Weyl group (original) (raw)
In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.
.png?width=300)
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte. (de) En matemáticas, en la teoría de grupos y álgebras de Lie, el grupo de Weyl de un es un subgrupo del grupo de isometrías del sistema de raíces. Concretamente, consiste en el grupo finito de reflexiones generado por las reflexiones con respecto a los hiperplanos ortogonales a las raíces. Reciben este nombre en honor a Hermann Weyl. (es) En mathématiques, et en particulier dans la théorie des algèbres de Lie, le groupe de Weyl d'un système de racines , nommé ainsi en hommage à Hermann Weyl, est le sous-groupe du groupe d'isométries du système de racines engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux hyperplans orthogonaux aux racines. (fr) In mathematics, in particular the theory of Lie algebras, the Weyl group (named after Hermann Weyl) of a root system Φ is a subgroup of the isometry group of that root system. Specifically, it is the subgroup which is generated by reflections through the hyperplanes orthogonal to the roots, and as such is a finite reflection group. In fact it turns out that most finite reflection groups are Weyl groups. Abstractly, Weyl groups are finite Coxeter groups, and are important examples of these. The Weyl group of a semisimple Lie group, a semisimple Lie algebra, a semisimple linear algebraic group, etc. is the Weyl group of the root system of that group or algebra. (en) 수학에서 바일 군(영어: Weyl group)은 근계의 반사 자기동형군이다. 헤르만 바일의 이름을 땄다. (ko) 数学、特にリー環の理論において、ルート系 Φ のワイル群（英: Weyl group）は、ルート系のの部分群である。具体的には、ルートに直交する超平面に関する鏡映によって生成される部分群のことで、そのようなものとしてである。抽象的には、ワイル群はであり、その重要な例である。 半単純リー群、半単純リー環、線型代数群、などのワイル群はその群あるいは環のルート系のワイル群である。 名前はヘルマン・ワイル (Hermann Weyl) にちなむ。 (ja) In matematica, in particolare la teoria delle algebre di Lie, il gruppo di Weyl (dal nome di Hermann Weyl) di un sistema di radici è un sottogruppo del gruppo di isometrie di quel sistema di radici. Nello specifico, è il sottogruppo che si genera per riflessioni attraverso gli iperpiani ortogonali alle radici, e come tale è un gruppo finito di riflessioni. Infatti risulta che la maggior parte dei gruppi di riflessione finiti sono gruppi di Weyl. [1] astratto, i gruppi di Weyl sono gruppi di Coxeter finiti e ne sono esempi importanti. Il gruppo di Weyl di un gruppo di Lie semisemplice, un'algebra di Lie semisemplice, un gruppo algebrico lineare semisemplice, ecc. è il gruppo di Weyl del sistema di radici di quel gruppo o algebra . (it) In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, en met name in de theorie van de Lie-algebra's, is de weyl-groep van een wortelsysteem, , een deelgroep van de isometriegroep van dat wortelsysteem. Concreet is het de deelgroep die wordt gegenereerd door spiegelingen door de hypervlakken die loodrecht op de wortels staan. Het wortelstelsel van bijvoorbeeld bestaat uit de hoekpunten van een regelmatige zeshoek die in de oorsprong is gecentreerd. De weyl-groep van dit wortelsysteem is een deelgroep van index twee van de dihedrale groep van orde 12. De weyl-groep is isomorf met , de symmetrische groep, die wordt gegenereerd door de drie spiegelingen op de hoofddiagonaal van de zeshoek. De weyl-groep van een halfenkelvoudige lie-groep, een halfenkelvoudige lie-algebra, een halfenkelvoudige , enz. is de weyl-groep van het wortelstelsel van die groep of die algebra (nl) Grupą Weyla – grupa symetrii układu pierwiastkowego. W zależności od konkretnej realizacji układu pierwiastkowego rozpatrywane są różne grupy Weyla: , , grupy algebraicznej. (pl) Група Вейля — група, породжена відображеннями в гіперплощинами, ортогональними до коренів кореневої системи групи Лі, алгебри Лі або інших алгебричних об'єктів. Названа на честь Германа Вейля. (uk) Группа Вейля — группа, порождённая отражениями в гиперплоскостях, ортогональных к корням корневой системы группы Ли,алгебры Ли или других алгебраических объектов. Названа в честь Германа Вейля. (ru) 在數學裡，尤其是在李群的理論中，一根系的外尔群是指經由正交於根之超平面的鏡面而產生之根系的等距同構群之子群。例如，根系A2包含中心為原點之正六邊形的角。根系的對稱之整個群因此是有12階的二面體群。外尔群產生於將六邊形平分成兩半的線之鏡射；其為6階的二面體群。 李群、半單李代數和半單等之外尔群為群或代數之根系的外尔群。 除去由Φ的根所定義之超平面會將歐幾里得空間切成有限個開領域，此領域稱為外尔腔。這些領域可以被外尔群的群作用置換，且此一群作用為簡單傳遞的。特別地是，外尔腔的數量是和外尔群的階相同的。任一非零向量都可以以正交於v之超平面v∧將歐幾里得空間分成兩個半空間－v+和v−。若v在某一外尔腔裡，則沒有根會在v∧，所以每一個根都會在v+或v−裡，且若其一根α在一邊，則其另外一根−α會在另外一邊。因此，Φ+ := Φ∩v+包含著Φ正好一半的根。當然Φ+和v有關，但只要v待在同一個外尔腔裡，Φ+就不會改變。根據上述選擇的根系之基為在Φ+內的簡單根，即其不能被寫成於Φ+內另外兩個根之和的根。因此，外尔腔、Φ+和其基決定了另一個，且外尔群在每一狀況下都為簡單傳遞。下面的圖示描繪了根系A2的六個外尔腔，一選定的v及其超平面v∧(以虛線表示)及正根α、β和γ。此例中的基為{α,γ}。 外尔群為考克斯特群的一特例。這表示其有一特殊種類的展現，其中每一產生子xi均為二階，且有異於xi2的關係(xixj)mij。產生子是由簡單根所給出的鏡射，且mij依據根i和j之間的角度為90度、120度、135度或150度等不同(即根據其在鄧肯圖內為不相連、以單邊相連、以雙邊相連、以三邊相連)而分別為2、3、4及6。一外尔群元素的長度為可以以最少字展現其以標準產生子表示之元素的長度。 若G為一在代數閉體上的半單線代數群，且T為一極大環面，則T的正規化子N包含著T，為一有限指數之子群，且G的外尔群W會同構於N/T。若B為G的且將T選定放在B內，即可得到布吕阿分解 其將G/B的分解映射至舒伯特細胞內。(詳見格拉斯曼空間) (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/A2_Weyl_group_(revised).png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://www.springer.com/jp/book/9783319134666 http://www.heldermann-verlag.de/jlt/jlt14/mattla2e.pdf http://www.jenn3d.org/index.html%7Ctitle= http://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/dspace/bitstream/2261/6049/1/jfs110203.pdf https://books.google.com/books%3Fid=1TBPz5sd8m0C https://books.google.com/books%3Fid=2CSYFcgAlRMC https://books.google.com/books%3Fid=525Gh4uzjnIC https://books.google.com/books%3Fid=7jzvAAAAMAAJ https://books.google.com/books%3Fid=KmL1uuiMyFUC&pg=PP10 https://books.google.com/books%3Fid=ODfjmOeNLMUC http://www.math.osu.edu/~mdavis/davisbook.pdf |
| dbo:wikiPageID | 296332 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 21608 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1027344393 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Presentation_of_a_group dbr:Algebraic_group dbr:Dynkin_diagram dbr:Index_of_a_subgroup dbr:Lie_group dbr:Permutation_matrices dbc:Lie_algebras dbr:Coxeter–Dynkin_diagram dbr:Mathematics dbr:Orthogonal dbr:Grassmannian dbr:Connected_space dbr:Lie_algebra dbr:Subgroup dbr:Symmetric_space dbr:Torus dbr:Hasse_diagram dbr:Linear_algebraic_group dbr:Poincaré_duality dbc:Lie_groups dbr:Field_with_one_element dbr:Outer_automorphism_group dbc:Finite_reflection_groups dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Isometry_group dbr:Length_function dbr:Length_of_a_Weyl_group_element dbr:Group_cohomology dbr:Hermann_Weyl dbr:Hyperplane dbr:Finite_Coxeter_group dbr:Finite_reflection_group dbr:Maximal_torus dbr:Weight_(representation_theory) dbr:Borel_subgroup dbr:Bruhat_decomposition dbr:Bruhat_order dbr:Cartan_subalgebra dbr:Semidirect_product dbr:Semisimple_Lie_group dbr:Generalized_permutation_matrices dbr:Longest_element_of_a_Coxeter_group dbr:Root_system dbr:Solvable_group dbr:Symmetric_group dbr:Semisimple_Lie_algebra dbr:Root_system_of_a_semi-simple_Lie_algebra dbr:Affine_Weyl_group dbr:Normalizer dbr:Centralizer dbr:Flag_variety dbr:Q-factorial dbr:File:A2_Weyl_group_(revised).png dbr:File:Weyl_chambers_for_A2.png |
| dbp:author1Link | Vladimir L. Popov (en) |
| dbp:first | A.S. (en) V.L. (en) |
| dbp:id | p/c026980 (en) |
| dbp:last | Popov (en) Fedenko (en) |
| dbp:title | Coxeter group (en) Weyl group (en) |
| dbp:urlname | CoxeterGroup (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Citation dbt:Further dbt:Main dbt:MathWorld dbt:Ref_begin dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Sfn dbt:Short_description dbt:Harvnb dbt:SpringerEOM dbt:Lie_groups |
| dbp:year | 2001 (xsd:integer) |
| dcterms:subject | dbc:Lie_algebras dbc:Lie_groups dbc:Finite_reflection_groups |
| gold:hypernym | dbr:Subgroup |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatLieAlgebras yago:WikicatLieGroups yago:Abstraction100002137 yago:Algebra106012726 yago:Cognition100023271 yago:Content105809192 yago:Discipline105996646 yago:Group100031264 yago:KnowledgeDomain105999266 yago:Mathematics106000644 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:PureMathematics106003682 dbo:EthnicGroup yago:Science105999797 yago:WikicatFiniteReflectionGroups |
| rdfs:comment | In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte. (de) En matemáticas, en la teoría de grupos y álgebras de Lie, el grupo de Weyl de un es un subgrupo del grupo de isometrías del sistema de raíces. Concretamente, consiste en el grupo finito de reflexiones generado por las reflexiones con respecto a los hiperplanos ortogonales a las raíces. Reciben este nombre en honor a Hermann Weyl. (es) En mathématiques, et en particulier dans la théorie des algèbres de Lie, le groupe de Weyl d'un système de racines , nommé ainsi en hommage à Hermann Weyl, est le sous-groupe du groupe d'isométries du système de racines engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux hyperplans orthogonaux aux racines. (fr) 수학에서 바일 군(영어: Weyl group)은 근계의 반사 자기동형군이다. 헤르만 바일의 이름을 땄다. (ko) 数学、特にリー環の理論において、ルート系 Φ のワイル群（英: Weyl group）は、ルート系のの部分群である。具体的には、ルートに直交する超平面に関する鏡映によって生成される部分群のことで、そのようなものとしてである。抽象的には、ワイル群はであり、その重要な例である。 半単純リー群、半単純リー環、線型代数群、などのワイル群はその群あるいは環のルート系のワイル群である。 名前はヘルマン・ワイル (Hermann Weyl) にちなむ。 (ja) Grupą Weyla – grupa symetrii układu pierwiastkowego. W zależności od konkretnej realizacji układu pierwiastkowego rozpatrywane są różne grupy Weyla: , , grupy algebraicznej. (pl) Група Вейля — група, породжена відображеннями в гіперплощинами, ортогональними до коренів кореневої системи групи Лі, алгебри Лі або інших алгебричних об'єктів. Названа на честь Германа Вейля. (uk) Группа Вейля — группа, порождённая отражениями в гиперплоскостях, ортогональных к корням корневой системы группы Ли,алгебры Ли или других алгебраических объектов. Названа в честь Германа Вейля. (ru) In matematica, in particolare la teoria delle algebre di Lie, il gruppo di Weyl (dal nome di Hermann Weyl) di un sistema di radici è un sottogruppo del gruppo di isometrie di quel sistema di radici. Nello specifico, è il sottogruppo che si genera per riflessioni attraverso gli iperpiani ortogonali alle radici, e come tale è un gruppo finito di riflessioni. Infatti risulta che la maggior parte dei gruppi di riflessione finiti sono gruppi di Weyl. [1] astratto, i gruppi di Weyl sono gruppi di Coxeter finiti e ne sono esempi importanti. (it) In mathematics, in particular the theory of Lie algebras, the Weyl group (named after Hermann Weyl) of a root system Φ is a subgroup of the isometry group of that root system. Specifically, it is the subgroup which is generated by reflections through the hyperplanes orthogonal to the roots, and as such is a finite reflection group. In fact it turns out that most finite reflection groups are Weyl groups. Abstractly, Weyl groups are finite Coxeter groups, and are important examples of these. (en) In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, en met name in de theorie van de Lie-algebra's, is de weyl-groep van een wortelsysteem, , een deelgroep van de isometriegroep van dat wortelsysteem. De weyl-groep van een halfenkelvoudige lie-groep, een halfenkelvoudige lie-algebra, een halfenkelvoudige , enz. is de weyl-groep van het wortelstelsel van die groep of die algebra (nl) 在數學裡，尤其是在李群的理論中，一根系的外尔群是指經由正交於根之超平面的鏡面而產生之根系的等距同構群之子群。例如，根系A2包含中心為原點之正六邊形的角。根系的對稱之整個群因此是有12階的二面體群。外尔群產生於將六邊形平分成兩半的線之鏡射；其為6階的二面體群。 李群、半單李代數和半單等之外尔群為群或代數之根系的外尔群。 除去由Φ的根所定義之超平面會將歐幾里得空間切成有限個開領域，此領域稱為外尔腔。這些領域可以被外尔群的群作用置換，且此一群作用為簡單傳遞的。特別地是，外尔腔的數量是和外尔群的階相同的。任一非零向量都可以以正交於v之超平面v∧將歐幾里得空間分成兩個半空間－v+和v−。若v在某一外尔腔裡，則沒有根會在v∧，所以每一個根都會在v+或v−裡，且若其一根α在一邊，則其另外一根−α會在另外一邊。因此，Φ+ := Φ∩v+包含著Φ正好一半的根。當然Φ+和v有關，但只要v待在同一個外尔腔裡，Φ+就不會改變。根據上述選擇的根系之基為在Φ+內的簡單根，即其不能被寫成於Φ+內另外兩個根之和的根。因此，外尔腔、Φ+和其基決定了另一個，且外尔群在每一狀況下都為簡單傳遞。下面的圖示描繪了根系A2的六個外尔腔，一選定的v及其超平面v∧(以虛線表示)及正根α、β和γ。此例中的基為{α,γ}。 其將G/B的分解映射至舒伯特細胞內。(詳見格拉斯曼空間) (zh) |
| rdfs:label | Weyl-Gruppe (de) Grupo de Weyl (es) Groupe de Weyl (fr) Gruppo di Weyl (it) ワイル群 (ja) 바일 군 (ko) Weyl-groep (nl) Grupa Weyla (pl) Группа Вейля (ru) Weyl group (en) 外尔群 (zh) Група Вейля (uk) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Field_with_one_element dbr:Coxeter_group |
| owl:sameAs | freebase:Weyl group yago-res:Weyl group wikidata:Weyl group dbpedia-de:Weyl group dbpedia-es:Weyl group dbpedia-fa:Weyl group dbpedia-fr:Weyl group dbpedia-it:Weyl group dbpedia-ja:Weyl group dbpedia-ko:Weyl group dbpedia-nl:Weyl group dbpedia-pl:Weyl group dbpedia-ru:Weyl group dbpedia-uk:Weyl group dbpedia-zh:Weyl group https://global.dbpedia.org/id/4vqh7 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Weyl_group?oldid=1027344393&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/A2_Weyl_group_(revised).png wiki-commons:Special:FilePath/Weyl_chambers_for_A2.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Weyl_group |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Positive_Weyl_chamber dbr:Weyl_chamber |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Minuscule_representation dbr:Monster_Lie_algebra dbr:Springer_correspondence dbr:Bianchi_classification dbr:Borel–Weil–Bott_theorem dbr:Huygens–Fresnel_principle dbr:Hyperoctahedral_group dbr:Littelmann_path_model dbr:Path_graph dbr:Representation_theory_of_the_Lorentz_group dbr:Cubic_surface dbr:Dynkin_diagram dbr:E7_(mathematics) dbr:E8_lattice dbr:Invariant_convex_cone dbr:Iwahori–Hecke_algebra dbr:L-packet dbr:Lie_group_decomposition dbr:Lie_theory dbr:List_of_group_theory_topics dbr:(B,_N)_pair dbr:Complex_reflection_group dbr:Complexification_(Lie_group) dbr:Cornelia_Druțu dbr:Chevalley_restriction_theorem dbr:Generalized_Kac–Moody_algebra dbr:Generalized_Verma_module dbr:Generalized_flag_variety dbr:Generalized_permutation_matrix dbr:Nichols_algebra dbr:Q-analog dbr:François_Bruhat dbr:Geordie_Williamson dbr:George_Lusztig dbr:Glossary_of_Lie_groups_and_Lie_algebras dbr:Weyl_distance_function dbr:Arrangement_of_hyperplanes dbr:Macdonald_polynomials dbr:Cluster_algebra dbr:Compact_group dbr:Deligne–Lusztig_theory dbr:Demazure_module dbr:Fully_normalized_subgroup dbr:Chevalley_theorem dbr:Harish-Chandra_isomorphism dbr:Icosian dbr:Identity_component dbr:Steinberg_representation dbr:Zonal_spherical_function dbr:Building_(mathematics) dbr:Wilhelm_Killing dbr:G2_(mathematics) dbr:Hecke_algebra_of_a_locally_compact_group dbr:Linear_algebraic_group dbr:Poincaré_duality dbr:24-cell dbr:4 dbr:600-cell dbr:Affine_Lie_algebra dbr:E6_(mathematics) dbr:E8_(mathematics) dbr:Field_with_one_element dbr:Cellular_algebra dbr:Centralizer_and_normalizer dbr:Discrete_series_representation dbr:Kostant's_convexity_theorem dbr:Kostant_polynomial dbr:Length_of_a_Weyl_group_element dbr:List_of_Lie_groups_topics dbr:Reflection_map dbr:Riemannian_connection_on_a_surface dbr:Harish-Chandra's_c-function dbr:Coxeter_complex dbr:Coxeter_group dbr:Simple_Lie_group dbr:Affine_Hecke_algebra dbr:Affine_action dbr:Kazhdan–Lusztig_polynomial dbr:Maximal_torus dbr:Wilson_loop dbr:Reductive_group dbr:Reflection_group dbr:Arthur–Selberg_trace_formula dbr:Borel–de_Siebenthal_theory dbr:Burkhardt_quartic dbr:Special_linear_Lie_algebra dbr:Special_unitary_group dbr:Class_formation dbr:Group_theory dbr:Infinitesimal_character dbr:Bruhat_decomposition dbr:Bruhat_order dbr:Cartan_subalgebra dbr:Mutually_unbiased_bases dbr:Root_system dbr:SO(8) dbr:Satake_isomorphism dbr:Unitary_group dbr:Verma_module dbr:F4_(mathematics) dbr:List_of_things_named_after_Hermann_Weyl dbr:Symmetric_group dbr:Quantum_group dbr:Point_groups_in_three_dimensions dbr:Finite_group dbr:Steinberg_formula dbr:Schubert_variety dbr:Plancherel_theorem_for_spherical_functions dbr:Sl2-triple dbr:Weyl_character_formula dbr:Representation_theory_of_semisimple_Lie_algebras dbr:Restricted_representation dbr:Weyl_integration_formula dbr:P-compact_group dbr:Translation_functor dbr:Positive_Weyl_chamber dbr:Weyl_chamber |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Weyl_group |
