Hyperdeterminant (original) (raw)
In algebra, the hyperdeterminant is a generalization of the determinant. Whereas a determinant is a scalar valued function defined on an n × n square matrix, a hyperdeterminant is defined on a multidimensional array of numbers or tensor. Like a determinant, the hyperdeterminant is a homogeneous polynomial with integer coefficients in the components of the tensor. Many other properties of determinants generalize in some way to hyperdeterminants, but unlike a determinant, the hyperdeterminant does not have a simple geometric interpretation in terms of volumes.
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| dbo:abstract | In algebra, the hyperdeterminant is a generalization of the determinant. Whereas a determinant is a scalar valued function defined on an n × n square matrix, a hyperdeterminant is defined on a multidimensional array of numbers or tensor. Like a determinant, the hyperdeterminant is a homogeneous polynomial with integer coefficients in the components of the tensor. Many other properties of determinants generalize in some way to hyperdeterminants, but unlike a determinant, the hyperdeterminant does not have a simple geometric interpretation in terms of volumes. There are at least three definitions of hyperdeterminant. The first was discovered by Arthur Cayley in 1843 presented to the Cambridge Philosophical Society. It is in two parts and Cayley's first hyperdeterminant is covered in the second part. It is usually denoted by det0. The second Cayley hyperdeterminant originated in 1845 and is often denoted "Det". This definition is a discriminant for a singular point on a scalar valued multilinear map. Cayley's first hyperdeterminant is defined only for hypercubes having an even number of dimensions (although variations exist in odd dimensions). Cayley's second hyperdeterminant is defined for a restricted range of hypermatrix formats (including the hypercubes of any dimensions). The third hyperdeterminant, most recently defined by Glynn, occurs only for fields of prime characteristic p. It is denoted by detp and acts on all hypercubes over such a field. Only the first and third hyperdeterminants are "multiplicative," except for the second hyperdeterminant in the case of "boundary" formats. The first and third hyperdeterminants also have closed formulae as polynomials and therefore their degrees are known, whereas the second one does not appear to have a closed formula or degree in all cases that are known. The notation for determinants can be extended to hyperdeterminants without change or ambiguity. Hence the hyperdeterminant of a hypermatrix A may be written using the vertical bar notation as |A | or as det(A). A standard modern textbook on Cayley's second hyperdeterminant Det (as well as many other results) is "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants" by Gel'fand, Kapranov and Zelevinsky. Their notation and terminology is followed in the next section. (en) En algèbre, l'hyperdéterminant est une généralisation du déterminant. Alors qu'un déterminant est une fonction scalaire définie sur une matrice carrée n × n, un hyperdéterminant est défini sur un tableau multidimensionnel de nombres ou tenseur. Comme un déterminant, l'hyperdéterminant est un polynôme homogène à coefficients entiers dans les composantes du tenseur. De nombreuses autres propriétés des déterminants se généralisent d'une certaine manière aux hyperdéterminants, mais contrairement à un déterminant, l'hyperdéterminant n'a pas d'interprétation géométrique simple en termes de volumes. Il existe au moins trois définitions de l'hyperdéterminant. Le premier a été découvert par Arthur Cayley en 1843 présenté à la Cambridge Philosophical Society. Il est en deux parties et le premier hyperdéterminant de Cayley est couvert dans la deuxième partie. Il est généralement noté det0. Le deuxième hyperdéterminant de Cayley est né en 1845 et est souvent noté Det. Cette définition est un discriminant pour un point singulier sur une forme multilinéaire. Le premier hyperdéterminant de Cayley n'est défini que pour les hypercubes ayant un nombre pair de dimensions (bien que des variations existent dans les dimensions impaires). Le deuxième hyperdéterminant de Cayley est défini pour une gamme restreinte de formats d'hypermatrices (y compris les hypercubes de toutes dimensions). Le troisième hyperdéterminant, défini le plus récemment par Glynn, n'apparaît que pour les champs de caractéristique première p. Il est noté detp et agit sur tous les hypercubes d'un tel champ. Seuls les premier et troisième hyperdéterminants sont « multiplicatifs », à l'exception du deuxième hyperdéterminant dans le cas des formats « frontières ». Les premier et troisième hyperdéterminants ont également des formules fermées sous forme de polynômes et donc leurs degrés sont connus, alors que le second ne semble pas avoir de formule fermée ou de degré dans tous les cas connus. La notation des déterminants peut être étendue aux hyperdéterminants sans changement ni ambiguïté. Par conséquent, l'hyperdéterminant d'une hypermatrice A peut être écrit en utilisant la notation entre barres verticales | A |
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