Integer triangle (original) (raw)
An integer triangle or integral triangle is a triangle all of whose sides have lengths that are integers. A rational triangle can be defined as one having all sides with rational length; any such rational triangle can be integrally rescaled (can have all sides multiplied by the same integer, namely a common multiple of their denominators) to obtain an integer triangle, so there is no substantive difference between integer triangles and rational triangles in this sense. However, other definitions of the term "rational triangle" also exist: In 1914 Carmichael used the term in the sense that we today use the term Heronian triangle; Somos uses it to refer to triangles whose ratios of sides are rational; Conway and Guy define a rational triangle as one with rational sides and rational angles me
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Un triángulo entero (también denominado en ocasiones triángulo integral) se caracteriza porque sus lados tienen longitudes que son números enteros. Un triángulo racional se puede definir como uno que tiene todos los lados con longitud racional, si bien cualquier triángulo racional de este tipo se puede volver a escalar (puede tener todos los lados multiplicados por el mismo entero, es decir, un múltiplo común de sus denominadores) para obtener un triángulo entero, por lo que no hay diferencia sustancial entre triángulos enteros y triángulos racionales en este sentido. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que también existen otras definiciones del término "triángulo racional": en 1914, Carmichael utilizó el término en el sentido en que hoy se usa el término de triángulo heroniano; Somos lo usa para referirse a triángulos cuyas proporciones entre sus lados son racionales; Conway y Guy definen un triángulo racional como uno con lados racionales y ángulos racionales medidos en grados, en cuyo caso el único triángulo racional es el triángulo equilátero de lado racional. Los triángulos enteros poseen varias propiedades generales, explicadas en la primera sección que figura a continuación. Todas las demás secciones se refieren a clases de triángulos enteros con propiedades específicas. (es) An integer triangle or integral triangle is a triangle all of whose sides have lengths that are integers. A rational triangle can be defined as one having all sides with rational length; any such rational triangle can be integrally rescaled (can have all sides multiplied by the same integer, namely a common multiple of their denominators) to obtain an integer triangle, so there is no substantive difference between integer triangles and rational triangles in this sense. However, other definitions of the term "rational triangle" also exist: In 1914 Carmichael used the term in the sense that we today use the term Heronian triangle; Somos uses it to refer to triangles whose ratios of sides are rational; Conway and Guy define a rational triangle as one with rational sides and rational angles measured in degrees—in which case the only rational triangle is the rational-sided equilateral triangle. There are various general properties for an integer triangle, given in the first section below. All other sections refer to classes of integer triangles with specific properties. (en) Um triângulo inteiro é um triângulo em que todos os lados têm comprimentos que são números inteiros. Um triângulo racional pode ser definida como tendo todos os lados com comprimento racional; tal triângulo racional pode ser alterado em escala e transformado num triângulo inteiro, isso é, pode ter todos os lados multiplicado pelo mesmo número inteiro, múltiplo comum dos seus denominadores, de modo que não existe diferença substancial entre triângulos inteiros e triângulos racionais nesse sentido. Note-se, no entanto, que outras definições do termo "triângulo racional" também existem: Em 1914 Carmichael usou o termo no sentido que usamos hoje o termo ; usa para referir-se a triângulos cujas proporções de cada lado são racionais; Conway e Guy definem um triângulo como racional com lados racionais e ângulos racionais medidos em graus, caso em que o único triângulo racional é o triângulo equilátero de lados racionais. (pt) Цілочисельний трикутник — це трикутник, усі сторони якого мають цілі довжини. Раціональний трикутник можна означити як трикутник, у якого всі сторони мають раціональну довжину; будь-який раціональний трикутник можна змінити (всі сторони помножити на одне й те ж натуральне число, а саме спільне кратне їхніх знаменників) так, щоб отримати цілочисельний трикутник, тому в цьому розумінні немає істотної різниці між цілочисельними та раціональними трикутниками. Однак існують і інші визначення терміну «раціональний трикутник»: у 1914 році Кармайкл використав цей термін у тому розумінні, у якому ми сьогодні використовуємо термін трикутник Герона; Сомос використовує його для позначення трикутників, відношення сторін яких є раціональними; Конвей і Гай визначають раціональний трикутник як трикутник з раціональними сторонами і раціональними кутами, виміряними в градусах; отже, єдиним раціональним трикутником, що задовольняє всі означення, є рівносторонній трикутник з раціональними сторонами. Існують різні властивості цілочисельного трикутника, наведені в першому розділі нижче. Усі інші розділи стосуються класів цілочисельних трикутників із певними властивостями. (uk) Целочисленный треугольник — это треугольник, длины всех сторон которого выражаются целыми числами. Рациональный треугольник можно определить как треугольник, стороны которого являются рациональными числами. Любой рациональный треугольник можно привести к целочисленному (умножив все стороны на одно и то же число, наименьшее общее кратное знаменателей), так что нет существенной разницы между целочисленными и рациональными треугольниками. Заметим, однако, что существуют и другие определения «рационального треугольника». Так, в 1914 Кармайкл использовал этот термин для обозначения того, что мы теперь называем героновым треугольником. Сомос (Somos) использует термин для треугольников, отношения сторон которого являются рациональными числами. Конвей и Гай определяют рациональный треугольник как треугольник с рациональными сторонами и углами (в градусах) — в этом случае рациональными будут только равносторонние треугольники с рациональными сторонами. У целочисленных треугольников есть несколько общих свойств (см. первый раздел ниже). Все остальные разделы посвящены целочисленным треугольникам со специфичными свойствами. (ru) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Triangle-heronian.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 27430123 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 40126 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1103626977 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cartesian_coordinate_system dbr:Pythagorean_triple dbr:Hypotenuse dbr:Volume dbr:Incenter dbr:Integer_sequence dbr:Acute_triangle dbr:Geometric_progression dbr:Niven's_theorem dbr:Obtuse_triangle dbr:Circumcenter dbr:Elliptic_curve dbr:Equilateral_triangle dbr:Golden_ratio dbr:Greatest_common_divisor dbr:Modular_arithmetic dbc:Arithmetic_problems_of_plane_geometry dbr:Congruence_(geometry) dbr:Cosine dbr:Angle dbc:Discrete_geometry dbr:Similarity_(geometry) dbr:Sine dbr:Half-integer dbr:Harmonic_progression_(mathematics) dbr:Parity_(mathematics) dbr:Perimeter dbr:Semiperimeter dbc:Types_of_triangles dbr:Triangle_inequality dbr:Triangular_number dbr:Lattice_(group) dbr:Lattice_graph dbr:Absolute_value dbr:Altitude_(triangle) dbr:Euler_brick dbr:Excircle dbc:Squares_in_number_theory dbr:Partition_(number_theory) dbr:Isosceles_triangle dbr:Circumradius dbr:Inradius dbr:Heron's_formula dbr:Angle_bisector dbr:Tetrahedra dbr:Tetrahedron dbr:Prime_number dbr:Area dbr:Arithmetic_progression dbr:Alcuin's_sequence dbr:Law_of_cosines dbr:Eisenstein_triple dbr:Heronian_triangle dbr:Triangle dbr:Pick's_theorem dbr:Square_number dbr:Square_root dbr:Coprime dbr:Idoneal_number dbr:If_and_only_if dbr:Incircle dbr:Integer dbr:Rational_number dbr:Median_(geometry) dbr:Up_to dbr:Euler's_theorem_in_geometry dbr:Extended_side dbr:Face_(geometry) dbr:Robbins_pentagon dbr:Right_triangle dbr:Similar_triangles dbr:Common_factor dbr:Common_multiple dbr:Excenter dbr:Heronian_angle dbr:File:Triangle-heronian.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:= dbt:Cn dbt:Frac dbt:Main_article dbt:Math dbt:OEIS dbt:Pi dbt:Reflist dbt:Rp dbt:Sfrac dbt:Short_description dbt:Use_American_English |
| dct:subject | dbc:Arithmetic_problems_of_plane_geometry dbc:Discrete_geometry dbc:Types_of_triangles dbc:Squares_in_number_theory |
| gold:hypernym | dbr:Triangle |
| rdf:type | dbo:Place yago:WikicatArithmeticProblemsOfPlaneGeometry yago:WikicatTriangles yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:Condition113920835 yago:Difficulty114408086 yago:Figure113862780 yago:PlaneFigure113863186 yago:Polygon113866144 yago:Problem114410605 yago:Shape100027807 yago:State100024720 yago:Triangle113879320 |
| rdfs:comment | An integer triangle or integral triangle is a triangle all of whose sides have lengths that are integers. A rational triangle can be defined as one having all sides with rational length; any such rational triangle can be integrally rescaled (can have all sides multiplied by the same integer, namely a common multiple of their denominators) to obtain an integer triangle, so there is no substantive difference between integer triangles and rational triangles in this sense. However, other definitions of the term "rational triangle" also exist: In 1914 Carmichael used the term in the sense that we today use the term Heronian triangle; Somos uses it to refer to triangles whose ratios of sides are rational; Conway and Guy define a rational triangle as one with rational sides and rational angles me (en) Un triángulo entero (también denominado en ocasiones triángulo integral) se caracteriza porque sus lados tienen longitudes que son números enteros. Un triángulo racional se puede definir como uno que tiene todos los lados con longitud racional, si bien cualquier triángulo racional de este tipo se puede volver a escalar (puede tener todos los lados multiplicados por el mismo entero, es decir, un múltiplo común de sus denominadores) para obtener un triángulo entero, por lo que no hay diferencia sustancial entre triángulos enteros y triángulos racionales en este sentido. (es) Um triângulo inteiro é um triângulo em que todos os lados têm comprimentos que são números inteiros. Um triângulo racional pode ser definida como tendo todos os lados com comprimento racional; tal triângulo racional pode ser alterado em escala e transformado num triângulo inteiro, isso é, pode ter todos os lados multiplicado pelo mesmo número inteiro, múltiplo comum dos seus denominadores, de modo que não existe diferença substancial entre triângulos inteiros e triângulos racionais nesse sentido. Note-se, no entanto, que outras definições do termo "triângulo racional" também existem: Em 1914 Carmichael usou o termo no sentido que usamos hoje o termo ; usa para referir-se a triângulos cujas proporções de cada lado são racionais; Conway e Guy definem um triângulo como racional com lados (pt) Целочисленный треугольник — это треугольник, длины всех сторон которого выражаются целыми числами. Рациональный треугольник можно определить как треугольник, стороны которого являются рациональными числами. Любой рациональный треугольник можно привести к целочисленному (умножив все стороны на одно и то же число, наименьшее общее кратное знаменателей), так что нет существенной разницы между целочисленными и рациональными треугольниками. Заметим, однако, что существуют и другие определения «рационального треугольника». Так, в 1914 Кармайкл использовал этот термин для обозначения того, что мы теперь называем героновым треугольником. Сомос (Somos) использует термин для треугольников, отношения сторон которого являются рациональными числами. Конвей и Гай определяют рациональный треугольник как (ru) Цілочисельний трикутник — це трикутник, усі сторони якого мають цілі довжини. Раціональний трикутник можна означити як трикутник, у якого всі сторони мають раціональну довжину; будь-який раціональний трикутник можна змінити (всі сторони помножити на одне й те ж натуральне число, а саме спільне кратне їхніх знаменників) так, щоб отримати цілочисельний трикутник, тому в цьому розумінні немає істотної різниці між цілочисельними та раціональними трикутниками. Однак існують і інші визначення терміну «раціональний трикутник»: у 1914 році Кармайкл використав цей термін у тому розумінні, у якому ми сьогодні використовуємо термін трикутник Герона; Сомос використовує його для позначення трикутників, відношення сторін яких є раціональними; Конвей і Гай визначають раціональний трикутник як трикутник з (uk) |
| rdfs:label | Triángulo entero (es) Integer triangle (en) Triângulo inteiro (pt) Целочисленный треугольник (ru) Цілочисельний трикутник (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Integer triangle yago-res:Integer triangle wikidata:Integer triangle dbpedia-es:Integer triangle dbpedia-pt:Integer triangle dbpedia-ru:Integer triangle dbpedia-sl:Integer triangle dbpedia-uk:Integer triangle https://global.dbpedia.org/id/4nQq5 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Integer_triangle?oldid=1103626977&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Triangle-heronian.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Integer_triangle |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Rational_triangle dbr:Rational_triangles dbr:Integer-sided_triangle dbr:Integer_geometry dbr:Integer_sided_triangle dbr:Integral_triangle |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Pythagorean_triple dbr:List_of_sums_of_reciprocals dbr:List_of_geometry_topics dbr:Equilateral_triangle dbr:Parametric_equation dbr:Acute_and_obtuse_triangles dbr:Lattice_graph dbr:5-Con_triangles dbr:Fermat's_Last_Theorem dbr:Harborth's_conjecture dbr:Primitive dbr:Arithmetic_progression dbr:Bisection dbr:Eisenstein_triple dbr:Heronian_triangle dbr:Triangle dbr:Automedian_triangle dbr:Special_right_triangle dbr:List_of_triangle_topics dbr:Optic_equation dbr:Sum_of_squares dbr:Right_triangle dbr:Rational_triangle dbr:Rational_triangles dbr:Integer-sided_triangle dbr:Integer_geometry dbr:Integer_sided_triangle dbr:Integral_triangle |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Integer_triangle |
