Density (polytope) (original) (raw)
기하학에서, 다포체의 밀도는 다포체, 특히 나 정다포체의 중심을 둘러싸는 수를 나타낸다. 이것은 중심에서 무한으로 뻗어나가는 반직선에 교차하는 이나 면의 최소 개수를 세서 시각적으로 결정할 수 있다.다포체의 어떤 facet도 연속인 내부 영역을 지나지 않는 경우에, 밀도는 상수이다. 자기교차하지 않는 (acoptic) 다포체에 대해서, 밀도는 1이다. 겹치는 면을 가지는 테셀레이션은 유사하게 밀도를 주어진 점을 덮는 면의 수로 정의할 수 있다.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In geometry, the density of a star polyhedron is a generalization of the concept of winding number from two dimensions to higher dimensions,representing the number of windings of the polyhedron around the center of symmetry of the polyhedron. It can be determined by passing a ray from the center to infinity, passing only through the facets of the polytope and not through any lower dimensional features, and counting how many facets it passes through. For polyhedra for which this count does not depend on the choice of the ray, and for which the central point is not itself on any facet, the density is given by this count of crossed facets. The same calculation can be performed for any convex polyhedron, even one without symmetries, by choosing any point interior to the polyhedron as its center. For these polyhedra, the density will be 1.More generally, for any non-self-intersecting (acoptic) polyhedron, the density can be computed as 1 by a similar calculation that chooses a ray from an interior point that only passes through facets of the polyhedron, adds one when this ray passes from the interior to the exterior of the polyhedron, and subtracts one when this ray passes from the exterior to the interior of the polyhedron. However, this assignment of signs to crossings does not generally apply to star polyhedra, as they do not have a well-defined interior and exterior. Tessellations with overlapping faces can similarly define density as the number of coverings of faces over any given point. (en) En geometría, la densidad de un politopo representa el número de veces que un politopo (particularmente un politopo regular) envuelve a su centro. La densidad es el equivalente al índice de la "curva" frontera del polígono. Puede ser visualmente determinado contando el número mínimo de caras o aristas que cruza un rayo trazado desde el centro de la figura al infinito. La densidad es constante a través de cualquier región interior continua de un politopo y que no cruce ninguna de sus caras. Para un politopo sin cruces ("acóptico") la densidad es 1 en todo su interior. Teselados con caras superpuestas pueden definir de modo parecido su densidad como el número de caras de cobertura sobre cualquier punto dado. (es) 기하학에서, 다포체의 밀도는 다포체, 특히 나 정다포체의 중심을 둘러싸는 수를 나타낸다. 이것은 중심에서 무한으로 뻗어나가는 반직선에 교차하는 이나 면의 최소 개수를 세서 시각적으로 결정할 수 있다.다포체의 어떤 facet도 연속인 내부 영역을 지나지 않는 경우에, 밀도는 상수이다. 자기교차하지 않는 (acoptic) 다포체에 대해서, 밀도는 1이다. 겹치는 면을 가지는 테셀레이션은 유사하게 밀도를 주어진 점을 덮는 면의 수로 정의할 수 있다. (ko) In geometria, la densità di un è una generalizzazione in un numero maggiore di dimensioni del concetto di indice di avvolgimento in due dimensioni, e rappresenta il numero di avvolgimenti del poliedro attorno al proprio centro di simmetria. Essa può essere determinata tracciando una semiretta che vada da tale centro all'infinito, che passi solo attraverso le facet del politopo (che nel caso di un poliedro, ossia di un politopo tridimensionale, sono le facce) e non attraverso altri elementi di dimensione inferiore, e contando quindi quante ne attraversa. Per i poliedri per i quali quest'ultima quantità non dipende dalla scelta della semiretta e per i quali il centro di simmetria non giace su alcuna faccia, la densità è data dunque dal conteggio delle facce intersecate dalla semiretta. Lo stesso procedimento può essere svolto per qualunque poliedro convesso, anche privo di una qualunque simmetria, scegliendo come centro un punto al suo interno. Per tali poliedri la densità sarà sempre 1. Più in generale, per ogni poliedro non autointersecante, si può verificare che il valore della densità è pari a 1 attraverso un procedimento simile al precedente che consiste nello scegliere una semiretta che parte da un punto interno del poliedro e passa solo attraverso sue facce, e nell'aggiungere o sottrarre 1 ogni volta che la semiretta passa rispettivamente dall'interno all'esterno del poliedro o viceversa. Va notato che quest'ultimo procedimento non può in generale essere applicato ai poliedri stellati, poiché questi ultimi non hanno sempre un interno e un esterno ben definiti. La densità può essere similarmente definita nel caso delle tassellazioni con facce sovrapposte, come il numero di tasselli sovrapposti per ogni dato punto. (it) |
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