Initial and terminal objects (original) (raw)
Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt. Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt. Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien. (de) En teoría de categorías, una rama abstracta de las matemáticas, un objeto inicial de una categoría C es un objeto I en C tal que para todo objeto X en C existe un único morfismo I → X. La noción dual es la de objeto final es decir, un objeto F es final si para todo objeto X en C existe un único morfismo X → F. Si un objeto es tanto inicial como final, recibe el nombre de objeto cero. (es) In category theory, a branch of mathematics, an initial object of a category C is an object I in C such that for every object X in C, there exists precisely one morphism I → X. The dual notion is that of a terminal object (also called terminal element): T is terminal if for every object X in C there exists exactly one morphism X → T. Initial objects are also called coterminal or universal, and terminal objects are also called final. If an object is both initial and terminal, it is called a zero object or null object. A pointed category is one with a zero object. A strict initial object I is one for which every morphism into I is an isomorphism. (en) En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, un objet initial et un objet final sont des objets qui permettent de définir une propriété universelle. (fr) 범주론에서 시작 대상(始作對象, 영어: initial object)과 끝 대상(-對象, 영어: terminal object)은 매우 단순하여, 이 대상을 정의역 또는 공역으로 하는 사상이 하나밖에 없는 대상이다. (ko) 数学の抽象的な分野である圏論において、圏 𝒞 の始対象（したいしょう、英: initial object, coterminal object）とは、𝒞 の任意の対象 X に対してちょうど一つの射 I → X が存在するような 𝒞 の対象 I のことを指す。圏 𝒞 の終対象（しゅうたいしょう、英: final object, terminal object）とは、始対象の双対概念であり、 𝒞 の任意の対象 X に対してちょうど一つの射 X → T が存在するような 𝒞 の対象 T のことを指す。 始対象でも終対象でもあるような対象は零対象（れいたいしょう、ゼロたいしょう、英: zero object, null object）と呼ばれる。点付き圏 (pointed category) とは零対象を持つ圏を言う。 (ja) Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект категории такой, что для любого объекта существует единственный морфизм . Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект — терминальный, если для любого объекта существует единственный морфизм . Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом. Пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет. В категории синглетоны являются нулевыми объектами, так же, как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой. Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если и — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный. Терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы , то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы (копределы), сохраняет терминальные (начальные) объекты соответственно. (ru) Obiekt początkowy (końcowy) – dla ustalonej kategorii obiekt o tej własności, że dla każdego obiektu tej kategorii istnieje dokładnie jeden morfizm (odpowiednio ). Obiekty początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do (jedynego) izomorfizmu. Obiekt, który jest jednocześnie początkowy i końcowy, nazywany jest obiektem zerowym kategorii (pl) Na teoria das categorias, um objeto inicial de uma categoria é um objeto tal que, para cada objeto , há exatamente um morfismo . Dualmente, um objeto terminal (ou final) de é um objeto tal que, para cada objeto , há exatamente um morfismo . Um objeto zero é um objeto que é simultaneamente inicial e final. Objetos iniciais (se existem na categoria) são únicos a menos de único isomorfismo; mais precisamente, se são ambos iniciais, há únicos morfismos , e pela definição de objeto inicial. Dualmente, objetos terminais são únicos a menos de único isomorfismo. (pt) Початковий об'єкт (відштовхуючий об'єкт, універсальний об'єкт) — в теорії категорій, це такий об'єкт I категорії C, що для кожного об'єкта X в C, існує єдиний морфізм I → X. Термінальний об'єкт (притягуючий об'єкт, фінальний об'єкт) — в теорії категорій, це такий об'єкт T категорії C, що для кожного об'єкта X в C, існує єдиний морфізм X → T. Якщо об'єкт є одночасно і початковим і термінальним, то він називається нульовим об'єктом. (uk) 在数学领域，范畴C的对象I称为始对象（或初始对象），若对任何对象X，从I到X的态射唯一，或者说，C(I,X)为单元素集合。终对象（或终止对象、终结对象）是始对象的。范畴C的对象T称为终对象，若对任何对象X，从X到T的态射唯一。若某对象即是始对象又是终对象，则称其为零对象。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Terminal_and_initial_object.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf http://www.planetmath.org http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html |
| dbo:wikiPageID | 59405 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 10292 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1109907630 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Categories_for_the_Working_Mathematician dbr:Prime_field dbr:Proper_class dbr:Trivial_group dbr:Strict_initial_object dbr:Mathematics dbr:Morphism dbr:Concrete_category dbr:Coproduct dbr:Limit_(category_theory) dbr:Comma_category dbr:Complete_category dbr:Zero_object_(algebra) dbr:Zero_ring dbr:Empty_product dbr:Empty_set dbr:Empty_sum dbc:Objects_(category_theory) dbr:Functor dbr:Spectrum_of_a_ring dbr:Adjoint_functors dbr:Category_of_elements dbr:Category_of_fields dbr:Category_of_sets dbr:Dual_(category_theory) dbr:Greatest_element dbr:Pointed_space dbr:Partially_ordered_set dbr:Diagram_(category_theory) dbr:Discrete_category dbr:Forgetful_functor dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Isomorphism dbr:Rig_(mathematics) dbr:Zero_morphism dbc:Limits_(category_theory) dbr:Final_functor dbr:Free_functor dbr:Free_object dbr:Endomorphism_monoid dbr:If_and_only_if dbr:Indexed_family dbr:Integer dbr:Natural_number dbr:Category_(mathematics) dbr:Category_of_abelian_groups dbr:Category_of_groups dbr:Category_of_modules dbr:Category_of_relations dbr:Category_of_rings dbr:Category_of_small_categories dbr:Category_of_topological_spaces dbr:Category_theory dbr:Scheme_(mathematics) dbr:Singleton_(mathematics) dbr:Category_of_vector_spaces dbr:Category_of_pseudo-rings dbr:Pointed_set dbr:Universal_property dbr:Representable_functor dbr:Universal_morphism dbr:Springer-Verlag dbr:Category_of_cones dbr:Least_element dbr:Left_adjoint dbr:Locally_small_category dbr:File:Terminal_and_initial_object.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:Em dbt:Math dbt:Mvar dbt:Redirect dbt:Short_description dbt:Category_theory dbt:Mset |
| dcterms:subject | dbc:Objects_(category_theory) dbc:Limits_(category_theory) |
| gold:hypernym | dbr:Terminal |
| rdf:type | dbo:Station |
| rdfs:comment | Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt. Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien. (de) En teoría de categorías, una rama abstracta de las matemáticas, un objeto inicial de una categoría C es un objeto I en C tal que para todo objeto X en C existe un único morfismo I → X. La noción dual es la de objeto final es decir, un objeto F es final si para todo objeto X en C existe un único morfismo X → F. Si un objeto es tanto inicial como final, recibe el nombre de objeto cero. (es) En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, un objet initial et un objet final sont des objets qui permettent de définir une propriété universelle. (fr) 범주론에서 시작 대상(始作對象, 영어: initial object)과 끝 대상(-對象, 영어: terminal object)은 매우 단순하여, 이 대상을 정의역 또는 공역으로 하는 사상이 하나밖에 없는 대상이다. (ko) 数学の抽象的な分野である圏論において、圏 𝒞 の始対象（したいしょう、英: initial object, coterminal object）とは、𝒞 の任意の対象 X に対してちょうど一つの射 I → X が存在するような 𝒞 の対象 I のことを指す。圏 𝒞 の終対象（しゅうたいしょう、英: final object, terminal object）とは、始対象の双対概念であり、 𝒞 の任意の対象 X に対してちょうど一つの射 X → T が存在するような 𝒞 の対象 T のことを指す。 始対象でも終対象でもあるような対象は零対象（れいたいしょう、ゼロたいしょう、英: zero object, null object）と呼ばれる。点付き圏 (pointed category) とは零対象を持つ圏を言う。 (ja) Obiekt początkowy (końcowy) – dla ustalonej kategorii obiekt o tej własności, że dla każdego obiektu tej kategorii istnieje dokładnie jeden morfizm (odpowiednio ). Obiekty początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do (jedynego) izomorfizmu. Obiekt, który jest jednocześnie początkowy i końcowy, nazywany jest obiektem zerowym kategorii (pl) Na teoria das categorias, um objeto inicial de uma categoria é um objeto tal que, para cada objeto , há exatamente um morfismo . Dualmente, um objeto terminal (ou final) de é um objeto tal que, para cada objeto , há exatamente um morfismo . Um objeto zero é um objeto que é simultaneamente inicial e final. Objetos iniciais (se existem na categoria) são únicos a menos de único isomorfismo; mais precisamente, se são ambos iniciais, há únicos morfismos , e pela definição de objeto inicial. Dualmente, objetos terminais são únicos a menos de único isomorfismo. (pt) Початковий об'єкт (відштовхуючий об'єкт, універсальний об'єкт) — в теорії категорій, це такий об'єкт I категорії C, що для кожного об'єкта X в C, існує єдиний морфізм I → X. Термінальний об'єкт (притягуючий об'єкт, фінальний об'єкт) — в теорії категорій, це такий об'єкт T категорії C, що для кожного об'єкта X в C, існує єдиний морфізм X → T. Якщо об'єкт є одночасно і початковим і термінальним, то він називається нульовим об'єктом. (uk) 在数学领域，范畴C的对象I称为始对象（或初始对象），若对任何对象X，从I到X的态射唯一，或者说，C(I,X)为单元素集合。终对象（或终止对象、终结对象）是始对象的。范畴C的对象T称为终对象，若对任何对象X，从X到T的态射唯一。若某对象即是始对象又是终对象，则称其为零对象。 (zh) In category theory, a branch of mathematics, an initial object of a category C is an object I in C such that for every object X in C, there exists precisely one morphism I → X. The dual notion is that of a terminal object (also called terminal element): T is terminal if for every object X in C there exists exactly one morphism X → T. Initial objects are also called coterminal or universal, and terminal objects are also called final. If an object is both initial and terminal, it is called a zero object or null object. A pointed category is one with a zero object. (en) Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект категории такой, что для любого объекта существует единственный морфизм . Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект — терминальный, если для любого объекта существует единственный морфизм . Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом. Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если и — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный. (ru) |
| rdfs:label | Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt (de) Objeto inicial, final y cero (es) Initial and terminal objects (en) Objet initial et objet final (fr) 시작 대상과 끝 대상 (ko) 始対象と終対象 (ja) Obiekty początkowy i końcowy (pl) Начальный объект (ru) Objeto inicial (pt) Початковий та термінальний об'єкти (uk) 始对象和终对象 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Initial and terminal objects wikidata:Initial and terminal objects dbpedia-de:Initial and terminal objects dbpedia-es:Initial and terminal objects dbpedia-fr:Initial and terminal objects dbpedia-he:Initial and terminal objects dbpedia-hu:Initial and terminal objects dbpedia-ja:Initial and terminal objects dbpedia-ko:Initial and terminal objects dbpedia-pl:Initial and terminal objects dbpedia-pt:Initial and terminal objects dbpedia-ru:Initial and terminal objects dbpedia-uk:Initial and terminal objects dbpedia-zh:Initial and terminal objects https://global.dbpedia.org/id/4j8UJ |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Initial_and_terminal_objects?oldid=1109907630&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Terminal_and_initial_object.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Initial_and_terminal_objects |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Zero_object dbr:Terminal_object dbr:Terminal_element dbr:Terminal_elements dbr:Terminal_objects dbr:Initial_object dbr:Pointed_category dbr:Terminal_and_initial_objects dbr:Initial_&_terminal_objects dbr:Universal_object dbr:Final_object dbr:Final_objects dbr:Coterminal dbr:Coterminal_angle dbr:Coterminal_object dbr:Coterminal_objects dbr:Initial_and_terminal_object dbr:Initial_objects dbr:Zero-object dbr:Zero_objects |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics dbr:0 dbr:Zero_element dbr:Graph_homomorphism dbr:Corecursion dbr:Zero_object dbr:Symmetric_product_(topology) dbr:Topological_data_analysis dbr:A¹_homotopy_theory dbr:Additive_category dbr:List_object dbr:Diagonal_functor dbr:Terminal_object dbr:Homological_algebra dbr:Topos dbr:Triviality_(mathematics) dbr:Final_functor dbr:Greatest_element_and_least_element dbr:Terminal_element dbr:Terminal_elements dbr:Terminal_objects dbr:Initial_object dbr:Cartesian_monoidal_category dbr:Category_of_small_categories dbr:F-algebra dbr:Category_0 dbr:Trivial_semigroup dbr:Pointed_category dbr:Terminal_and_initial_objects dbr:Universal_property dbr:Initial_&_terminal_objects dbr:Universal_object dbr:Final_object dbr:Final_objects dbr:Coterminal dbr:Coterminal_angle dbr:Coterminal_object dbr:Coterminal_objects dbr:Initial_and_terminal_object dbr:Initial_objects dbr:Zero-object dbr:Zero_objects |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Initial_and_terminal_objects |
