Nuclear space (original) (raw)
核型空間（かくけいくうかん）とは、数学において有限次元ベクトル空間の良い性質を多く持つ位相ベクトル空間である．その位相は単位球が急速に小さくなる半ノルムの族により定義される．その要素がある意味で「滑らか」なベクトル空間は核型空間となることが多い；核型空間の典型的な例は，コンパクトな多様体上の滑らかな関数の集合である. 有限次元ベクトル空間はすべて核型である (有限次元ベクトル空間上の作用素はすべて核作用素なので). 核型となるバナッハ空間は, 有限次元のものを除いて存在しない．実際にはこれのある種の逆がしばしば成り立つ：もし「自然に現れる」位相ベクトル空間がバナッハ空間でなければ, それが核型となる可能性が大いにある. 核型空間の理論の多くはアレクサンドル・グロタンディークにより展開され，で出版された.
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| dbo:abstract | Unter einem nuklearen Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind nuklear. Während normierte Räume, insbesondere Banachräume oder Hilberträume, Verallgemeinerungen endlichdimensionaler Vektorräume über ( oder ) unter Beibehaltung der Norm aber unter Verlust von Kompaktheitseigenschaften darstellen, liegt der Schwerpunkt bei den nuklearen Räumen, die im unendlichdimensionalen Fall nicht normierbar sind, auf den Kompaktheitseigenschaften. Ferner erweisen sich unbedingte Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen in nuklearen Räumen als äquivalent. In diesem Sinne sind die nuklearen Räume näher an den endlichdimensionalen Räumen als die Banachräume. Die auf Alexander Grothendieck zurückgehenden nuklearen Räume lassen sich auf vielfältige Weise einführen.Als Definition wird hier die am einfachsten formulierbare Variante gewählt, anschließend folgt eine Liste äquivalenter Charakterisierungen, die gleichzeitig eine Reihe wichtiger Eigenschaften nuklearer Räume darstellen. Es folgen Beispiele und weitere Eigenschaften. (de) En mathématiques, et plus précisément en analyse, un espace nucléaire est un espace vectoriel topologique possédant certaines propriétés analogues à celles des espaces de dimension finie. Leur topologie peut être définie par une famille de semi-normes dont la taille des boules unités décroit rapidement. Les espaces vectoriels dont les éléments sont « lisses » en un certain sens sont souvent des espaces nucléaires ; un exemple typique est celui des fonctions régulières sur une variété compacte. Bien que leur définition soit notoirement délicate à manipuler, cette classe d'espaces est importante en analyse fonctionnelle. Une grande partie de la théorie des espaces nucléaires fut développée par Alexandre Grothendieck dans le cadre de sa thèse et présentée au séminaire Nicolas Bourbaki en 1952, puis publiée en 1955. (fr) In mathematics, nuclear spaces are topological vector spaces that can be viewed as a generalization of finite dimensional Euclidean spaces and share many of their desirable properties. Nuclear spaces are however quite different from Hilbert spaces, another generalization of finite dimensional Euclidean spaces. They were introduced by Alexander Grothendieck. The topology on nuclear spaces can be defined by a family of seminorms whose unit balls decrease rapidly in size. Vector spaces whose elements are "smooth" in some sense tend to be nuclear spaces; a typical example of a nuclear space is the set of smooth functions on a compact manifold. All finite-dimensional vector spaces are nuclear. There are no Banach spaces that are nuclear, except for the finite-dimensional ones. In practice a sort of converse to this is often true: if a "naturally occurring" topological vector space is not a Banach space, then there is a good chance that it is nuclear. (en) 核型空間（かくけいくうかん）とは、数学において有限次元ベクトル空間の良い性質を多く持つ位相ベクトル空間である．その位相は単位球が急速に小さくなる半ノルムの族により定義される．その要素がある意味で「滑らか」なベクトル空間は核型空間となることが多い；核型空間の典型的な例は，コンパクトな多様体上の滑らかな関数の集合である. 有限次元ベクトル空間はすべて核型である (有限次元ベクトル空間上の作用素はすべて核作用素なので). 核型となるバナッハ空間は, 有限次元のものを除いて存在しない．実際にはこれのある種の逆がしばしば成り立つ：もし「自然に現れる」位相ベクトル空間がバナッハ空間でなければ, それが核型となる可能性が大いにある. 核型空間の理論の多くはアレクサンドル・グロタンディークにより展開され，で出版された. (ja) In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een nucleaire ruimte een topologische vectorruimte met veel van de goede eigenschappen van eindig-dimensionale vectorruimten. De topologie erop kan worden gedefinieerd door een familie van seminormen waarvan de eenheidsballen snel in omvang afnemen. Vectorruimtes waarvan de elementen "glad" zijn hebben in zekere zin de neiging om de nucleaire ruimtes zijn; een typisch voorbeeld van een nucleaire ruimte is de verzameling van gladde functies op een gesloten variëteit. Alle eindig-dimensionale vectorruimten zijn nucleair (omdat elke operator op een eindig-dimensionale vectorruimte nucleair is). Er zijn geen banach-ruimten die nucleair zijn, behalve de eindige-dimensionale. In de praktijk is een soort omgekeerde hiervan vaak waar: als een "natuurlijk voorkomende" topologische vectorruimte geen banach-ruimte is, dan is er een goede kans dat het een nucleaire ruimte is. Veel van de theorie van de nucleaire ruimten werd door de Franse wiskundige Alexander Grothendieck ontwikkeld. (nl) |
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