立にケイリーも八元数を発見しており、八元数のことをケイリー数、その全体をケイリー代数と呼ぶことがある。 (ja) 팔원수(八元數, 영어: octonion 옥토니언[*]) 또는 케일리 수(영어: Cayley number)는 유일한 8차원 비가환 비결합 노름 이다. (ko) In matematica, gli ottetti (o ottonioni) sono un'estensione non associativa dei quaternioni. L'algebra relativa viene spesso denotata con oppure con O. (it) А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел.Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами. Впервые рассмотрена в 1843 году , приятелем Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли. Число Кэли — это линейная комбинация элементов .Каждая октава может быть записана в форме: с вещественными коэффициентами . Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн. (ru) 八元数（英語：Octonion）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元数非结合推广的超複數，通常记为O或。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交错代数的特性，並保有冪結合性。 也许是因为八元数的乘法不具備结合性，因此它们作為超複數而言受關注的程度較四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和中也有应用。 (zh) Els octonions són l'extensió no associativa dels quaternions. Van ser descoberts per John Thomas Graves el 1843, i independentment per Arthur Cayley, qui ho va publicar per primera vegada el 1845. Són anomenats, de vegades, nombres de Cayley. Els octonions formen una àlgebra 8-dimensional sobre els nombres reals i poden ser compresos com un octet ordenat de nombres reals. Cada octonions forma una combinació lineal de la base: 1, i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i 7 .La forma de multiplicar octonions està donada en la taula següent: (ca) V matematice se pojmem oktoniony označuje neasociativní rozšíření kvaternionů. Tvoří osmidimenzionální algebru nad reálnými čísly, nejstarší známý příklad neasociativního okruhu. Oktoniony tvoří poslední, a tudíž nejobecnější typ tzv. normovaných algeber s dělením (též nazývané Hurwitzovy algebry). Je překvapivé, že existují právě jen čtyři takové algebry: reálná čísla, komplexní čísla, kvaterniony a oktoniony. Principiální rozdíl mezi vektorovými prostory a Hurwitzovými algebrami spočívá právě v operaci dělení: zatímco u vektorů operaci dělení dvou vektorů vůbec nezavádíme (neexistuje), u normovaných algeber s dělením (vzájemně jednoznačná a invertibilní) operace dělení existuje. Hurwitzovy algebry však existují jen ve čtyřech výlučných dimenzích: 1, 2, 4, 8. Dimenze 8 má tedy určité unik (cs) Los octoniones son la extensión no asociativa de los cuaterniones. Fueron descubiertos por John T. Graves en 1843, e independientemente por Arthur Cayley, quien lo publicó por primera vez en 1845. Son llamados, a veces números de Cayley. Los octoniones forman un álgebra 8-dimensional sobre los números reales y pueden ser comprendidos como un octeto ordenado de números reales. Cada octonión forma una combinación lineal de la base: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7.La forma de multiplicar octoniones está dada en la tabla siguiente: (es) Oktonioiak koaternioien orokortze ez elkarkorra da. Oktonioien taldea adierazteko 𝕆 hizkia erabiltzen da. Zenbaki horiek 1843an, eta Arthur Cayleyek, lehenengo aldiz 1845ean argitaratu zuena, bakoitzak bere aldetik aurkitu zituzten. Batzuetan, Cayleyen zenbakiak ere deitzen dituzte. Oktonioiek zenbaki errealen gaineko 8-dimentsional bat osatzen dute eta zenbaki errealen zortzikote ordenatutzat har daitezke. Oktonioi bakoitzak ondoko oinarriaren konbinazio lineala da: 1, i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i 7 . Hau da: Oktonioiak biderkatzeko taula hau erabiltzen da: (eu) In mathematics, the octonions are a normed division algebra over the real numbers, a kind of hypercomplex number system. The octonions are usually represented by the capital letter O, using boldface O or blackboard bold . Octonions have eight dimensions; twice the number of dimensions of the quaternions, of which they are an extension. They are noncommutative and nonassociative, but satisfy a weaker form of associativity; namely, they are alternative. They are also power associative. (en) In de wiskunde zijn de octonionen een niet-associatieve uitbreiding van de quaternionen. Hun 8-dimensionale genormeerde delingsalgebra over de reële getallen is de meest uitgebreide vorm, die men met behulp van de Cayley-Dickson-constructie kan ontwikkelen. De algebra van octonionen wordt vaak aangeduid met O, of in zogenaamd schoolbordvet door . (nl) Oktawy Cayleya, oktoniony (łac. octo – osiem), liczby Cayleya – rozszerzenie kwaternionów stanowiące niełączną algebrę. Zostały równolegle odkryte przez dwóch matematyków: w roku 1843 i Arthura Cayleya w roku 1845. Oktawy są trzecią z kolei po liczbach zespolonych i kwaternionach algebrą powstałą przez zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do liczb rzeczywistych. Kolejność w mnożeniu to wiersze (ei) – kolumny (ej). Stąd też: dla tu działania oznaczają: * * Obrazek przedstawia metodę mnożenia oktonionów. Porównanie z tabelką u góry może pomóc w jej zrozumieniu i zapamiętaniu. * sedeniony (pl) Na matemática, os octoniões (português europeu) ou octônios (português brasileiro) são uma extensão não-associativa dos quaterniões. Sua álgebra da divisão formada de 8 dimensões sobre os números reais é o mais extenso que pode ser obtido da construção de Cayley-Dickson. A álgebra do octoniões é frequentemente denotada como . (pt) Oktonionerna är en icke-associativ utvidgning av kvaternionerna.De upptäcktes av år 1843, och oberoende av Arthur Cayley, som 1845 publicerade det första arbetet om dem. De kallas ibland Cayleytal eller Cayleys algebra. Mängden av oktonioner betecknas 𝕆 eller O. Oktonionerna bildar en 8-dimensionell algebra över de reella talen, och kan därför ses som oktetter av reella tal. Varje oktonion är en reell linjärkombination av enhetsoktonionerna 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 och e7, vars multiplikationstabell ser ut som följer. Oktonionstjärna Sök triangeln där enheterna är i hörn. (sv) Октоніо́н, окта́ва (число Келі) — гіперкомплексне число розмірності вісім. Октоніони були вивчені 1843 року ірландським математиком і, незалежно, через два роки Артуром Келі. На честь останнього октоніони доволі часто називають числами Келі. Можуть бути отримані з кватерніонів за допомогою процедури подвоєння Келі-Діксона. Кожен октоніон x може бути записаним у формі лінійної комбінації базових елементів із дійсними коефіцієнтами: Таблиця множення базових елементів : За теоремою Фробеніуса, алгебра Келі є єдиною 8-вимірною дійсною альтернативною алгеброю без дільників нуля. (uk) |
| rdfs:label | أوكتونيون (ar) Octonió (ca) Oktonion (cs) Oktave (Mathematik) (de) Οκτόνιο (el) Octonión (es) Oktonioi (eu) Oktonion (in) Ottetto (matematica) (it) Octonion (fr) 팔원수 (ko) 八元数 (ja) Octonion (nl) Octonion (en) Oktawy Cayleya (pl) Octonião (pt) Алгебра Кэли (ru) Oktonion (sv) 八元数 (zh) Октоніон (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Octonion yago-res:Octonion http://d-nb.info/gnd/4745179-8 wikidata:Octonion dbpedia-ar:Octonion dbpedia-ca:Octonion dbpedia-cs:Octonion dbpedia-de:Octonion dbpedia-el:Octonion dbpedia-es:Octonion dbpedia-eu:Octonion dbpedia-fa:Octonion dbpedia-fr:Octonion dbpedia-he:Octonion http://ia.dbpedia.org/resource/Octonion dbpedia-id:Octonion dbpedia-it:Octonion dbpedia-ja:Octonion dbpedia-ko:Octonion dbpedia-la:Octonion dbpedia-nl:Octonion dbpedia-no:Octonion dbpedia-pl:Octonion dbpedia-pt:Octonion dbpedia-ro:Octonion dbpedia-ru:Octonion dbpedia-sl:Octonion dbpedia-sv:Octonion dbpedia-th:Octonion dbpedia-uk:Octonion dbpedia-vi:Octonion dbpedia-zh:Octonion https://global.dbpedia.org/id/4uLkG |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Octonion?oldid=1122375800&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/FanoPlane.svg wiki-commons:Special:FilePath/Octonion-124-137-156-235-267-346-457.svg wiki-commons:Special:FilePath/Octonion-Fano_Cube.gif |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Octonion |
| is dbo:knownFor of | dbr:Shahn_Majid |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:𝕆 dbr:Octonians dbr:Octonions dbr:Octernion dbr:Octonian dbr:Octonion_multiplication dbr:Cayley_number dbr:Cayley_numbers dbr:Dixon_algebra dbr:Integral_octonion |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Projective_plane dbr:Quaternion dbr:Moufang_loop dbr:Moufang_plane dbr:Algebra_over_a_field dbr:Almost_complex_manifold dbr:Homotopy_groups_of_spheres dbr:Hopf_fibration dbr:Hurwitz's_theorem_(composition_algebras) dbr:Hurwitz_problem dbr:Jordan_algebra dbr:List_of_mathematical_symbols_by_subject dbr:List_of_numbers dbr:Vector_space dbr:Degen's_eight-square_identity dbr:𝕆 dbr:E7_(mathematics) dbr:E8_lattice dbr:Number dbr:Complex_number dbr:Complexification dbr:Cross_product dbr:Ruth_Moufang dbr:Norm_(mathematics) dbr:Octave_(disambiguation) dbr:1843_in_science dbr:Clifford_algebra dbr:Glossary_of_mathematical_symbols dbr:Grand_Unified_Theory dbr:N-sphere dbr:Thomas_Kirkman dbr:Octonians dbr:Octonions dbr:Leech_lattice dbr:Ludwig_Schläfli dbr:Sign_(mathematics) dbr:Complex_manifold dbr:Composition_algebra dbr:Freudenthal_magic_square dbr:Quaternion-Kähler_symmetric_space dbr:Symmetric_space dbr:Cayley–Dickson_construction dbr:Tuple dbr:Distributive_property dbr:Dual_quaternion dbr:G2_(mathematics) dbr:3-sphere dbr:4 dbr:8 dbr:4_21_polytope dbr:E6_(mathematics) dbr:E8_(mathematics) dbr:Alternative_algebra dbr:Field_(mathematics) dbr:Non-associative_algebra dbr:Carl_Ferdinand_Degen dbr:Cayley_plane dbr:Fano_plane dbr:History_of_quaternions dbr:Isotopy_of_an_algebra dbr:John_T._Graves dbr:Jordan_operator_algebra dbr:Seven-dimensional_cross_product dbr:H-space dbr:Interval_arithmetic dbr:Tekin_Dereli dbr:Hypercomplex_number dbr:Simple_Lie_group dbr:Smooth_projective_plane dbr:Arthur_Cayley dbr:Associative_property dbr:Abstract_algebra dbr:John_Horton_Conway dbr:Bioctonion dbr:Blackboard_bold dbr:Symmetric_cone dbr:Cohl_Furey dbr:Eilenberg–Niven_theorem dbr:Split-octonion dbr:Dimension dbr:Division_(mathematics) dbr:Division_ring dbr:Square_(algebra) dbr:Classical_Hamiltonian_quaternions dbr:Shahn_Majid dbr:Euclidean_geometry dbr:F4_(mathematics) dbr:Imaginary_number dbr:List_of_things_named_after_Arthur_Cayley dbr:List_of_transitive_finite_linear_groups dbr:List_of_types_of_functions dbr:List_of_types_of_numbers dbr:Octonion_algebra dbr:Examples_of_vector_spaces dbr:Multiplication_table dbr:Power_associativity dbr:Parallelizable_manifold dbr:Seven-dimensional_space dbr:Sedenion dbr:Why_Beauty_Is_Truth dbr:The_Geometry_of_the_Octonions dbr:Topological_geometry dbr:Octernion dbr:Octonian dbr:Octonion_multiplication dbr:Cayley_number dbr:Cayley_numbers dbr:Dixon_algebra dbr:Integral_octonion |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Octonion |
