Cycle index (original) (raw)
Der Zyklenzeiger, auch Zyklenindikator genannt, wird in der Mathematik als Hilfsmittel eingesetzt, wenn bei der Bestimmungen komplexerer Anzahlen in der Kombinatorik Symmetrien berücksichtigt werden können. Konkret ist der Zyklenzeiger ein Polynom, welches Informationen über die Struktur einer passenden Gruppe abstrahiert. Die bekannteste Anwendung ist der Satz von Pólya, welcher das Abzählen komplexerer Äquivalenzklassen von Objekten ermöglicht, etwa die Anzahl aller echt unterschiedlichen Moleküle einer Familie in der Chemie oder die der Bäume in der Graphentheorie.
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| dbo:abstract | Der Zyklenzeiger, auch Zyklenindikator genannt, wird in der Mathematik als Hilfsmittel eingesetzt, wenn bei der Bestimmungen komplexerer Anzahlen in der Kombinatorik Symmetrien berücksichtigt werden können. Konkret ist der Zyklenzeiger ein Polynom, welches Informationen über die Struktur einer passenden Gruppe abstrahiert. Die bekannteste Anwendung ist der Satz von Pólya, welcher das Abzählen komplexerer Äquivalenzklassen von Objekten ermöglicht, etwa die Anzahl aller echt unterschiedlichen Moleküle einer Familie in der Chemie oder die der Bäume in der Graphentheorie. (de) In combinatorial mathematics a cycle index is a polynomial in several variables which is structured in such a way that information about how a group of permutations acts on a set can be simply read off from the coefficients and exponents. This compact way of storing information in an algebraic form is frequently used in combinatorial enumeration. Each permutation π of a finite set of objects partitions that set into cycles; the cycle index monomial of π is a monomial in variables a1, a2, … that describes the cycle type of this partition: the exponent of ai is the number of cycles of π of size i. The cycle index polynomial of a permutation group is the average of the cycle index monomials of its elements. The phrase cycle indicator is also sometimes used in place of cycle index. Knowing the cycle index polynomial of a permutation group, one can enumerate equivalence classes due to the group's action. This is the main ingredient in the Pólya enumeration theorem. Performing formal algebraic and differential operations on these polynomials and then interpreting the results combinatorially lies at the core of species theory. (en) En combinatoire, un indicateur de cycles est un polynôme en plusieurs variables qui porte certaines informations sur l'action d'un groupe de permutations. Cette manière algébrique et condensée de stocker des informations est souvent utilisée dans des problèmes de dénombrement. Toute permutation π d'un ensemble fini partitionne cet ensemble en cycles ; le monôme indicateur de cycles de π est un produit de puissances des variables a1, a2, … qui décrit le « type » de cette partition, ou « type de cycles » de π : l'exposant de ai est le nombre de cycles de π de longueur i. Le polynôme indicateur de cycles d'un groupe de permutations est la moyenne des monômes indicateurs de cycles des éléments de ce groupe. Ce polynôme permet de compter les orbites de l'action du groupe. Il est l'ingrédient principal du théorème de dénombrement de Pólya. Effectuer sur ces polynômes des opérations algébriques formelles et des opérations de différentiation, puis les interpréter combinatoirement, est au cœur de la (en). (fr) 군론과 조합론에서 순환 지표(循環指標, 영어: cycle index)는 유한 집합 위에 충실하게 작용하는 유한군에 대응되는 다변수 다항식 불변량이다. 군의 작용의 궤도들의 크기와 수에 대한 생성 함수이다. (ko) Inom kombinatorik är cykelindex ett polynom med flera variabler, vilket är strukturerat så att det sätt på vilket en permutationsgrupp verkar på en mängd enkelt kan utläsas från polynomets koefficienter och exponenter. Detta kompakta sätt att uttrycka information på ett algebraiskt sätt används ofta vid uppräkningar. Varje permutation π av en ändlig mängd element delar mängden i en eller flera cykliska partitioner. Cykelindexmonomet till π är ett monom av variablerna x1, x2, … som beskriver partitionens typ (π:s cykeltyp), där koefficienten anger cykelns längd. Exponenten j i anger antalet cykler i π av längden k: exempelvis beskrivs permutationen (1)(28)(37)(46)(5) av monomet , d.v.s. att permutationen består av två fixpunkter (partitioner om ett element, vilket avbildas på sig själv) och tre cykliska partitioner om två element. Cykelindexpolynomet för en permutationsgrupp är lika med det aritmetiska medelvärdet av cykelindexmonomen för dess element (d.v.s. för de permutationer som ingår i gruppen). Om man känner cykelindexpolynomet för en permutationsgrupp kan man räkna upp (enumerera) ekvivalensklasserna som följer av gruppens verkan på mängden. Detta är huvudinnebörden av . (sv) |
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