Graded poset (original) (raw)
In mathematics, in the branch of combinatorics, a graded poset is a partially-ordered set (poset) P equipped with a rank function ρ from P to the set N of all natural numbers. ρ must satisfy the following two properties: * The rank function is compatible with the ordering, meaning that for all x and y in the order, if x < y then ρ(x) < ρ(y), and * The rank is consistent with the covering relation of the ordering, meaning that for all x and y, if y covers x then ρ(y) = ρ(x) + 1. Graded posets play an important role in combinatorics and can be visualized by means of a Hasse diagram.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, in the branch of combinatorics, a graded poset is a partially-ordered set (poset) P equipped with a rank function ρ from P to the set N of all natural numbers. ρ must satisfy the following two properties: * The rank function is compatible with the ordering, meaning that for all x and y in the order, if x < y then ρ(x) < ρ(y), and * The rank is consistent with the covering relation of the ordering, meaning that for all x and y, if y covers x then ρ(y) = ρ(x) + 1. The value of the rank function for an element of the poset is called its rank. Sometimes a graded poset is called a ranked poset but that phrase has other meanings; see Ranked poset. A rank or rank level of a graded poset is the subset of all the elements of the poset that have a given rank value. Graded posets play an important role in combinatorics and can be visualized by means of a Hasse diagram. (en) Градуированное частично упорядоченное множество (ЧУМ) — это частично упорядоченное множество P, снабжённое функцией ранга ρ из P в N, удовлетворяющей следующим двум свойствам: * Функция ранга совместима с упорядочиванием, в смысле, что для любых x и y с порядком x < y должно выполняться ρ(x) < ρ(y) * Функция ранга совместима с упорядочения, в смысле, что для любого x подчинённого y должно выполняться ρ(y) = ρ(x) + 1. Значение функции ранга элемента ЧУМ называется рангом элемента. Иногда градуированное ЧУМ называется ранжированным, но определение ранжированное может иметь несколько другое значение, см. статью «». Уровнем ранга градуированного частично упорядоченного множества называется подмножество всех элементов ЧУМ, имеющим заданное значение ранга. Градуированные частично упорядоченные множества играют важную роль в комбинаторике и могут быть представлены в виде диаграммы Хассе. (ru) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/combinatoricsoff0000ande |
| dbo:wikiPageID | 2514970 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 13888 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1110100466 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Power_set dbr:Prewellordering dbr:Product_order dbr:Face_lattice dbr:Boolean_lattice dbr:Bounded_poset dbc:Algebraic_combinatorics dbr:Permutation dbr:Richard_P._Stanley dbr:Vector_space dbr:Infinite_descending_chain dbr:Ranked_poset dbc:Order_theory dbr:Mathematics dbr:Maximum dbr:Geometric_lattice dbr:Clarendon_Press dbr:Generating_set_of_a_group dbr:Graded_(mathematics) dbr:Convex_polytope dbr:Theorem dbr:Combinatorics dbr:Comparability_graph dbr:Young's_lattice dbr:Well-founded dbr:Distributive_lattice dbr:Divisor dbr:Hasse_diagram dbr:Linear_subspace dbr:Greatest_element dbr:Abstract_simplicial_complex dbr:Finite_set dbr:Partially-ordered_set dbr:Partially_ordered_set dbr:Cardinality dbr:Cayley_graph dbr:Dimension_(vector_space) dbr:Glossary_of_order_theory dbr:Group_(mathematics) dbr:Covering_relation dbr:Coxeter_group dbr:Prime_number dbr:Abstract_polytope dbr:Sperner's_theorem dbr:Dimension dbr:Ascending_chain_condition dbr:Sperner_property_of_a_partially-ordered_set dbr:If_and_only_if dbr:Integer dbr:Bruhat_order dbr:Natural_number dbr:Rational_number dbr:Real_number dbr:Chain_(order_theory) dbr:Maximal_element dbr:Word_metric dbr:Vacuous_truth dbr:Maximal_chain dbr:Star_product dbr:Subset dbr:Lower_set dbr:Sperner_family dbr:Set_partition dbr:Minimal_element dbr:Descending_chain_condition dbr:Least_element dbr:File:Smallest_nonmodular_lattice_1.svg dbr:File:Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book |
| dct:subject | dbc:Algebraic_combinatorics dbc:Order_theory |
| rdfs:comment | In mathematics, in the branch of combinatorics, a graded poset is a partially-ordered set (poset) P equipped with a rank function ρ from P to the set N of all natural numbers. ρ must satisfy the following two properties: * The rank function is compatible with the ordering, meaning that for all x and y in the order, if x < y then ρ(x) < ρ(y), and * The rank is consistent with the covering relation of the ordering, meaning that for all x and y, if y covers x then ρ(y) = ρ(x) + 1. Graded posets play an important role in combinatorics and can be visualized by means of a Hasse diagram. (en) Градуированное частично упорядоченное множество (ЧУМ) — это частично упорядоченное множество P, снабжённое функцией ранга ρ из P в N, удовлетворяющей следующим двум свойствам: * Функция ранга совместима с упорядочиванием, в смысле, что для любых x и y с порядком x < y должно выполняться ρ(x) < ρ(y) * Функция ранга совместима с упорядочения, в смысле, что для любого x подчинённого y должно выполняться ρ(y) = ρ(x) + 1. Градуированные частично упорядоченные множества играют важную роль в комбинаторике и могут быть представлены в виде диаграммы Хассе. (ru) |
| rdfs:label | Graded poset (en) Градуированное частично упорядоченное множество (ru) |
| owl:sameAs | freebase:Graded poset wikidata:Graded poset dbpedia-ru:Graded poset https://global.dbpedia.org/id/4kJ8S |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Graded_poset?oldid=1110100466&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Smallest_nonmodular_lattice_1.svg wiki-commons:Special:FilePath/Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Graded_poset |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Grade |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Antimatroid dbr:Dominance_order dbr:Ranked_poset dbr:Geometric_lattice dbr:Graded_(mathematics) dbr:Sperner_property_of_a_partially_ordered_set dbr:Young's_lattice dbr:G._W._Peck dbr:H-vector dbr:Hasse_diagram dbr:Lattice_(order) dbr:Nilpotent_orbit dbr:Differential_poset dbr:Grade dbr:Coxeter_group dbr:Abstract_polytope dbr:Sperner's_theorem dbr:Root_system dbr:Eulerian_poset dbr:Star_product |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Graded_poset |
