Happy number (original) (raw)
Un nombre feliç és definit pel següent procés: Es comença per qualsevol nombre enter positiu, se substitueix el nombre per la suma dels quadrats dels seus dígits i es repeteix el procés fins que el nombre sigui igual a 1 o fins que s'entri en un bucle infinit, és a dir, en un cicle en el qual no s'hi inclogui l'1. Els nombres que en finalitzar el procés acaben en 1 són anomenats nombres feliços, mentre que els que no acaben en 1 són nombres infeliços (o nombres tristos).
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| dbo:abstract | Un nombre feliç és definit pel següent procés: Es comença per qualsevol nombre enter positiu, se substitueix el nombre per la suma dels quadrats dels seus dígits i es repeteix el procés fins que el nombre sigui igual a 1 o fins que s'entri en un bucle infinit, és a dir, en un cicle en el qual no s'hi inclogui l'1. Els nombres que en finalitzar el procés acaben en 1 són anomenats nombres feliços, mentre que els que no acaben en 1 són nombres infeliços (o nombres tristos). (ca) Šťastné číslo (anglicky happy number) je v matematice definováno následujícím způsobem: vezme se libovolné kladné celé číslo, nahradí se součtem druhých mocnin svých číslic a tento proces se opakuje, dokud se nedojde k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, se nazývají šťastná, ostatní pak nešťastná. Formálněji řečeno: mějme číslo a definujme posloupnost , , ... kde je součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla . Poté je šťastné právě tehdy, když existuje i takové, že . Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly. (cs) العدد السعيد هو عدد صحيح موجب يحقق الشرط التالي: إذا تم جمع مربع أرقامه، وأعيد القيام بتلك العملية للعدد الناتج مرة أو أكثر، يبقى في النهاية 1 (ويستقر عندها). أما الأعداد التي تظل تتكرر نتائجها في حلقة ولا تصبح أبداً 1 فتسمى أعدادا تعيسة مثل العدد 9. (ar) In der Zahlentheorie ist im Dezimalsystem eine fröhliche Zahl (vom englischen happy number) eine natürliche Zahl , die als Ausgangswert für eine bestimmte Iterationsvorschrift nach endlich vielen Iterationsschritten zu dem Zahlenwert 1 führt, ähnlich dem Collatz-Problem. (de) Ως ευτυχείς αριθμοί χαρακτηρίζονται στα μαθηματικά οι αριθμοί εκείνοι που μετά από μια συγκεκριμένη διαδικασία δείχνουν τον αριθμό 1. Παίρνουμε οποιονδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό, τον υψώνουμε στο τετράγωνο και μετά τον αντικαθιστούμε με το άθροισμα του τετραγώνου του. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι οι πράξεις να δείξουν τον αριθμό 1. Οπότε, οι αριθμοί που μετά από αυτήν τη διαδικασία τελειώνουν σε 1, ονομάζονται ευτυχείς αριθμοί, ενώ εκείνοι που τελειώνουν σε κάποιον άλλον, ονομάζονται δυστυχείς αριθμοί. Oι δυστυχείς αριθμοί καταλήγουν πάντα στον αριθμό 4, ενώ ο ίδιος ο 4 οδηγεί σε βρόχο επαναλαμβανόμενων αριθμών που καταλήγει πάλι στο 4. (el) In number theory, a happy number is a number which eventually reaches 1 when replaced by the sum of the square of each digit. For instance, 13 is a happy number because , and . On the other hand, 4 is not a happy number because the sequence starting with and eventually reaches , the number that started the sequence, and so the process continues in an infinite cycle without ever reaching 1. A number which is not happy is called sad or unhappy. More generally, a -happy number is a natural number in a given number base that eventually reaches 1 when iterated over the perfect digital invariant function for . The origin of happy numbers is not clear. Happy numbers were brought to the attention of (a British author and senior lecturer in pure mathematics at Leeds University) by his daughter, who had learned of them at school. However, they "may have originated in Russia" (:§E34). (en) Zenbaki alaiak prozedura honen bidez definitzen dira: zenbaki natural batekin hasita, zenbakia ordezkatzen da bere digituen karratuen baturarekin, eta prozesu hau errepikatzen da zenbakia 1-era heldu arte, edo bukle batean (1-a bertan ez dago) sartu arte. Prozesua 1-ekin amaitzen diren zenbakiak zenbaki alaiak dira, besteak aldiz, zorigaiztoko zenbakiak izango dira. Zenbaki bat lehena eta alaia bada, zenbaki lehen alaia da. (eu) Los números felices se definen por el siguiente procedimiento: empezando con cualquier número entero positivo, se reemplaza el número por la suma de los cuadrados de sus dígitos, y se repite el proceso hasta que el número es igual a 1 o hasta que se entra en un bucle que no incluye el 1. Los números que al finalizar el proceso terminan con 1 son conocidos como números felices. Aquellos que no, son conocidos como números infelices (o tristes). Un número primo que además es un número feliz se llama primo feliz. (es) En mathématiques, un entier naturel est un nombre heureux si, lorsqu'on calcule la somme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1. On peut démontrer qu'en appliquant un tel processus, à partir d'un entier quelconque non nul, on finit par boucler sur un des cycles suivants : {1}, ou {4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20}. Un nombre est malheureux quand il boucle sur le cycle long. De manière plus formelle, on considère un entier positif , puis on définit la suite d'entiers où et est égal à la somme des carrés des chiffres de . est dit heureux si la suite aboutit à 1 à partir d'un certain nombre de termes, c’est-à-dire que pour un certain indice , (à partir de cet indice, tous les sont égaux à 1 et la suite est constante). (fr) Un numero felice è definito tramite il seguente processo: partendo con un qualsiasi numero intero positivo, si sostituisca il numero con la somma dei quadrati delle sue cifre, e si ripeta il processo fino a quando si ottiene 1 (dove ulteriori iterazioni porteranno sempre 1), oppure si entra in un ciclo che non include mai 1. I numeri per cui tale processo dà 1 sono numeri felici, mentre quelli che non danno mai 1 sono numeri infelici. I numeri felici sono infiniti; è infatti evidente che, ad esempio, tutte le potenze di 10 siano numeri felici. I numeri felici non hanno una definita; questo significa che al crescere di n, la percentuale di numeri felici da 1 a n non tende a un valore costante ma continua a oscillare all'interno di una fascia di valori. La densità inferiore è minore del 12% e quella superiore maggiore del 18% (it) ハッピー数（ハッピーすう、happy number）とは、自然数の各桁を1桁に分解して二乗和を取り、新しくできた数についても同じ処理を繰り返し行って、最終的に1となる数を指す。 例えば19に上の規則を適用すると、 12 + 92 = 8282 + 22 = 6862 + 82 = 10012 + 02 + 02 = 112 = 1 ... となる。数列が1（の繰り返し）で終るため、19はハッピー数である。 ハッピー数の考え方が初めて示されたのは、1970年代のロシアと考えられている。 (ja) Een gelukkig getal is een speciaal positief geheel getal dat bepaald wordt door het volgende procedé: * kwadrateer de afzonderlijke cijfers van het getal; * de som van deze kwadraten vormt een nieuw getal; * herhaal deze procedure zo lang totdat er ofwel een cyclus van getallen wordt doorlopen, ofwel het getal 1 optreedt; * wordt het getal 1 bereikt, dan is het oorspronkelijke getal een gelukkig getal. De eerste twintig gelukkige getallen zijn:. (nl) Glada tal är definierade enligt följande: Börja med ett positivt heltal. Ersätt talet med summan av kvadraterna av dess siffror och repetera utförandet tills talet man har kvar är 1. Många tal blir aldrig 1 och fortsätter bara repetera processen i all oändlighet. Tal som slutar på 1 är glada tal och de som inte gör det är ledsna tal. Ett datorprogram som testar alla tal upp till och med visar på att ungefär 12% av alla tal är glada tal, men det finns inget konkret bevis för det. (sv) Liczba wesoła – liczba naturalna zdefiniowana jako obliczanie sumy kwadratów cyfr składających się na liczbę. Powtarzamy tę operację dla kolejnych wyników tak długo, aż uzyskamy liczbę 1 lub wyniki zaczną się powtarzać. Jeżeli w wyniku procesu otrzymaliśmy 1, pierwotna liczba jest liczbą wesołą. W przeciwnym przypadku jest liczbą niewesołą (lub smutną). Przykładowo 7 jest liczbą wesołą, ponieważ podlega następującej sekwencji obliczeń: 72 = 4942 + 92 = 9792 + 72 = 13012 + 32 + 02 = 1012 + 02 = 1. Przykładowo 19 jest liczbą wesołą, ponieważ podlega następującej sekwencji obliczeń: 12 + 92 = 8282 + 22 = 6862 + 82 = 10012 + 02 + 02 = 1. Przykładowo 85 jest liczbą niewesołą, ponieważ podlega następującej sekwencji obliczeń: 82 + 52 = 8982 + 92 = 14512 + 42 + 52 = 4242 + 22 = 2022 + 02 = 442 = 1612 + 62 = 3732 + 72 = 5852 + 82 = 89. Jeśli liczba jest wesoła, to wszystkie liczby otrzymane podczas powyższego procesu również są wesołe. Jeśli dokonamy permutacji cyfr liczby wesołej lub dodamy do niej dowolną ilość zer, otrzymana liczba również będzie liczbą wesołą. Wesołe liczby pierwsze to liczby, które jednocześnie są wesołe i pierwsze. Wesołość liczby opiera się na jej zapisie w systemie dziesiętnym. W innych systemach inne liczby są wesołe. W systemie dwójkowym wszystkie liczby są wesołe. (pl) Os números felizes são definidos pelo seguinte procedimento. Começando com qualquer número inteiro positivo, o número é substituído pela soma dos quadrados dos seus dígitos, e repetir o processo até que o número seja igual a 1 ou até que ele entre num ciclo infinito que não inclui um ou seja a soma dos quadrados dos algarismos do quadrado de um número positivo inicial. Os números no fim do processo de extremidade com 1, são conhecidos como números felizes, mas aqueles que não terminam com um 1 são números chamados infelizes. (pt) Счастливое число (англ. happy number) — число, определённое следующим процессом: начиная с любого положительного целого числа, мы заменяем это число суммой квадратов его цифр в десятичной системе счисления и повторяем данный процесс, пока число либо не станет равно 1 (где весь процесс остановится), или попадёт в бесконечный цикл, не содержащий 1. Числа, для которых данный процесс заканчивается единицей, называются счастливыми числами, в то время как те, для которых процесс не заканчивается единицей, считаются несчастливыми числами (или грустными числами). (ru) Натуральне число називається щасливим числом, якщо послідовність, яка починається з цього числа, і кожен наступний член якої є сумою квадратів цифр попереднього, містить член рівний одиниці. Числа, які не є щасливими називаються сумними числами, або нещасливими числами. (uk) 快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數位（英語：digits）的平方和，得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。 以十進位為例： 2 8 → → → 3 2 → → → 3 7 → → → → → → → → 5 6 → → → → → → → → → → 因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。 不是快樂數的數稱為不快樂數（英語：unhappy number），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。 在十進位下，100以內的快樂數有（OEIS數列）：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。 (zh) |
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(ar) In der Zahlentheorie ist im Dezimalsystem eine fröhliche Zahl (vom englischen happy number) eine natürliche Zahl , die als Ausgangswert für eine bestimmte Iterationsvorschrift nach endlich vielen Iterationsschritten zu dem Zahlenwert 1 führt, ähnlich dem Collatz-Problem. (de) Ως ευτυχείς αριθμοί χαρακτηρίζονται στα μαθηματικά οι αριθμοί εκείνοι που μετά από μια συγκεκριμένη διαδικασία δείχνουν τον αριθμό 1. Παίρνουμε οποιονδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό, τον υψώνουμε στο τετράγωνο και μετά τον αντικαθιστούμε με το άθροισμα του τετραγώνου του. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι οι πράξεις να δείξουν τον αριθμό 1. Οπότε, οι αριθμοί που μετά από αυτήν τη διαδικασία τελειώνουν σε 1, ονομάζονται ευτυχείς αριθμοί, ενώ εκείνοι που τελειώνουν σε κάποιον άλλον, ονομάζονται δυστυχείς αριθμοί. Oι δυστυχείς αριθμοί καταλήγουν πάντα στον αριθμό 4, ενώ ο ίδιος ο 4 οδηγεί σε βρόχο επαναλαμβανόμενων αριθμών που καταλήγει πάλι στο 4. (el) Zenbaki alaiak prozedura honen bidez definitzen dira: zenbaki natural batekin hasita, zenbakia ordezkatzen da bere digituen karratuen baturarekin, eta prozesu hau errepikatzen da zenbakia 1-era heldu arte, edo bukle batean (1-a bertan ez dago) sartu arte. Prozesua 1-ekin amaitzen diren zenbakiak zenbaki alaiak dira, besteak aldiz, zorigaiztoko zenbakiak izango dira. Zenbaki bat lehena eta alaia bada, zenbaki lehen alaia da. (eu) Los números felices se definen por el siguiente procedimiento: empezando con cualquier número entero positivo, se reemplaza el número por la suma de los cuadrados de sus dígitos, y se repite el proceso hasta que el número es igual a 1 o hasta que se entra en un bucle que no incluye el 1. Los números que al finalizar el proceso terminan con 1 son conocidos como números felices. Aquellos que no, son conocidos como números infelices (o tristes). Un número primo que además es un número feliz se llama primo feliz. (es) ハッピー数（ハッピーすう、happy number）とは、自然数の各桁を1桁に分解して二乗和を取り、新しくできた数についても同じ処理を繰り返し行って、最終的に1となる数を指す。 例えば19に上の規則を適用すると、 12 + 92 = 8282 + 22 = 6862 + 82 = 10012 + 02 + 02 = 112 = 1 ... となる。数列が1（の繰り返し）で終るため、19はハッピー数である。 ハッピー数の考え方が初めて示されたのは、1970年代のロシアと考えられている。 (ja) Een gelukkig getal is een speciaal positief geheel getal dat bepaald wordt door het volgende procedé: * kwadrateer de afzonderlijke cijfers van het getal; * de som van deze kwadraten vormt een nieuw getal; * herhaal deze procedure zo lang totdat er ofwel een cyclus van getallen wordt doorlopen, ofwel het getal 1 optreedt; * wordt het getal 1 bereikt, dan is het oorspronkelijke getal een gelukkig getal. De eerste twintig gelukkige getallen zijn:. (nl) Glada tal är definierade enligt följande: Börja med ett positivt heltal. Ersätt talet med summan av kvadraterna av dess siffror och repetera utförandet tills talet man har kvar är 1. Många tal blir aldrig 1 och fortsätter bara repetera processen i all oändlighet. Tal som slutar på 1 är glada tal och de som inte gör det är ledsna tal. Ett datorprogram som testar alla tal upp till och med visar på att ungefär 12% av alla tal är glada tal, men det finns inget konkret bevis för det. (sv) Os números felizes são definidos pelo seguinte procedimento. Começando com qualquer número inteiro positivo, o número é substituído pela soma dos quadrados dos seus dígitos, e repetir o processo até que o número seja igual a 1 ou até que ele entre num ciclo infinito que não inclui um ou seja a soma dos quadrados dos algarismos do quadrado de um número positivo inicial. Os números no fim do processo de extremidade com 1, são conhecidos como números felizes, mas aqueles que não terminam com um 1 são números chamados infelizes. (pt) Счастливое число (англ. happy number) — число, определённое следующим процессом: начиная с любого положительного целого числа, мы заменяем это число суммой квадратов его цифр в десятичной системе счисления и повторяем данный процесс, пока число либо не станет равно 1 (где весь процесс остановится), или попадёт в бесконечный цикл, не содержащий 1. Числа, для которых данный процесс заканчивается единицей, называются счастливыми числами, в то время как те, для которых процесс не заканчивается единицей, считаются несчастливыми числами (или грустными числами). (ru) Натуральне число називається щасливим числом, якщо послідовність, яка починається з цього числа, і кожен наступний член якої є сумою квадратів цифр попереднього, містить член рівний одиниці. Числа, які не є щасливими називаються сумними числами, або нещасливими числами. (uk) 快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數位（英語：digits）的平方和，得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。 以十進位為例： 2 8 → → → 3 2 → → → 3 7 → → → → → → → → 5 6 → → → → → → → → → → 因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。 不是快樂數的數稱為不快樂數（英語：unhappy number），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。 在十進位下，100以內的快樂數有（OEIS數列）：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。 (zh) Šťastné číslo (anglicky happy number) je v matematice definováno následujícím způsobem: vezme se libovolné kladné celé číslo, nahradí se součtem druhých mocnin svých číslic a tento proces se opakuje, dokud se nedojde k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, se nazývají šťastná, ostatní pak nešťastná. Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly. (cs) In number theory, a happy number is a number which eventually reaches 1 when replaced by the sum of the square of each digit. For instance, 13 is a happy number because , and . On the other hand, 4 is not a happy number because the sequence starting with and eventually reaches , the number that started the sequence, and so the process continues in an infinite cycle without ever reaching 1. A number which is not happy is called sad or unhappy. (en) En mathématiques, un entier naturel est un nombre heureux si, lorsqu'on calcule la somme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1. On peut démontrer qu'en appliquant un tel processus, à partir d'un entier quelconque non nul, on finit par boucler sur un des cycles suivants : {1}, ou {4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20}. Un nombre est malheureux quand il boucle sur le cycle long. (fr) Un numero felice è definito tramite il seguente processo: partendo con un qualsiasi numero intero positivo, si sostituisca il numero con la somma dei quadrati delle sue cifre, e si ripeta il processo fino a quando si ottiene 1 (dove ulteriori iterazioni porteranno sempre 1), oppure si entra in un ciclo che non include mai 1. I numeri per cui tale processo dà 1 sono numeri felici, mentre quelli che non danno mai 1 sono numeri infelici. I numeri felici sono infiniti; è infatti evidente che, ad esempio, tutte le potenze di 10 siano numeri felici. I numeri felici non hanno una definita; questo significa che al crescere di n, la percentuale di numeri felici da 1 a n non tende a un valore costante ma continua a oscillare all'interno di una fascia di valori. La densità inferiore è minore del 12% (it) Liczba wesoła – liczba naturalna zdefiniowana jako obliczanie sumy kwadratów cyfr składających się na liczbę. Powtarzamy tę operację dla kolejnych wyników tak długo, aż uzyskamy liczbę 1 lub wyniki zaczną się powtarzać. Jeżeli w wyniku procesu otrzymaliśmy 1, pierwotna liczba jest liczbą wesołą. W przeciwnym przypadku jest liczbą niewesołą (lub smutną). Przykładowo 7 jest liczbą wesołą, ponieważ podlega następującej sekwencji obliczeń: 72 = 4942 + 92 = 9792 + 72 = 13012 + 32 + 02 = 1012 + 02 = 1. Przykładowo 19 jest liczbą wesołą, ponieważ podlega następującej sekwencji obliczeń: (pl) |
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