Generalized Stokes theorem (original) (raw)
Stokesova věta je věta diferenciální geometrie, která dává do souvislosti křivkový integrál vektorového pole přes jednoduchou uzavřenou křivku a plošný integrál z rotace daného vektorového pole přes plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty. Naopak speciálním případem Stokesovy věty v rovině je tzv. Greenova věta. Autorem Stokesovy věty je irský fyzik Georg Stokes.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | El teorema de Stokes en geometria diferencial és una declaració sobre la integració de formes diferencials que generalitza en diversos teoremes del càlcul vectorial. Deu el seu nom a Sir George Gabriel Stokes (1819-1903). El teorema va agafar el seu nom per l'hàbit de Stokes en incloure'l als exàmens de Cambridge, tot i que sembla que la primera demostració escrita i publicada del teorema es deu a Hermann Hankel (1861). Sigui M una varietat de dimensió n , orientada i compacta, i sigui una forma diferencial en M de grau n−1 i de classe C¹(n−1). Si ∂M denota el límit de M amb la seva orientació induïda, llavors Aquí, d és la derivada exterior, que es defineix fent servir només l'estructura de varietat. El teorema de Stokes es pot considerar com una generalització de teorema fonamental del càlcul; de fet, aquest segon es pot treure fàcilment del primer. El teorema es fa servir sovint en situacions on M és una subvarietat orientada submergida en una varietat més gran en la qual es defineix la forma . El teorema s'estén fàcilment a les combinacions lineals de les subvarietats , també anomenades cadenes. Llavors, el teorema de Stokes demostra que formes tancades definides fins a una es poden integrar sobre cadenes definides fins a una vora. Aquesta és la base de l'emparellament entre els i la cohomologia de de Rham. El teorema de Kelvin-Stokes clàssic: que relaciona la integral de superfície del rotacional d'un camp vectorial sobre una superfície en el 3-espai euclidià a la integral de línia del camp vectorial sobre la seva vora, és un cas especial del teorema de Stokes general (amb n = 2) a la que identifiquem un camp vectorial amb una 1-forma fent servir la mètrica al 3-espai euclidià.La primera declaració coneguda del teorema és per William Thomson (Lord Kelvin) i apareix a la seva carta a Stokes. Es pot reescriure com a on P, Q i R són les components de v. Així mateix, el teorema de Ostrogradsky-Gauss (també conegut com el teorema de la divergència o el teorema de Gauss) és un cas especial si s'identifica el camp vectorial en la forma n-1 obtinguda de contreure el camp vectorial a la forma de volum euclidià. El teorema fonamental del càlcul i el teorema de Green també són casos especials del teorema general de Stokes. La forma general del teorema de Stokes fent servir formes diferencials és més potent que els casos especials, encara que aquests últims són els més accessibles i sovint els considerats com a més convenients pels científics i enginyers. (ca) Stokesova věta je věta diferenciální geometrie, která dává do souvislosti křivkový integrál vektorového pole přes jednoduchou uzavřenou křivku a plošný integrál z rotace daného vektorového pole přes plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty. Naopak speciálním případem Stokesovy věty v rovině je tzv. Greenova věta. Autorem Stokesovy věty je irský fyzik Georg Stokes. (cs) في حساب المتجهات وعلم الهندسة التفاضلية، تعرف مبرهنة ستوكس أو مبرهنة ستوكس المعممة (بالإنجليزية: Stokes' theorem أو Generalized Stokes theorem) بأنها هي بيان حول تكامل الصور التفاضلية على المشعبات، والذي يبسط ويعمم العديد من المبرهنات من حساب المتجهات. تقول مبرهنة ستوكس أن تكامل الصورة التفاضلية ω على حدود بعض المشعب الموجه يساوي تكامل مشتقها الخارجي dω على كامل i، أي تمت صياغة مبرهنة ستوكس في شكلها الحديث من قبل إيلي كارتن في عام 1945، بعد العمل السابق على تعميم مبرهنات حساب المتجهات من قبل ، ، وهنري بوانكاريه. هذا الشكل الحديث لمبرهنة ستوكس هو تعميم واسع للنتيجة الكلاسيكية التي أبلغها لورد كلفن إلى جورج ستوكس في رسالة بتاريخ 2 يوليو 2 يوليو 1850. وضع ستوكس المبرهنة كسؤال في امتحان 1854، مما أدى إلى النتيجة التي تحمل اسمه. تم نشره لأول مرة من قبل هيرمان هانكل في 1861. ترتبط مبرهنة كلفن-ستوكس الكلاسيكية هذه بالتكامل السطحي لدوران حقل متجهي F على سطح (أي، تدفق دوران F) في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد إلى تكامل خطي للحقل المتجهي على حدوده (المعروف أيضًا باسم «التكامل العروي») التفسير الرياضياتي: ليكن γ: [a, b] → R2 منحنى مستوي جورداني ناعم متعدد التعريف. تستلزم مبرهنة منحنى جوردان بأن γ يقسم R2 إلى مركبتين، أحدهما متراص والآخر غير متراص. ليكن يشير إلى الجزء المتراص المحدود من قبل γ ونفترض أن ψ: D → R3 ناعم، مع S := ψ(D). إذا كانت Γ المنحنى الفضائي المعرف بـ Γ(t) = ψ(γ(t)) و F حقل متجهي ناعم على R3، إذن: حيث يشير إلى المؤثر التفاضلي «دوران». هذا البيان الكلاسيكي، إلى جانب مبرهنة التباعد الكلاسيكية، والمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل، ومبرهنة غرين هي ببساطة حالات خاصة من الصيغة العامة المذكورة أعلاه. (ar) En diferenciala geometrio, la teoremo de Stokes estas esprimo pri la integralado de diferenciala formo, kiu ĝeneraligas kelkajn teoremojn de vektora kalkulo. Tiu termino originas de la nomo de Kavaliro George Gabriel Stokes (1819-1903), kvankam la unua sciata propozicio de la teoremo estis de William Thomson (Lord Kelvin) kaj aperis en letero de lia al Stokes. La teoremo akiris nomon de Stokes pro tio ke li inkluzivis ĝin en la premiaj ekzamenoj de Kembriĝo en 1854: li demandis la studentojn pruvi la teoremon dum ekzameno, ne estas sciate ĉu iu kapablis ĉi tion fari. Estu M orientita popeca glata sternaĵo de dimensio n kaj estu ω la n-1 kompakte subtenata diferenciala formo sur M de klaso C1. Se ∂M signifas la randon de M kun ĝia konkludita orientiĝo, tiam Ĉi tie d estas la , kiu estas difinita uzante nur la duktan strukturon. La teoremo povas esti konsiderata kiel ĝeneraligo de la fundamenta teoremo de kalkulo; kaj la lasta ja sekvas facile de la antaŭa. La teoremo estas ofte uzita en situacioj kie M estas enigita orientita substernaĵo de iu pli granda sternaĵo sur kiu la formo ω estas difinita. La klasika teoremo de Kelvino-Stokes estas: kiu donas interrilaton de la surfaca integralo de kirlo de vektora kampo tra surfaco Σ en eŭklida 3-spaco al la kurba integralo de la vektora kampo tra rando de la surfaco. Ĝi estas speciala kazo de la ĝenerala teoremo de Stokes (kun n=2). Ĝi povas esti reskribita tiel : kie P, Q kaj R estas la komponantoj de F. Ĉi subaj variantoj estas ofte uzataj (g estas skalara kampo, F kaj G estas vektoraj kampoj): Ankaŭ la diverĝenca teoremo estas speciala kazo se identigi la vektoran kampon kun la n-1 formo ricevita de la vektora kampo kun la eŭklida volumena formo. La fundamenta teoremo de kalkulo kaj teoremo de Green estas ankaŭ specialaj kazoj de la ĝenerala teoremo. (eo) Der Satz von Stokes oder stokessche Integralsatz ist ein nach Sir George Gabriel Stokes benannter Satz aus der Differentialgeometrie. In der allgemeinen Fassung handelt es sich um einen sehr grundlegenden Satz über die Integration von Differentialformen, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erweitert und eine Verbindungslinie von der Differentialgeometrie zur Algebraischen Topologie eröffnet. Dieser Zusammenhang wird durch den Satz von de Rham beschrieben, für den der Satz von Stokes grundlegend ist. Es geht darum, -dimensionale Volumenintegrale über das Innere in -dimensionale Randintegrale über die Oberfläche des Volumenstücks umzuwandeln. Häufig werden nur spezielle Varianten des allgemeinen Satzes betrachtet, aus denen das allgemeine Prinzip mehr oder minder gut ersichtlich ist, die aber für die jeweiligen Anwendungen wichtig sind. Die beiden wichtigsten Spezialfälle, der Gauß'sche Integralsatz und der spezielle Stokes'sche Integralsatz (siehe unten) entstammen der Vektoranalysis. In der Physik und der Elektrotechnik erlaubt der spezielle Satz von Stokes beziehungsweise der von Gauß elegante Schreibweisen physikalischer Zusammenhänge, zum Beispiel bei den integrierten Formen der Maxwell'schen Gleichungen. (de) El teorema de Stokes, también llamado teorema de Kelvin-Stokes, es un teorema en cálculo vectorial en . Dado un campo vectorial, el teorema relaciona la integral del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie, con la integral de línea del campo vectorial sobre la frontera de la superficie. El teorema de Stokes es un caso especial del teorema de Stokes generalizado. (es) In vector calculus and differential geometry the generalized Stokes theorem (sometimes with apostrophe as Stokes' theorem or Stokes's theorem), also called the Stokes–Cartan theorem, is a statement about the integration of differential forms on manifolds, which both simplifies and generalizes several theorems from vector calculus. In particular, the fundamental theorem of calculus is the special case where the manifold is a line segment, and Stokes' theorem is the case of a surface in . Hence, the theorem is sometimes referred to as the Fundamental Theorem of Multivariate Calculus. Stokes' theorem says that the integral of a differential form over the boundary of some orientable manifold is equal to the integral of its exterior derivative over the whole of , i.e., Stokes' theorem was formulated in its modern form by Élie Cartan in 1945, following earlier work on the generalization of the theorems of vector calculus by Vito Volterra, Édouard Goursat, and Henri Poincaré. This modern form of Stokes' theorem is a vast generalization of a classical result that Lord Kelvin communicated to George Stokes in a letter dated July 2, 1850. Stokes set the theorem as a question on the 1854 Smith's Prize exam, which led to the result bearing his name. It was first published by Hermann Hankel in 1861. This classical case relates the surface integral of the curl of a vector field over a surface (that is, the flux of ) in Euclidean three-space to the line integral of the vector field over the surface boundary (also known as the loop integral). Classical generalizations of the fundamental theorem of calculus like the divergence theorem, and Green's theorem from vector calculus are special cases of the general formulation stated above after making a standard identification of vector fields with differential forms (different for each of the classical theorems). (en) En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le théorème de Stokes (parfois appelé théorème de Stokes-Cartan) est un résultat central sur l'intégration des formes différentielles, qui généralise le second théorème fondamental de l'analyse, ainsi que de nombreux théorèmes d'analyse vectorielle. Il possède de multiples applications, fournissant ainsi un formulaire qu'utilisent volontiers physiciens et ingénieurs, particulièrement en mécanique des fluides. Le théorème est attribué à Sir George Gabriel Stokes, mais le premier à démontrer ce résultat est en réalité le scientifique russe Ostrogradsky qui le présenta à Paris dans les années 1820. Lord Kelvin le redécouvrit 20 ans plus tard à Cambridge et en énonça un résultat particulier pour le rotationnel d'un champ de vecteurs. Le mathématicien et le physicien entretiennent à ce sujet une correspondance active de 1822 à 1853. Ce résultat est parfois appelé (en), ou parfois simplement théorème de Stokes, ce qui est une erreur historique, même pour le cas particulier du théorème concernant la circulation du rotationnel, qu'on trouvera décrite dans . (fr) Dalam kalkulus vektor, dan lebih umum lagi geometri diferensial, teorema Stokes rampat (terkadang dieja teorema Stokes, dan juga disebut teorema Stokes–Cartan) adalah pernyataan tentang integrasi dari pada manifold, yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa teorema dari kalkulus vektor. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial ω di atas dari beberapa lipatan Ω sama dengan integral dω di seluruh Ω, yaitu: Teorema Stokes 'dirumuskan dalam bentuk modern oleh Élie Cartan pada tahun 1945, mengikuti pekerjaan sebelumnya pada generalisasi teorema kalkulus vektor oleh Vito Volterra, , dan Henri Poincaré. Bentuk modern dari teorema Stokes 'ini adalah generalisasi luas dari hasil klasik yang ditentukan oleh dikomunikasikan kepada dalam surat tertanggal 2 Juli 1850. Stokes set the theorem as a question on the 1854 exam, which led to the result bearing his name. It was first published by in 1861. klasik tersebut menghubungkan dari dari F di atas permukaan (yaitu, fluks dari curl F) di Euclidean tiga ruang ke integral garis dari bidang vektor di atas batasnya (juga dikenal sebagai integral loop). Contoh analisis vektor klasik sederhana Mari γ: [a, b] → R2 menjadi mulus . menyiratkan hal itu γ membagi R2 menjadi dua komponen, satu kompak satu sama lain yang tidak kompak. Membiarkan D menunjukkan bagian kompak yang dibatasi oleh γ dan misalkan ψ: D → R3 halus, dengan S := ψ(D). Jika Γ adalah yang ditentukan oleh Γ(t) = ψ(γ(t)) dan F adalah bidang vektor mulus pada R3, kemudian: Pernyataan klasik ini, bersama dengan teorema divergensi klasik, teorema dasar kalkulus, dan Teorema Green hanyalah kasus-kasus khusus dari rumusan umum yang dinyatakan sebagai. (in) 一般化されたストークスの定理またはストークス-カルタンの定理とは、ベクトル解析や微分幾何学における多様体上の微分形式の積分についての定理であり、ベクトル解析におけるいくつかの定理の単純化および一般化である。これはニュートンの微分積分学の基本定理の一般化であり、2次元の線積分を3次元の面積分に関連付ける。 一般化されたストークスの定理によると、向き付け可能な多様体 Ω の境界 ∂Ω 上の微分形式 ω の積分は Ω 全体にわたるその外微分 dω の積分に等しい。すなわち が成り立つ。 ヴィト・ヴォルテラ、、アンリ・ポアンカレによるベクトル解析の定理の一般化に関する初期の研究に続き、一般化されたストークスの定理の現代的な定式化は1945年にエリ・カルタンによってなされた。 ストークスの定理のこの現代的な形式は、ケルビン卿が1850年7月2日付けの手紙でジョージ・ストークスに伝えた古典的な結果の一般化である。ストークスはこの定理を1854年のスミス賞試験の質問として設定し、その結果、彼の名前が付けられた。最初に出版されたのは1861年にヘルマン・ハンケルによってである。この古典的なケースは、3次元ユークリッド空間における曲面上のベクトル場 F の回転の面積分（つまりcurl F の流束）を、曲面の境界上のベクトル場の線積分（周回積分）に関連付けている。 ベクトル解析における発散定理やグリーンの定理のような微分積分学の基本定理の古典的な一般化は、微分形式（古典的な定理ごとに異なる）を標準的な方法でベクトル場とみなした場合の、上記の一般的な定理の特殊なケースである。 (ja) 미분기하학에서 스토크스의 정리(영어: Stokes’ theorem)는 매끄러운 다양체 위의 미분 형식의 적분에 관한 정리다. 이에 따라, 미분 형식의 외미분을 다양체에 적분한 값은, 그 미분 형식을 다양체의 경계에 대하여 적분한 값과 같다. 벡터 미적분학의 몇몇 정리를 일반화한 것이다. (ko) In matematica, in particolare in geometria differenziale, il teorema di Stokes è un enunciato riguardante l'integrazione delle forme differenziali che generalizza diversi teoremi di calcolo vettoriale, quali il teorema della divergenza o il teorema del rotore. Prende il nome da Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), nonostante la prima formulazione del teorema sia stata attribuita a William Thomson (Lord Kelvin), che la inviò in una lettera a Stokes nel luglio del 1850. (it) De stelling van Stokes is een wiskundige stelling die zegt dat de kringintegraal van het scalair product van een vectorveld met een infinitesimale verandering van de plaatsvector gelijk is aan de oppervlakteintegraal van de normaalcomponenten van de rotatie van . De stelling werd ontwikkeld door George Stokes, een 19e-eeuwse wiskundige aan de Universiteit van Cambridge. De stelling heeft belangrijke toepassingen in de vloeistofdynamica en in het elektromagnetisme (zie de wetten van Maxwell). (nl) Twierdzenie Stokesa – twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa. (pl) O Teorema de Stokes, na geometria diferencial, é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial. Além disso, possui aplicações importantes no estudo dos campos vetoriais, especialmente na análise do movimento de rotação dos fluidos. É assim chamado em homenagem ao matemático George Gabriel Stokes (1819-1903), embora a primeira referência conhecida do resultado seja por William Thomson (Lord Kelvin) e apareça em uma carta dele para Stokes, datada de 2 de julho de 1850. Quando a superfície é plana, o Teorema de Stokes cai em uma forma particular conhecido como Teorema de Green. (pt) Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса. (ru) Stokes sats, efter George Gabriel Stokes, innebär att för varje kontinuerligt deriverbar funktion F gäller, då C = ∂S är en sluten kurva i rummet, att 1. * eller 2. * 3. * Dessa formler kan generaliseras med tensornotation. där εijk betecknar Levi-Civita-tensorn. Inom differentialgeometrin används en formalism som tillåter dessa likheter att skrivas som ett enda uttryck, ibland kallat generaliserade Stokes sats: där ω är en differentialform och d är den , Ω en orienterad mångfald, ∂Ω är dess rand och alla integraler är tagna på lämpligt sätt. En stor fördel med detta synsätt är att det inte beror av dimensionen. I många vanliga tillämpningar är integreringsområdet Ω (eller S) ett n-dimensionellt område och ∂Ω (eller C) är dess n-1-dimensionella rand. Genom att använda denna formel på integraler över endimensionella reellvärda funktioner, där randen av ett intervall blir dess två ändpunkter, erhålls analysens fundamentalsats. Andra specialfall inkluderar formlerna ovan och även Greens sats. (sv) 斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem），也被称作广义斯托克斯定理、斯托克斯–嘉当定理（Stokes–Cartan theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。 (zh) Теорема Стокса — одна із основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа іменем ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса. У термінах диференціальних форм теорема записується формулою тобто інтеграл від зовнішнього диференціалу форми по області дорівнює інтегралу від цієї форми по границі області. У одновимірному випадку твердження збігається з формулою Ньютона—Лейбніца. Випадок інтегрування по двомірній області називається формулою Гріна, по тривимірній області — формулою Остроградського. (uk) |
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(ko) In matematica, in particolare in geometria differenziale, il teorema di Stokes è un enunciato riguardante l'integrazione delle forme differenziali che generalizza diversi teoremi di calcolo vettoriale, quali il teorema della divergenza o il teorema del rotore. Prende il nome da Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), nonostante la prima formulazione del teorema sia stata attribuita a William Thomson (Lord Kelvin), che la inviò in una lettera a Stokes nel luglio del 1850. (it) De stelling van Stokes is een wiskundige stelling die zegt dat de kringintegraal van het scalair product van een vectorveld met een infinitesimale verandering van de plaatsvector gelijk is aan de oppervlakteintegraal van de normaalcomponenten van de rotatie van . De stelling werd ontwikkeld door George Stokes, een 19e-eeuwse wiskundige aan de Universiteit van Cambridge. De stelling heeft belangrijke toepassingen in de vloeistofdynamica en in het elektromagnetisme (zie de wetten van Maxwell). (nl) Twierdzenie Stokesa – twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa. (pl) O Teorema de Stokes, na geometria diferencial, é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial. Além disso, possui aplicações importantes no estudo dos campos vetoriais, especialmente na análise do movimento de rotação dos fluidos. É assim chamado em homenagem ao matemático George Gabriel Stokes (1819-1903), embora a primeira referência conhecida do resultado seja por William Thomson (Lord Kelvin) e apareça em uma carta dele para Stokes, datada de 2 de julho de 1850. Quando a superfície é plana, o Teorema de Stokes cai em uma forma particular conhecido como Teorema de Green. (pt) Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса. (ru) 斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem），也被称作广义斯托克斯定理、斯托克斯–嘉当定理（Stokes–Cartan theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。 (zh) Теорема Стокса — одна із основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа іменем ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса. У термінах диференціальних форм теорема записується формулою тобто інтеграл від зовнішнього диференціалу форми по області дорівнює інтегралу від цієї форми по границі області. У одновимірному випадку твердження збігається з формулою Ньютона—Лейбніца. Випадок інтегрування по двомірній області називається формулою Гріна, по тривимірній області — формулою Остроградського. (uk) في حساب المتجهات وعلم الهندسة التفاضلية، تعرف مبرهنة ستوكس أو مبرهنة ستوكس المعممة (بالإنجليزية: Stokes' theorem أو Generalized Stokes theorem) بأنها هي بيان حول تكامل الصور التفاضلية على المشعبات، والذي يبسط ويعمم العديد من المبرهنات من حساب المتجهات. تقول مبرهنة ستوكس أن تكامل الصورة التفاضلية ω على حدود بعض المشعب الموجه يساوي تكامل مشتقها الخارجي dω على كامل i، أي تمت صياغة مبرهنة ستوكس في شكلها الحديث من قبل إيلي كارتن في عام 1945، بعد العمل السابق على تعميم مبرهنات حساب المتجهات من قبل ، ، وهنري بوانكاريه. التفسير الرياضياتي: حيث يشير إلى المؤثر التفاضلي «دوران». (ar) El teorema de Stokes en geometria diferencial és una declaració sobre la integració de formes diferencials que generalitza en diversos teoremes del càlcul vectorial. Deu el seu nom a Sir George Gabriel Stokes (1819-1903). El teorema va agafar el seu nom per l'hàbit de Stokes en incloure'l als exàmens de Cambridge, tot i que sembla que la primera demostració escrita i publicada del teorema es deu a Hermann Hankel (1861). El teorema es fa servir sovint en situacions on M és una subvarietat orientada submergida en una varietat més gran en la qual es defineix la forma . (ca) Der Satz von Stokes oder stokessche Integralsatz ist ein nach Sir George Gabriel Stokes benannter Satz aus der Differentialgeometrie. In der allgemeinen Fassung handelt es sich um einen sehr grundlegenden Satz über die Integration von Differentialformen, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erweitert und eine Verbindungslinie von der Differentialgeometrie zur Algebraischen Topologie eröffnet. Dieser Zusammenhang wird durch den Satz von de Rham beschrieben, für den der Satz von Stokes grundlegend ist. (de) En diferenciala geometrio, la teoremo de Stokes estas esprimo pri la integralado de diferenciala formo, kiu ĝeneraligas kelkajn teoremojn de vektora kalkulo. Tiu termino originas de la nomo de Kavaliro George Gabriel Stokes (1819-1903), kvankam la unua sciata propozicio de la teoremo estis de William Thomson (Lord Kelvin) kaj aperis en letero de lia al Stokes. La teoremo akiris nomon de Stokes pro tio ke li inkluzivis ĝin en la premiaj ekzamenoj de Kembriĝo en 1854: li demandis la studentojn pruvi la teoremon dum ekzameno, ne estas sciate ĉu iu kapablis ĉi tion fari. Ankaŭ la diverĝenca teoremo (eo) In vector calculus and differential geometry the generalized Stokes theorem (sometimes with apostrophe as Stokes' theorem or Stokes's theorem), also called the Stokes–Cartan theorem, is a statement about the integration of differential forms on manifolds, which both simplifies and generalizes several theorems from vector calculus. In particular, the fundamental theorem of calculus is the special case where the manifold is a line segment, and Stokes' theorem is the case of a surface in . Hence, the theorem is sometimes referred to as the Fundamental Theorem of Multivariate Calculus. (en) Dalam kalkulus vektor, dan lebih umum lagi geometri diferensial, teorema Stokes rampat (terkadang dieja teorema Stokes, dan juga disebut teorema Stokes–Cartan) adalah pernyataan tentang integrasi dari pada manifold, yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa teorema dari kalkulus vektor. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial ω di atas dari beberapa lipatan Ω sama dengan integral dω di seluruh Ω, yaitu: Contoh analisis vektor klasik sederhana (in) En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le théorème de Stokes (parfois appelé théorème de Stokes-Cartan) est un résultat central sur l'intégration des formes différentielles, qui généralise le second théorème fondamental de l'analyse, ainsi que de nombreux théorèmes d'analyse vectorielle. Il possède de multiples applications, fournissant ainsi un formulaire qu'utilisent volontiers physiciens et ingénieurs, particulièrement en mécanique des fluides. (fr) 一般化されたストークスの定理またはストークス-カルタンの定理とは、ベクトル解析や微分幾何学における多様体上の微分形式の積分についての定理であり、ベクトル解析におけるいくつかの定理の単純化および一般化である。これはニュートンの微分積分学の基本定理の一般化であり、2次元の線積分を3次元の面積分に関連付ける。 一般化されたストークスの定理によると、向き付け可能な多様体 Ω の境界 ∂Ω 上の微分形式 ω の積分は Ω 全体にわたるその外微分 dω の積分に等しい。すなわち が成り立つ。 ヴィト・ヴォルテラ、、アンリ・ポアンカレによるベクトル解析の定理の一般化に関する初期の研究に続き、一般化されたストークスの定理の現代的な定式化は1945年にエリ・カルタンによってなされた。 ストークスの定理のこの現代的な形式は、ケルビン卿が1850年7月2日付けの手紙でジョージ・ストークスに伝えた古典的な結果の一般化である。ストークスはこの定理を1854年のスミス賞試験の質問として設定し、その結果、彼の名前が付けられた。最初に出版されたのは1861年にヘルマン・ハンケルによってである。この古典的なケースは、3次元ユークリッド空間における曲面上のベクトル場 F の回転の面積分（つまりcurl F の流束）を、曲面の境界上のベクトル場の線積分（周回積分）に関連付けている。 (ja) Stokes sats, efter George Gabriel Stokes, innebär att för varje kontinuerligt deriverbar funktion F gäller, då C = ∂S är en sluten kurva i rummet, att 1. * eller 2. * 3. * Dessa formler kan generaliseras med tensornotation. där εijk betecknar Levi-Civita-tensorn. Inom differentialgeometrin används en formalism som tillåter dessa likheter att skrivas som ett enda uttryck, ibland kallat generaliserade Stokes sats: (sv) |
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