Dual number (original) (raw)
Duální čísla jsou dvourozměrná komutativní algebra nad reálnými čísly, která je odlišná od komplexních čísel. Duální číslo má tvar , kde a jsou reálná čísla. Nově zavedený prvek splňuje , jde tedy o nilpotentní prvek. Motivací je představa, že je tak malé číslo, že jeho čtverec je již zanedbatelný. Duální čísla se používají například v mechanice nebo ve strojovém učení.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Duální čísla jsou dvourozměrná komutativní algebra nad reálnými čísly, která je odlišná od komplexních čísel. Duální číslo má tvar , kde a jsou reálná čísla. Nově zavedený prvek splňuje , jde tedy o nilpotentní prvek. Motivací je představa, že je tak malé číslo, že jeho čtverec je již zanedbatelný. Duální čísla se používají například v mechanice nebo ve strojovém učení. (cs) Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie ist der Ring der dualen Zahlen über einem Körper ein algebraisches Objekt, das eng mit dem Begriff des Tangentialvektors zusammenhängt. Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra. (de) In algebra, the dual numbers are a hypercomplex number system first introduced in the 19th century. They are expressions of the form a + bε, where a and b are real numbers, and ε is a symbol taken to satisfy with . Dual numbers can be added component-wise, and multiplied by the formula which follows from the property ε2 = 0 and the fact that multiplication is a bilinear operation. The dual numbers form a commutative algebra of dimension two over the reals, and also an Artinian local ring. They are one of the simplest examples of a ring that has nonzero nilpotent elements. (en) En mathématiques et en algèbre abstraite, les nombres duaux sont une algèbre associative unitaire commutative à deux dimensions sur les nombres réels, apparaissant à partir des réels par adjonction d'un nouvel élément ε avec la propriété ε2 = 0 (ε est un élément nilpotent). Ils ont été introduits par William Clifford en 1873. (fr) En álgebra lineal, los números duales extienden los números reales al incorporar un nuevo elemento ε, con la propiedad de que (es decir, ε es nilpotente). Así, la multiplicación de números duales está dada por (y la adición se realiza por componentes). La colección de números duales forma un álgebra asociativa conmutativa y unitaria bidimensional particular sobre los números reales. Cada número dual tiene la forma z = a + bε, donde a y b son números reales determinados de forma única. Los números duales también pueden considerarse como el álgebra exterior de un espacio vectorial unidimensional. El caso general de n dimensiones conduce a los números de Grassmann. El álgebra de los números duales es un anillo que es de carácter local, ya que el ideal principal generado por ε es su único ideal maximal. Los números duales forman los coeficientes de los cuaterniones duales. Al igual que los números complejos y los números complejos hiperbólicos, los números duales forman un álgebra que es bidimensional sobre el campo de los números reales. (es) 数学における二重数（にじゅうすう、英: dual numbers）または双対数（そうついすう）とは、実数 a, b と ε2 = 0（複零性）を満たす ε を用いて z = a + bε と表すことのできる数のことである。 二重数全体は、実数全体に ε2 = 0 を満たす新しい元 ε を添加して得られる。二重数全体からなる集合は、実数体上の二次元のかつ単位的な結合多元環（二元数）の一種になる。二重数全体の成す平面は、交代的複素数平面 (alternative complex plane) と呼ばれ、通常の複素数平面 C と分解型複素数平面とに対して相補的な関係にある。 (ja) In algebra lineare, i numeri duali sono un'estensione dei numeri reali, introdotti nel XIX secolo da William Clifford, ottenuta aggiungendo a essi un elemento caratterizzato dalla proprietà di essere nilpotente, ovvero tale che il suo quadrato è pari a zero. I numeri duali, nonostante non possiedano le proprietà di un campo, costituiscono un insieme con proprietà complementari a quelle dei numeri complessi. Essi trovano diverse applicazioni in fisica, sia nelle teorie classiche, sia in quelle riguardanti la relatività einsteiniana e la fisica delle particelle. (it) 이원수(二元數, 영어: dual number)는 실수에 하나의 멱영원을 추가하여 얻는 가환환이다. 복소수와 마찬가지로 2차원 -대수를 이루지만, 복소수와는 달리 체를 이루지 못한다. (ko) Liczby dualne – wyrażenia postaci gdzie oraz ( jest nilpotentem). Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. z następującymi dwoma działaniami: Para jest elementem neutralnym mnożenia oraz Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera. Dzielniki zera mają tutaj postać bowiem Ponieważ i są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną: gdzie Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych – ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika: Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2: w szczególności (pl) Дуальні числа (комплексні числа параболічного типу) — гіперкомплексні числа виду , де — дійсні числа; — уявна одиниця, така що . Множина всіх дуальних чисел утворює двовимірну комутативну асоціативну алгебру з одиницею над полем дійсних чисел . На відміну від поля комплексних чисел, ця алгебра містить дільники нуля, причому всі вони мають вигляд . Дуальні числа — одна із двовимірних гіперкомплексних систем поряд з комплексними та подвійними числами. (uk) 在線性代數中，二元數（英語：Dual number）是實數的推廣。二元數中有一個「二元數單位」ε，它的平方ε2 = 0（亦即ε是冪零元）。二元數的集合能在實數之上組成一個二維、符合交換律的環結合代數。每一個二元數z都有z=a+bε的特性，其中a和b是實數。 (zh) Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа —гиперкомплексные числа вида , где и — вещественные числа, а — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел . В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид . Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел. Замечание.Иногда дуальные числа называют двойными числами, хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел. (ru) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://people.rit.edu/harkin/research/articles/generalized_complex_numbers.pdf https://archive.org/details/complexnumbersge00yagl_880 https://archive.org/details/complexnumbersge00yagl_880/page/n20 https://ghostarchive.org/archive/20221009/http:/people.rit.edu/harkin/research/articles/generalized_complex_numbers.pdf https://math.stackexchange.com/a/430886 http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx%3Fc=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=03150002 |
| dbo:wikiPageID | 42169 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 17454 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1118180459 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Principal_ideal dbr:Quadratic_equation dbr:Proceedings_of_the_London_Mathematical_Society dbr:Algebra_over_a_field dbc:Differential_algebra dbc:Hypercomplex_numbers dbr:Pencil_(mathematics) dbr:Relation_(mathematics) dbr:Velocity dbr:Indeterminate_(variable) dbr:Quotient_ring dbr:Complex_number dbr:Cornell_University dbr:Corrado_Segre dbr:Mechanics dbr:Smooth_infinitesimal_analysis dbr:Galilean_transformation dbr:Equivalence_class dbr:Laguerre_transformations dbr:Slope dbr:Commutative_ring dbr:Embedding dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Perturbation_theory dbr:Physics dbr:William_Kingdon_Clifford dbr:Line_at_infinity dbr:Algebra dbc:Linear_algebra dbr:Cylinder_(geometry) dbr:Dual-complex_number dbr:Eduard_Study dbr:Equivalence_relation dbr:Exterior_algebra dbr:Nilpotent_element dbr:Parabola dbr:Grassmann_number dbr:Pauli_exclusion_principle dbr:Projection_(mathematics) dbr:Ring_(mathematics) dbr:Hermann_Grassmann dbr:Isaak_Yaglom dbr:Taylor_series dbr:Hypercomplex_number dbr:Riemann_sphere dbc:Commutative_algebra dbr:Absolute_space_and_time dbr:Abstract_algebra dbr:Academic_Press dbr:Translation_(geometry) dbr:Zero_divisors dbr:Division_by_zero dbr:Automatic_differentiation dbr:Polar_decomposition dbr:Polynomial_ring dbr:Square_(algebra) dbr:Fermion dbr:Group_of_units dbr:Infinitesimal dbr:Real_number dbr:Mathematics_Magazine dbr:Screw_theory dbr:Shear_mapping dbr:Skew_lines dbr:Superspace dbr:Exponential_map_(Lie_theory) dbr:Expression_(mathematics) dbr:Point_at_infinity dbr:Event_(relativity) dbr:The_Mathematics_Teacher dbr:Bilinear_operation dbr:Artinian_local_ring dbr:Projective_coordinates dbr:Commutative_algebra_(structure) dbr:Complex_projective_line dbr:Dimension_(linear_algebra) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:= dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Cite_web dbt:For dbt:Math dbt:Mvar dbt:Prime dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:Rp dbt:Sfrac dbt:Short_description dbt:Sup dbt:Infinitesimals dbt:Number_systems |
| dcterms:subject | dbc:Differential_algebra dbc:Hypercomplex_numbers dbc:Linear_algebra dbc:Commutative_algebra |
| rdf:type | yago:Abstraction100002137 yago:Amount105107765 yago:Attribute100024264 yago:Magnitude105090441 yago:Number105121418 yago:Property104916342 yago:WikicatHypercomplexNumbers |
| rdfs:comment | Duální čísla jsou dvourozměrná komutativní algebra nad reálnými čísly, která je odlišná od komplexních čísel. Duální číslo má tvar , kde a jsou reálná čísla. Nově zavedený prvek splňuje , jde tedy o nilpotentní prvek. Motivací je představa, že je tak malé číslo, že jeho čtverec je již zanedbatelný. Duální čísla se používají například v mechanice nebo ve strojovém učení. (cs) Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie ist der Ring der dualen Zahlen über einem Körper ein algebraisches Objekt, das eng mit dem Begriff des Tangentialvektors zusammenhängt. Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra. (de) In algebra, the dual numbers are a hypercomplex number system first introduced in the 19th century. They are expressions of the form a + bε, where a and b are real numbers, and ε is a symbol taken to satisfy with . Dual numbers can be added component-wise, and multiplied by the formula which follows from the property ε2 = 0 and the fact that multiplication is a bilinear operation. The dual numbers form a commutative algebra of dimension two over the reals, and also an Artinian local ring. They are one of the simplest examples of a ring that has nonzero nilpotent elements. (en) En mathématiques et en algèbre abstraite, les nombres duaux sont une algèbre associative unitaire commutative à deux dimensions sur les nombres réels, apparaissant à partir des réels par adjonction d'un nouvel élément ε avec la propriété ε2 = 0 (ε est un élément nilpotent). Ils ont été introduits par William Clifford en 1873. (fr) 数学における二重数（にじゅうすう、英: dual numbers）または双対数（そうついすう）とは、実数 a, b と ε2 = 0（複零性）を満たす ε を用いて z = a + bε と表すことのできる数のことである。 二重数全体は、実数全体に ε2 = 0 を満たす新しい元 ε を添加して得られる。二重数全体からなる集合は、実数体上の二次元のかつ単位的な結合多元環（二元数）の一種になる。二重数全体の成す平面は、交代的複素数平面 (alternative complex plane) と呼ばれ、通常の複素数平面 C と分解型複素数平面とに対して相補的な関係にある。 (ja) In algebra lineare, i numeri duali sono un'estensione dei numeri reali, introdotti nel XIX secolo da William Clifford, ottenuta aggiungendo a essi un elemento caratterizzato dalla proprietà di essere nilpotente, ovvero tale che il suo quadrato è pari a zero. I numeri duali, nonostante non possiedano le proprietà di un campo, costituiscono un insieme con proprietà complementari a quelle dei numeri complessi. Essi trovano diverse applicazioni in fisica, sia nelle teorie classiche, sia in quelle riguardanti la relatività einsteiniana e la fisica delle particelle. (it) 이원수(二元數, 영어: dual number)는 실수에 하나의 멱영원을 추가하여 얻는 가환환이다. 복소수와 마찬가지로 2차원 -대수를 이루지만, 복소수와는 달리 체를 이루지 못한다. (ko) Дуальні числа (комплексні числа параболічного типу) — гіперкомплексні числа виду , де — дійсні числа; — уявна одиниця, така що . Множина всіх дуальних чисел утворює двовимірну комутативну асоціативну алгебру з одиницею над полем дійсних чисел . На відміну від поля комплексних чисел, ця алгебра містить дільники нуля, причому всі вони мають вигляд . Дуальні числа — одна із двовимірних гіперкомплексних систем поряд з комплексними та подвійними числами. (uk) 在線性代數中，二元數（英語：Dual number）是實數的推廣。二元數中有一個「二元數單位」ε，它的平方ε2 = 0（亦即ε是冪零元）。二元數的集合能在實數之上組成一個二維、符合交換律的環結合代數。每一個二元數z都有z=a+bε的特性，其中a和b是實數。 (zh) En álgebra lineal, los números duales extienden los números reales al incorporar un nuevo elemento ε, con la propiedad de que (es decir, ε es nilpotente). Así, la multiplicación de números duales está dada por (y la adición se realiza por componentes). El álgebra de los números duales es un anillo que es de carácter local, ya que el ideal principal generado por ε es su único ideal maximal. Los números duales forman los coeficientes de los cuaterniones duales. (es) Liczby dualne – wyrażenia postaci gdzie oraz ( jest nilpotentem). Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. z następującymi dwoma działaniami: Para jest elementem neutralnym mnożenia oraz Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera. Dzielniki zera mają tutaj postać bowiem Ponieważ i są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną: gdzie Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2: w szczególności (pl) Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа —гиперкомплексные числа вида , где и — вещественные числа, а — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел . В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид . Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел. (ru) |
| rdfs:label | Duální číslo (cs) Duale Zahl (de) Número dual (matemáticas) (es) Dual number (en) Nombre dual (fr) Numero duale (it) 이원수 (수학) (ko) 二重数 (ja) Liczby dualne (pl) Дуальные числа (ru) 二元数 (zh) Дуальні числа (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Dual number yago-res:Dual number wikidata:Dual number dbpedia-cs:Dual number dbpedia-de:Dual number dbpedia-es:Dual number dbpedia-fr:Dual number dbpedia-hu:Dual number dbpedia-is:Dual number dbpedia-it:Dual number dbpedia-ja:Dual number dbpedia-kk:Dual number dbpedia-ko:Dual number dbpedia-pl:Dual number dbpedia-ru:Dual number dbpedia-sl:Dual number dbpedia-uk:Dual number dbpedia-zh:Dual number https://global.dbpedia.org/id/4uR2d |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Dual_number?oldid=1118180459&ns=0 |
| foaf:homepage | http://math.stackexchange.com |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Dual_number |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Dual_numbers dbr:Dual_Numbers dbr:Ring_of_dual_numbers |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Prekmurje_Slovene dbr:Pseudospectral_optimal_control dbr:Projective_line_over_a_ring dbr:Algebra_over_a_field dbr:Applications_of_dual_quaternions_to_2D_geometry dbr:Arabic_nouns_and_adjectives dbr:Hiw_language dbr:Hopi_language dbr:List_of_mathematical_symbols_by_subject dbr:List_of_numbers dbr:Universal_(Esperantido) dbr:Deformation_(mathematics) dbr:Lie_theory dbr:Quotient_ring dbr:*-algebra dbr:Complex_plane dbr:Smooth_infinitesimal_analysis dbr:Subring dbr:SL2(R) dbr:Clifford_algebra dbr:Glossary_of_classical_algebraic_geometry dbr:Mwerlap_language dbr:Mwesen_language dbr:Mwotlap_language dbr:Conformal_group dbr:Epsilon dbr:Laguerre_transformations dbr:Rational_motion dbr:Nilpotent dbr:Lehali_language dbr:Lemerig_language dbr:Length_contraction dbr:Liouville's_theorem_(complex_analysis) dbr:Löyöp_language dbr:Commutative_ring dbr:Unit_sphere dbr:Cayley–Klein_metric dbr:Warembori_language dbr:William_Kingdon_Clifford dbr:Dual_quaternion dbr:Line_coordinates dbr:Linear_fractional_transformation dbr:Lo-Toga_language dbr:Dual_numbers dbr:Duality_(mathematics) dbr:Eduard_Study dbr:Exalcomm dbr:Four-bar_linkage dbr:Non-Euclidean_geometry dbr:Pan-Slavic_language dbr:Panará_language dbr:Differential_(mathematics) dbr:Formally_smooth_map dbr:Grassmann_number dbr:History_of_Lorentz_transformations dbr:History_of_Polish dbr:Isaak_Yaglom dbr:Both dbr:Hypercomplex_number dbr:Hyperreal_number dbr:Ranges dbr:Lakon_language dbr:Eblaite_language dbr:Dorig_language dbr:Polar_decomposition dbr:Split-quaternion dbr:Infinitesimal dbr:Koasati_language dbr:Koro_language_(Vanuatu) dbr:Old_Polish dbr:Olrat_language dbr:Screw_theory dbr:Superspace dbr:Lithuanian_declension dbr:Plotting_algorithms_for_the_Mandelbrot_set dbr:Nume_language dbr:Moshe_Shoham dbr:Motor_variable dbr:Pluractionality dbr:Dual_Numbers dbr:Ring_of_dual_numbers |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Dual_number |