Polar decomposition (original) (raw)
En matemàtiques, i més concretament en àlgebra lineal i anàlisi funcional, la descomposició polar d'una matriu o d'un operador lineal és una factorització anàloga a la forma polar d'un nombre complex no-nul z com on r és el valor absolut de z (un nombre real positiu), i és el signe complex de z.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, i més concretament en àlgebra lineal i anàlisi funcional, la descomposició polar d'una matriu o d'un operador lineal és una factorització anàloga a la forma polar d'un nombre complex no-nul z com on r és el valor absolut de z (un nombre real positiu), i és el signe complex de z. (ca) Polární rozklad je rozklad reálné (respektive komplexní) čtvercové matice na součin symetrické (respektive hermitovské) pozitivně semidefinitní matice a matice ortogonální (respektive unitární). (cs) Polarzerlegung ist ein Begriff aus der linearen Algebra und Funktionalanalysis, beides Teilgebiete der Mathematik. Er bezieht sich auf eine spezielle Zerlegung in ein Produkt von Matrizen mit reellen oder komplexen Einträgen, und in Verallgemeinerung von linearen Operatoren auf einem Hilbert-Raum. Die Polarzerlegung von Matrizen und Operatoren verallgemeinert die Polarzerlegung einer nichtverschwindenden komplexen Zahl in das Produkt ihres Betrags und einer Zahl auf dem komplexen Einheitskreis, mit dem Argument von , also . (de) In mathematics, the polar decomposition of a square real or complex matrix is a factorization of the form , where is a unitary matrix and is a positive semi-definite Hermitian matrix, both square and of the same size. Intuitively, if a real matrix is interpreted as a linear transformation of -dimensional space , the polar decomposition separates it into a rotation or reflection of , and a scaling of the space along a set of orthogonal axes. The polar decomposition of a square matrix always exists. If is invertible, the decomposition is unique, and the factor will be positive-definite. In that case, can be written uniquely in the form , where is unitary and is the unique self-adjoint logarithm of the matrix . This decomposition is useful in computing the fundamental group of (matrix) Lie groups. The polar decomposition can also be defined as where is a symmetric positive-definite matrix with the same eigenvalues as but different eigenvectors. The polar decomposition of a matrix can be seen as the matrix analog of the polar form of a complex number as , where is its absolute value (a non-negative real number), and is a complex number with unit norm (an element of the circle group). The definition may be extended to rectangular matrices by requiring to be a semi-unitary matrix and to be a positive-semidefinite Hermitian matrix. The decomposition always exists and is always unique. The matrix is unique if and only if has full rank. (en) La décomposition polaire est un outil mathématique fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes. (fr) 선형대수학과 함수해석학에서 극분해(極分解, 영어: polar decomposition)는 복소수 정사각 행렬 또는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유계 작용소를, “절댓값”과 “편각”으로 분해하는 과정이다. 여기서, “절댓값” 성분은 항상 음이 아닌 고윳값을 가지는 자기 수반 작용소이며, “편각” 성분은 그 핵의 직교 여공간과 치역 사이의 유니터리 변환을 정의한다. (ko) In matematica, in particolare in algebra lineare e analisi funzionale, la decomposizione polare di una matrice o di un operatore lineare continuo è una fattorizzazione analoga alla forma polare di un numero complesso. (it) Rozkładem biegunowym operatora działającego w przestrzeni Hilberta nazywamy takie przedstawienie operatora dla którego * operator jest operatorem dodatnim * na jądrze operatora * odwzorowuje izometrycznie jądro na przestrzeń prostopadłą do jądra Przedstawienie takie jest jednoznaczne. (pl) Polärfaktorisering är inom linjär algebra en matrisfaktorisering som är analog till polärfaktorseringen av ett komplext tal, , där r är absolutbeloppet av z och är z:s argument. (sv) 在数学中，特别是线性代数和泛函分析裡，一个矩阵或线性算子的极分解是一种类似于复数之极坐标分解的分解方法。一个复数 z 可以用它的模长和辐角表示为： 其中 r 是 z 的模长（因此是一个正实数），而 则为 z 的辐角。 (zh) Квадратна матриця з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці: де — невід'ємноозначені матриці, — унітарна матриця. Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли будуть переставними (що рівнозначно до ). Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці: (uk) Полярное разложение — представление квадратной матрицы в виде произведения эрмитовой и унитарной матриц . Является аналогом разложения любого комплексного числа в виде . (ru) |
| dbo:wikiPageID | 1369241 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 25208 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124143568 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cartesian_plane dbr:Quaternion dbr:Ronald_G._Douglas dbr:Partial_isometry dbr:Semi-orthogonal_matrix dbr:Determinant dbr:Hyperbolic_angle dbr:Unbounded_operator dbr:Versor dbr:Douglas'_lemma dbr:Von_Neumann_algebra dbr:Lie_group dbr:Lie_group_decomposition dbc:Operator_theory dbr:Complex_number dbr:Conjugate_transpose dbr:Mathematics dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Norm_(mathematics) dbr:Continuous_functional_calculus dbr:Nilpotent dbr:Logarithm_of_a_matrix dbr:Singular_matrices dbr:Singular_value_decomposition dbr:Slope dbr:Commuting_matrices dbr:Complex_conjugate dbr:Complex_measure dbr:Functional_calculus dbr:Fundamental_group dbr:Halley's_method dbr:Frobenius_norm dbr:Proceedings_of_the_American_Mathematical_Society dbc:Matrix_theory dbr:3-sphere dbr:Absolute_value dbc:Lie_groups dbr:Dual_number dbr:Normal_matrix dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Matrix_decomposition dbr:QR_decomposition dbr:Ring_(mathematics) dbr:Hermitian_matrix dbr:Hilbert_space dbr:Invertible_matrix dbr:Affiliated_operator dbr:John_B._Conway dbc:Matrix_decompositions dbr:Diagonalizable_matrix dbr:C*-algebra dbr:Positive-definite_matrix dbr:Positive-semidefinite_matrix dbr:Positive_semi-definite_matrix dbr:Split-complex_number dbr:Square_root_of_a_matrix dbr:Circle_group dbr:Cartan_decomposition dbr:Real_number dbr:Shift_operator dbr:Klein_four-group dbr:Heron's_method dbr:Scaling_(geometry) dbr:Unitary_matrix dbr:Induced_norm dbr:Euclidean_distance dbr:Linear_transformation dbr:Unit_hyperbola dbr:Singular-value_decomposition dbr:Rotation_(geometry) dbr:Cartesian_space dbr:Reflection_(geometry) dbr:Bounded_linear_operator |
| dbp:mathStatement | If A, B are bounded operators on a Hilbert space H, and AA ≤ BB, then there exists a contraction C such that A = CB. Furthermore, C is unique if Ker ⊂ Ker. (en) |
| dbp:name | Lemma (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:' dbt:Bulleted_list dbt:Citation dbt:Math dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Sup dbt:Closed-open dbt:Functional_Analysis dbt:Math_theorem dbt:SpectralTheory |
| dct:subject | dbc:Operator_theory dbc:Matrix_theory dbc:Lie_groups dbc:Matrix_decompositions |
| rdf:type | yago:WikicatBilinearForms yago:WikicatLieGroups yago:WikicatMatrices yago:WikicatMatrixDecompositions yago:Abstraction100002137 yago:Algebra106012726 yago:Arrangement107938773 yago:Array107939382 yago:Cognition100023271 yago:Content105809192 yago:Decomposition106013471 yago:Discipline105996646 yago:Form106290637 yago:Group100031264 yago:KnowledgeDomain105999266 yago:LanguageUnit106284225 yago:Mathematics106000644 yago:Matrix108267640 yago:Part113809207 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:PureMathematics106003682 yago:Relation100031921 yago:Word106286395 yago:Science105999797 yago:VectorAlgebra106013298 |
| rdfs:comment | En matemàtiques, i més concretament en àlgebra lineal i anàlisi funcional, la descomposició polar d'una matriu o d'un operador lineal és una factorització anàloga a la forma polar d'un nombre complex no-nul z com on r és el valor absolut de z (un nombre real positiu), i és el signe complex de z. (ca) Polární rozklad je rozklad reálné (respektive komplexní) čtvercové matice na součin symetrické (respektive hermitovské) pozitivně semidefinitní matice a matice ortogonální (respektive unitární). (cs) Polarzerlegung ist ein Begriff aus der linearen Algebra und Funktionalanalysis, beides Teilgebiete der Mathematik. Er bezieht sich auf eine spezielle Zerlegung in ein Produkt von Matrizen mit reellen oder komplexen Einträgen, und in Verallgemeinerung von linearen Operatoren auf einem Hilbert-Raum. Die Polarzerlegung von Matrizen und Operatoren verallgemeinert die Polarzerlegung einer nichtverschwindenden komplexen Zahl in das Produkt ihres Betrags und einer Zahl auf dem komplexen Einheitskreis, mit dem Argument von , also . (de) La décomposition polaire est un outil mathématique fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes. (fr) 선형대수학과 함수해석학에서 극분해(極分解, 영어: polar decomposition)는 복소수 정사각 행렬 또는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유계 작용소를, “절댓값”과 “편각”으로 분해하는 과정이다. 여기서, “절댓값” 성분은 항상 음이 아닌 고윳값을 가지는 자기 수반 작용소이며, “편각” 성분은 그 핵의 직교 여공간과 치역 사이의 유니터리 변환을 정의한다. (ko) In matematica, in particolare in algebra lineare e analisi funzionale, la decomposizione polare di una matrice o di un operatore lineare continuo è una fattorizzazione analoga alla forma polare di un numero complesso. (it) Rozkładem biegunowym operatora działającego w przestrzeni Hilberta nazywamy takie przedstawienie operatora dla którego * operator jest operatorem dodatnim * na jądrze operatora * odwzorowuje izometrycznie jądro na przestrzeń prostopadłą do jądra Przedstawienie takie jest jednoznaczne. (pl) Polärfaktorisering är inom linjär algebra en matrisfaktorisering som är analog till polärfaktorseringen av ett komplext tal, , där r är absolutbeloppet av z och är z:s argument. (sv) 在数学中，特别是线性代数和泛函分析裡，一个矩阵或线性算子的极分解是一种类似于复数之极坐标分解的分解方法。一个复数 z 可以用它的模长和辐角表示为： 其中 r 是 z 的模长（因此是一个正实数），而 则为 z 的辐角。 (zh) Квадратна матриця з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці: де — невід'ємноозначені матриці, — унітарна матриця. Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли будуть переставними (що рівнозначно до ). Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці: (uk) Полярное разложение — представление квадратной матрицы в виде произведения эрмитовой и унитарной матриц . Является аналогом разложения любого комплексного числа в виде . (ru) In mathematics, the polar decomposition of a square real or complex matrix is a factorization of the form , where is a unitary matrix and is a positive semi-definite Hermitian matrix, both square and of the same size. Intuitively, if a real matrix is interpreted as a linear transformation of -dimensional space , the polar decomposition separates it into a rotation or reflection of , and a scaling of the space along a set of orthogonal axes. (en) |
| rdfs:label | Descomposició polar (ca) Polární rozklad (cs) Polarzerlegung (de) Décomposition polaire (fr) Decomposizione polare (it) 극분해 (ko) Polar decomposition (en) Rozkład biegunowy operatora (pl) Полярное разложение (ru) Polärfaktorisering (sv) 极分解 (zh) Полярний розклад матриці (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Polar decomposition yago-res:Polar decomposition wikidata:Polar decomposition dbpedia-ca:Polar decomposition dbpedia-cs:Polar decomposition dbpedia-de:Polar decomposition dbpedia-fr:Polar decomposition dbpedia-he:Polar decomposition dbpedia-it:Polar decomposition dbpedia-ko:Polar decomposition dbpedia-pl:Polar decomposition dbpedia-ru:Polar decomposition dbpedia-sv:Polar decomposition dbpedia-uk:Polar decomposition http://ur.dbpedia.org/resource/مصفوفہ_کی_قطبی_ہئیت dbpedia-zh:Polar decomposition https://global.dbpedia.org/id/zfae |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Polar_decomposition?oldid=1124143568&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Polar_decomposition |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Polar_decomposition_theorem dbr:Polar_factorization dbr:Matrix_polar_decomposition |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quaternion dbr:Rotation_matrix dbr:Partial_isometry dbr:John_von_Neumann dbr:Versor dbr:Invariant_convex_cone dbr:Von_Neumann_algebra dbr:Lie_theory dbr:List_of_numerical_analysis_topics dbr:Spectral_triple dbr:Complexification_(Lie_group) dbr:Symmetric_matrix dbr:Quasinormal_operator dbr:Ellipsoid dbr:Lagrangian_coherent_structure dbr:Oscillator_representation dbr:Sign_function dbr:Singular_value_decomposition dbr:Complex_measure dbr:Subnormal_operator dbr:Zonal_spherical_function dbr:Linear_fractional_transformation dbr:3-sphere dbr:Dual_number dbr:Alternative_stress_measures dbr:Aluthge_transform dbr:Non-Euclidean_geometry dbr:Normal_matrix dbr:Causal_fermion_systems dbr:Central_carrier dbr:Principal_component_analysis dbr:QR_decomposition dbr:Interval_(mathematics) dbr:Hyperbolic_quaternion dbr:Soft-body_dynamics dbr:AW*-algebra dbr:Affiliated_operator dbr:Symmetric_cone dbr:Symplectic_matrix dbr:Hermitian_symmetric_space dbr:Tomita–Takesaki_theory dbr:Trace_class dbr:Bol_loop dbr:Polar_coordinate_system dbr:Split-complex_number dbr:Fidelity_of_quantum_states dbr:Orthogonal_matrix dbr:Cartan_decomposition dbr:Special_linear_group dbr:Schatten_class_operator dbr:Polar_factorization_theorem dbr:Finite_strain_theory dbr:Motor_variable dbr:Unit_hyperbola dbr:Outline_of_linear_algebra dbr:Polar_decomposition_theorem dbr:Polar_factorization dbr:Matrix_polar_decomposition |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Polar_decomposition |