Euclid's theorem (original) (raw)
Eukleidův teorém je základním tvrzením v teorii čísel, že existuje nekonečně mnoho prvočísel. Tvrzení poprvé dokázal řecký matematik Euklidés ve svém díle Eukleidovy Základy na konci 4. století př. n. l. Pro jeho teorém existuje několik důkazů.
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| dbo:abstract | Eukleidův teorém je základním tvrzením v teorii čísel, že existuje nekonečně mnoho prvočísel. Tvrzení poprvé dokázal řecký matematik Euklidés ve svém díle Eukleidovy Základy na konci 4. století př. n. l. Pro jeho teorém existuje několik důkazů. (cs) En aritmètica, el teorema d'Euclides sobre els nombres primers afirma: El teorema rep el seu nom en honor d'Euclides qui va proporcionar la primera demostració escrita que es coneix d'aquest resultat a la proposició 20 del llibre IX dels elements. Hi ha diverses demostracions. (ca) مبرهنة إقليدس (بالإنجليزية: Euclid's theorem) هي مبرهنة أساسية في نظرية الأعداد تنص أنه يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. هناك العديد من البراهين المعروفة لهذه المبرهنة. (ar) El teorema de Euclides es un importante teorema en teoría de números que afirma que existen infinitos números primos. Existen numerosas demostraciones del teorema. (es) Der Satz des Euklid, manchmal auch Satz von Euklid, ist ein Lehrsatz aus der elementaren Zahlentheorie und besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Benannt ist er nach Euklid von Alexandria, der ihn als Erster im dritten Jahrhundert v. Chr. in seinen Elementen bewies. Jedoch kannten die Mathematiker der Antike das Konzept der Unendlichkeit noch nicht. Euklid selbst formulierte den Satz daher wie folgt: „Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.“ Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5 und 7. Der Satz des Euklid besagt, dass die Liste 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… aller Primzahlen nicht endet, genauso wie die Liste 1, 2, 3, 4, 5, 6 … aller natürlichen Zahlen nicht endet. Der ursprüngliche von Euklid geführte Beweis ist direkt und konstruktiv. Zu einer gegebenen endlichen Liste von Primzahlen wird stets eine weitere noch nicht vorhandene Primzahl erzeugt, ohne diese jedoch explizit anzugeben. Vielmehr wird argumentiert, dass jede endliche Liste von Primzahlen unvollständig ist. Daraus wird gefolgert, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. In der späteren Literatur wird oft fälschlicherweise behauptet, dass Euklids Argument anhand eines Widerspruchsbeweises aufgeführt sei. Jedoch lässt sich der Beweis leicht zu einem Widerspruchsbeweis umformulieren. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik können alle natürlichen Zahlen größer als 1 eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden. Der Satz des Euklid ist daher eines der grundlegendsten Resultate der Zahlentheorie, da er zeigt, dass es unendlich viele unzerlegbare Grundbausteine der Zahlen gibt. Im Laufe der Zeit wurden neben Euklids Originalbeweis zahlreiche andere Beweise gefunden, die teilweise mathematische Techniken aus der Analysis, Kombinatorik oder auch der Topologie nutzen. Ab dem 19. Jahrhundert konnten zudem mit den Beweisen des Dirichletschen Primzahlsatzes und des Primzahlsatzes weitreichende Verallgemeinerungen erzielt werden. Während der Satz des Euklid lediglich aussagt, dass die Anzahl der Primzahlen unendlich groß ist, formulieren die modernen Primzahlsätze Regeln, wie häufig Primzahlen in gewissen Bereichen ungefähr anzutreffen sind. Analoge Fragestellungen hinsichtlich der Häufigkeit von Primzahlzwillingen, Mersenne-Primzahlen oder Fermat-Primzahlen verbleiben bis heute unbeantwortet. (de) Euclid's theorem is a fundamental statement in number theory that asserts that there are infinitely many prime numbers. It was first proved by Euclid in his work Elements. There are several proofs of the theorem. (en) Euklidesen teoremak honakoa dio: Honakoa frogatzeko absurdura murriztearen metodoa erabili zuen. Metodo honek frogatu nahi denaren kontrakoa suposatzean datza. Honela frogatu zuen Euklidesek:Demagun azken zenbaki lehen dela. Hori ezinezkoa dela frogatuko dugu. zenbakia sortuko dugu orain. Horretarako, hurrengoa egingo dugu: zenbakia zenbaki lehen guztien biderkadura gehi 1 eginez lortu dugu. Argi dago ezin dela zenbaki lehen batekin ere ez zatitu, hondarra beti 1 izango delako. Hortaz, 1ez eta bere buruaz baino ezin da zatitu, hau da, lehena da. Gainera, baino handiagoa da, beraz ez da zenbaki lehenik handiena eta horrekin frogatzen dugu ezin dela egon zenbaki lehen bat handiena dena eta hortaz, zenbaki lehen infinitu daude. (eu) En arithmétique, le théorème d'Euclide sur les nombres premiers affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers. Ce résultat est énoncé et démontré dans les Éléments d'Euclide, c'est la proposition 20 du livre IX. Il y prend cependant une forme différente : « les nombres premiers sont plus nombreux que n'importe quelle multitude de nombres premiers proposée », plus compatible avec la conception de l'infini de l'auteur. D'autres preuves ont ensuite été proposées, notamment par Euler. Des résultats plus fins ont aussi été démontrés comme le théorème des nombres premiers sur la distribution asymptotique des nombres premiers. (fr) 素数が無数に存在することの証明（そすうがむすうにそんざいすることのしょうめい）は、古くは紀元前3世紀頃のユークリッドの『原論』に記され、その後も多くの証明が与えられている。素数が無数に存在することは、しばしばユークリッドの定理（ユークリッドのていり、英: Euclid's theorem）と呼ばれる。 (ja) Il teorema dell'infinità dei numeri primi afferma che, per quanto grande si scelga un numero naturale n, esiste sempre un numero primo maggiore di n. È stato dimostrato per la prima volta da Euclide nei suoi Elementi (libro IX, proposizione 20), ma ne sono state trovate circa altre cinquanta dimostrazioni, che usano una gran varietà di tecniche diverse: ad esempio Eulero lo ricavò dalla divergenza della serie armonica e dalla possibilità di scrivere ogni numero come prodotto di numeri primi; Christian Goldbach usò i numeri di Fermat, mentre Harry Furstenberg ideò una dimostrazione che sfrutta i metodi della topologia. Alcune di queste dimostrazioni (quella di Euclide, quella di Goldbach e un'altra che usa i numeri di Mersenne) si basano su una strategia simile, ovvero dimostrare che esiste una successione infinita di numeri che sono a due a due coprimi, da cui segue necessariamente l'infinità dei numeri primi. (it) 수론에서 유클리드의 정리(Euclid의定理, 영어: Euclid’s theorem)는 무한한 수의 소수들이 존재한다는 정리이다. (ko) De stelling van Euclides is een wiskundige stelling die luidt: "Er zijn oneindig veel priemgetallen." De stelling is genoemd naar de Griekse wiskundige Euclides, die in zijn werk Elementen in boek IX als propositie 20 de stelling noemt. (nl) O teorema de Euclides é um resultado fundamental estabelecido em teoria de números que garante a existência de uma infinidade de números primos. O conjunto formado pelos números primos é infinito. Existem várias demonstrações bem conhecidas desse teorema. (pt) Euklides sats är en sats i talteorin i vilken visas att antalet primtal är oändligt. Den har fått sitt namn av den grekiske matematikern Euklides, som levde på 300-talet f.Kr. (sv) Теорема Евклида является фундаментальным элементом теории чисел. Она утверждает, что для любого конечного списка простых чисел найдётся простое число, не вошедшее в этот список (то есть существует бесконечно много простых чисел). Имеется несколько известных доказательств этой теоремы. (ru) 欧几里得定理是数论中的基本定理，定理指出素数的个數是无限的。该定理有许多著名的证明。 (zh) |
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