Biquaternion (original) (raw)
Die Biquaternionen sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, das von William Kingdon Clifford in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts beschrieben wurde. Vor Clifford hatte Arthur Cayley bereits die Quaternionen mit komplexen Koeffizienten (also die Menge ) als Biquaternionen bezeichnet.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Die Biquaternionen sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, das von William Kingdon Clifford in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts beschrieben wurde. Vor Clifford hatte Arthur Cayley bereits die Quaternionen mit komplexen Koeffizienten (also die Menge ) als Biquaternionen bezeichnet. (de) In abstract algebra, the biquaternions are the numbers w + x i + y j + z k, where w, x, y, and z are complex numbers, or variants thereof, and the elements of {1, i, j, k} multiply as in the quaternion group and commute with their coefficients. There are three types of biquaternions corresponding to complex numbers and the variations thereof: * Biquaternions when the coefficients are complex numbers. * Split-biquaternions when the coefficients are split-complex numbers. * Dual quaternions when the coefficients are dual numbers. This article is about the ordinary biquaternions named by William Rowan Hamilton in 1844 (see Proceedings of the Royal Irish Academy 1844 & 1850 page 388). Some of the more prominent proponents of these biquaternions include Alexander Macfarlane, Arthur W. Conway, Ludwik Silberstein, and Cornelius Lanczos. As developed below, the unit quasi-sphere of the biquaternions provides a representation of the Lorentz group, which is the foundation of special relativity. The algebra of biquaternions can be considered as a tensor product (taken over the reals) where C or is the field of complex numbers and H or is the division algebra of (real) quaternions. In other words, the biquaternions are just the complexification of the quaternions. Viewed as a complex algebra, the biquaternions are isomorphic to the algebra of 2 × 2 complex matrices M2(C). They are also isomorphic to several Clifford algebras including H(C) = Cℓ03(C) = Cℓ2(C) = Cℓ1,2(R), the Pauli algebra Cℓ3,0(R), and the even part Cℓ01,3(R) = Cℓ03,1(R) of the spacetime algebra. (en) Bikuaternion (atau kuaternion ganda) adalah bilangan hiperkompleks dan merupakan suatu kuaternion di mana variabelnya w, x, y, dan z adalah bilangan kompleks. Perkalian elemen dasar bikuaternion {i, i, j, k} sama dengan perkalian elemen dasar kuaternion berbilangan cacah (bilangan riil). Karena ada terdapat 3 jenis bilangan kompleks, maka begitu pula dengan bikuaternion, yaitu: * Bikuaternion dengan bilangan kompleks biasa * Bikuaternion hiperbolik dengan bilangan kompleks hiperbolik (split-complex biquaternion) * Bikuaternion rangkap dengan bilangan rangkap (dual quaternion). Sesuai dengan aturan aljabar abstrak, ketiga-tiga jenis bikuaternion ini memiliki definisi aritmetis yang sama, dan hanya definisi aritmetis variabelnya yang berbeda. (in) En mathématiques, un biquaternion (ou quaternion complexe) est un élément de l'algèbre des quaternions sur les nombres complexes. Le concept d'un biquaternion fut mentionné la première fois par William Rowan Hamilton au XIXe siècle.William Kingdon Clifford utilisa le même nom à propos d'une algèbre différente. Article détaillé : biquaternion de Clifford. Il y a aussi une autre notion de biquaternions, distincte : une algèbre de biquaternions sur un corps commutatif K est une algèbre qui est isomorphe au produit tensoriel de deux algèbres de quaternions sur K (sa dimension est 16 sur K, et non pas 8 sur R). (fr) Bikwaterniony – liczby postaci gdzie współczynniki wszystkie należą do jednej z opisanych niżej „struktur quasi-zespolonych”, zaś elementy tworzą grupę kwaternionów ze względu na mnożenie, a zarazem są przemienne ze współczynnikami (dokonawszy odpowiednich utożsamień element zwykle pomija się w zapisie). Ze względu na rodzaj liczb pełniących rolę współczynników wyróżnia się: * bikwaterniony (klasyczne, zwykłe), w przypadku liczb zespolonych, * , w przypadku liczb podwójnych, * , w przypadku liczb dualnych. William Rowan Hamilton, który opisał je jako pierwszy (1844), nazywał je biwektorami, ale znane są też pod nazwą kwaternionów zespolonych, co wynika z wprost z ich konstrukcji: można je uważać za kwaterniony, w których współczynniki są nie liczbami rzeczywistymi, a zespolonymi. Wraz z działaniami dodawania po współrzędnych oraz mnożenia zgodnego z grupą kwaternionów zbiór bikwatenionów tworzy czterowymiarową algebrę nad ciałem liczb zespolonych. Jest ona łączna, ale nie przemienna; ponadto każdy bikwaternion jest albo dzielnikiem jedynki (jednością), albo dzielnikiem zera. Z punktu widzenia algebry abstrakcyjnej są one kwaternionów, czyli liczb zespolonych i kwaternionów (odpowiednio jako algebry nad sobą jako ciałem i algebry z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi). Bikwaterniony wykorzystuje się podczas rozwiązywania równań Maxwella. jednostkowa bikwaternionów umożliwia reprezentację grupy Lorentza leżącej u podstaw szczególnej teorii względności. (pl) Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов. (ru) 抽象代數中，複四元數（英語：Biquaternion）為一數值w + x i + y j + z k，其中w、x、y、z為複數，而{1, i, j, k}等元素的乘積方式同四元群。其與相對論中的勞侖茲群有關。 (zh) Бікватерніони — комплексифікація (розширення) звичайних (дійсних) кватерніонів. (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://books.google.com/books%3Fid=fIRAAAAAIAAJ https://www.jstor.org/stable/2369176 https://zenodo.org/record/1430762 |
| dbo:wikiPageID | 1207070 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageInterLanguageLink | dbpedia-de:Biquaternion |
| dbo:wikiPageLength | 21793 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124902126 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:American_Journal_of_Mathematics dbr:Proceedings_of_the_Royal_Irish_Academy dbr:Projective_representation dbr:Quantum_mechanics dbr:Quasi-sphere dbr:Quaternion dbr:Quaternions_and_spatial_rotation dbr:One-parameter_group dbr:Euclidean_metric dbr:Europhysics_Letters dbr:Basis_(linear_algebra) dbr:Algebra_over_a_field dbr:Hyperbolic_angle dbr:Hyperboloid dbr:Pauli_matrices dbr:Representation_theory_of_the_Lorentz_group dbr:Ring_isomorphism dbr:Charles_Jasper_Joly dbr:Unit_(ring_theory) dbr:University_of_Dublin dbr:Velocity dbr:Velocity_of_light dbr:Versor dbr:Adrian_Albert dbr:Lie_group dbr:Lie_theory dbr:Quotient_ring dbr:Quaternions dbc:Articles_containing_proofs dbc:Ring_theory dbr:Commutative dbr:Commutativity dbr:Commutator dbr:Complex_number dbr:Complexification dbr:Coquaternion dbr:Cornelius_Lanczos dbr:SO(3) dbr:Normal_subgroup dbr:Quotient_group dbr:Clifford_algebra dbr:Minkowski_space dbr:Lie_algebra dbr:Linear_algebra dbr:Lorentz_boost dbr:Lorentz_group dbr:Lorentz_transformation dbr:Magma_(algebra) dbr:Majorana_spinor dbr:Six-dimensional_space dbr:Standard_model dbr:Closure_(mathematics) dbr:Composition_algebra dbr:Zero_divisor dbr:Élie_Cartan dbr:Identity_matrix dbr:Mathematical_structure dbr:Subgroup dbr:Mathematical_physics dbr:Matrix_ring dbr:Cayley–Dickson_construction dbr:Topological_group dbr:Topology dbr:William_Edwin_Hamilton dbr:William_Rowan_Hamilton dbr:Division_algebra dbr:Dual_quaternion dbr:Linear_subspace dbr:Alexander_Macfarlane dbc:Quaternions dbr:Dual_numbers dbr:Field_(mathematics) dbr:Four-dimensional_space dbr:Four-vector dbr:Frame_of_reference dbr:Dirac_spinor dbr:Isomorphism dbr:Complex_conjugation dbr:Electromagnetic_field_tensor dbr:Quaternion_group dbr:Ring_(mathematics) dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Hyperbolic_quaternion dbr:Hyperboloid_model dbr:Hypercomplex_number dbc:Special_relativity dbr:Abstract_algebra dbr:Advances_in_Applied_Clifford_Algebras dbr:Joachim_Lambek dbr:Bicomplex_number dbc:Composition_algebras dbr:Biquaternion_algebra dbr:Bivector_(complex) dbc:William_Rowan_Hamilton dbr:Tensor_product_of_algebras dbr:Split-biquaternion dbr:Dihedral_group dbr:Dimension dbr:Arthur_Buchheim dbr:Arthur_W._Conway dbr:Special_relativity dbr:Spinor dbr:Split-complex_number dbr:Group_representation dbr:Tessarine dbr:Imaginary_unit dbr:Associative dbr:Rapidity dbr:Wolfgang_Pauli dbr:Lorentz_scalar dbr:Special_linear_group dbr:Jstor dbr:European_Journal_of_Physics dbr:Exponential_map_(Lie_theory) dbr:Ludwik_Silberstein dbr:Philosophical_Magazine dbr:Quaternion_algebra dbr:Unit_hyperbola dbr:SL(2,C) dbr:Spacetime_algebra dbr:Subalgebra dbr:Matrix_product dbr:Transformation_group dbr:Longmans,_Green_&_Co. dbr:Pauli_algebra dbr:Weyl_spinor |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:ISBN dbt:Math dbt:Mvar dbt:Reflist dbt:Rp dbt:Section_link dbt:See dbt:Short_description dbt:Wikibooks dbt:Relativity dbt:Number_systems |
| dcterms:subject | dbc:Articles_containing_proofs dbc:Ring_theory dbc:Quaternions dbc:Special_relativity dbc:Composition_algebras dbc:William_Rowan_Hamilton |
| gold:hypernym | dbr:+ |
| rdf:type | dbo:MeanOfTransportation yago:WikicatNumbers yago:Abstraction100002137 yago:Amount105107765 yago:Attribute100024264 yago:DefiniteQuantity113576101 yago:Digit113741022 yago:Four113744304 yago:Integer113728499 yago:Magnitude105090441 yago:Measure100033615 yago:Number105121418 yago:Number113582013 yago:Property104916342 yago:WikicatHypercomplexNumbers yago:WikicatQuaternions |
| rdfs:comment | Die Biquaternionen sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, das von William Kingdon Clifford in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts beschrieben wurde. Vor Clifford hatte Arthur Cayley bereits die Quaternionen mit komplexen Koeffizienten (also die Menge ) als Biquaternionen bezeichnet. (de) Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов. (ru) 抽象代數中，複四元數（英語：Biquaternion）為一數值w + x i + y j + z k，其中w、x、y、z為複數，而{1, i, j, k}等元素的乘積方式同四元群。其與相對論中的勞侖茲群有關。 (zh) Бікватерніони — комплексифікація (розширення) звичайних (дійсних) кватерніонів. (uk) In abstract algebra, the biquaternions are the numbers w + x i + y j + z k, where w, x, y, and z are complex numbers, or variants thereof, and the elements of {1, i, j, k} multiply as in the quaternion group and commute with their coefficients. There are three types of biquaternions corresponding to complex numbers and the variations thereof: * Biquaternions when the coefficients are complex numbers. * Split-biquaternions when the coefficients are split-complex numbers. * Dual quaternions when the coefficients are dual numbers. (en) Bikuaternion (atau kuaternion ganda) adalah bilangan hiperkompleks dan merupakan suatu kuaternion di mana variabelnya w, x, y, dan z adalah bilangan kompleks. Perkalian elemen dasar bikuaternion {i, i, j, k} sama dengan perkalian elemen dasar kuaternion berbilangan cacah (bilangan riil). Karena ada terdapat 3 jenis bilangan kompleks, maka begitu pula dengan bikuaternion, yaitu: * Bikuaternion dengan bilangan kompleks biasa * Bikuaternion hiperbolik dengan bilangan kompleks hiperbolik (split-complex biquaternion) * Bikuaternion rangkap dengan bilangan rangkap (dual quaternion). (in) En mathématiques, un biquaternion (ou quaternion complexe) est un élément de l'algèbre des quaternions sur les nombres complexes. Le concept d'un biquaternion fut mentionné la première fois par William Rowan Hamilton au XIXe siècle.William Kingdon Clifford utilisa le même nom à propos d'une algèbre différente. Article détaillé : biquaternion de Clifford. (fr) Bikwaterniony – liczby postaci gdzie współczynniki wszystkie należą do jednej z opisanych niżej „struktur quasi-zespolonych”, zaś elementy tworzą grupę kwaternionów ze względu na mnożenie, a zarazem są przemienne ze współczynnikami (dokonawszy odpowiednich utożsamień element zwykle pomija się w zapisie). Ze względu na rodzaj liczb pełniących rolę współczynników wyróżnia się: * bikwaterniony (klasyczne, zwykłe), w przypadku liczb zespolonych, * , w przypadku liczb podwójnych, * , w przypadku liczb dualnych. (pl) |
| rdfs:label | Biquaternion (de) Biquaternion (en) Bikuaternion (in) Biquaternion (fr) Bikwaterniony (pl) Бикватернион (ru) 複四元數 (zh) Бікватерніони (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Biquaternion dbpedia-de:Biquaternion yago-res:Biquaternion wikidata:Biquaternion dbpedia-fr:Biquaternion dbpedia-id:Biquaternion dbpedia-la:Biquaternion dbpedia-pl:Biquaternion dbpedia-ru:Biquaternion dbpedia-sl:Biquaternion dbpedia-tr:Biquaternion dbpedia-uk:Biquaternion dbpedia-zh:Biquaternion https://global.dbpedia.org/id/2SGAR |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Biquaternion?oldid=1124902126&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Biquaternion |
| is dbo:knownFor of | dbr:William_Rowan_Hamilton |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Biquaternions dbr:Complex_quaternion dbr:Complexified_quaternion |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quaternion dbr:Quaternions_and_spatial_rotation dbr:Motion_(geometry) dbr:Projective_line_over_a_ring dbr:Biquaternions dbr:Homersham_Cox_(mathematician) dbr:Homography dbr:Hyperboloid dbr:Velocity-addition_formula dbr:Versor dbr:Index_of_physics_articles_(B) dbr:List_of_important_publications_in_physics dbr:List_of_mathematical_topics_in_relativity dbr:Null_vector dbr:Quotient_ring dbr:Complexification dbr:Corrado_Segre dbr:Clifford_algebra dbr:Conformal_group dbr:Nilpotent dbr:Lorentz_group dbr:Composition_algebra dbr:Moore–Penrose_inverse dbr:William_Kingdon_Clifford dbr:William_Rowan_Hamilton dbr:Dual_quaternion dbr:Quaternion_Society dbr:Alexander_Macfarlane dbr:Eduard_Study dbr:History_of_mathematical_notation dbr:History_of_quaternions dbr:List_of_Greek_and_Latin_roots_in_English/Q dbr:Quaternion_group dbr:Ring_theory dbr:History_of_Lorentz_transformations dbr:Hyperbolic_quaternion dbr:Hypercomplex_number dbr:Abstract_algebra dbr:Joachim_Lambek dbr:Bioctonion dbr:Biquaternion_algebra dbr:Bivector dbr:Bivector_(complex) dbr:Eight-dimensional_space dbr:Vector_algebra dbr:Split-biquaternion dbr:Arthur_Buchheim dbr:Arthur_W._Conway dbr:Spinors_in_three_dimensions dbr:Ludwik_Silberstein dbr:Special_conformal_transformation dbr:Quaternion_algebra dbr:Sedenion dbr:Complex_quaternion dbr:Complexified_quaternion |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Biquaternion |