First uncountable ordinal (original) (raw)
En mathématiques, le premier ordinal non dénombrable, noté ω₁ ou parfois Ω, est le plus petit ordinal non dénombrable ; c'est aussi l'ensemble des ordinaux finis ou infinis dénombrables. En d'autres termes, c'est l'ordinal de Hartogs de tout ensemble infini dénombrable.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | První nespočetný ordinál, tradičně označovaný ω1 případně Ω, je v matematice nejmenší ordinální číslo, které je nespočetnou množinou. První nespočetný ordinál je supremum (nejmenší horní závora) všech spočetných ordinálů. Prvky ω1 jsou spočetné ordinály, kterých je nespočetně mnoho. Stejně jako jiná ordinální čísla (ve von Neumannově přístupu) je ω1 dobře uspořádanou množinou, kde relace je prvkem množiny ("∈", též relace náležení) definuje uspořádání. ω1 je limitní ordinál, což znamená, že neexistuje ordinální číslo α, pro které α + 1 = ω1. Kardinalita ω1 je první nespočetné kardinální číslo, ℵ1. Ordinál ω1 je tedy počátečním ordinálem ℵ1. ve většině konstrukcí jsou opravdu ω1 a ℵ1 stejné množiny. Zobecnění: pokud α je libovolné ordinální číslo, definujeme ωα jako počáteční ordinál kardinálního čísla ℵα. Existenci ω1 lze dokázat bez axiomu výběru (viz ). (cs) In mathematics, the first uncountable ordinal, traditionally denoted by or sometimes by , is the smallest ordinal number that, considered as a set, is uncountable. It is the supremum (least upper bound) of all countable ordinals. When considered as a set, the elements of are the countable ordinals (including finite ordinals), of which there are uncountably many. Like any ordinal number (in von Neumann's approach), is a well-ordered set, with set membership serving as the order relation. is a limit ordinal, i.e. there is no ordinal such that . The cardinality of the set is the first uncountable cardinal number, (aleph-one). The ordinal is thus the initial ordinal of . Under the continuum hypothesis, the cardinality of is , the same as that of —the set of real numbers. In most constructions, and are considered equal as sets. To generalize: if is an arbitrary ordinal, we define as the initial ordinal of the cardinal . The existence of can be proven without the axiom of choice. For more, see Hartogs number. (en) En matemáticas, el primer ordinal no numerable, tradicionalmente denotado por ω1 o en ocasiones por Ω, es el ordinal más pequeño que al ser considerado como conjunto, no es numerable. Es el supremo de todos los ordinales numerables. Los elementos de ω1 son los ordinales numerables o finitos, de los cuales, no hay una cantidad numerable. El menor de todos los ordinales numerables, sería el primer ordinal infinito ω0 (también escrito ω). Como cualquier ordinal, según la definición de Von Neumann, ω1 está bien ordenado, con la pertenencia (∈) como relación de orden.ω1 es un ordinal límite, i.e no hay un ordinal α con α+1=ω1. La cardinalidad del conjunto ω1 es el primer cardinal no numerable, es decir, alef uno . De hecho, en la mayoría de las construcciones ω1 y son el mismo conjunto. Cabe señalar que la existencia de ω1 se puede probar sin el axioma de elección (ver número de Hartogs.) (es) En mathématiques, le premier ordinal non dénombrable, noté ω₁ ou parfois Ω, est le plus petit ordinal non dénombrable ; c'est aussi l'ensemble des ordinaux finis ou infinis dénombrables. En d'autres termes, c'est l'ordinal de Hartogs de tout ensemble infini dénombrable. (fr) 最小の非可算順序数（英: First uncountable ordinal）ω1の存在は、選択公理によらずに示すことができる（ハルトークス数を参照）。ω1は極限順序数で、すべての可算な順序数を含む非可算集合である。ときに Ω とも表記される。その濃度は最小の非可算基数 ℵ1 に等しい。 (ja) 在數學中，首個不可數序數，傳統記之為ω1（或有時為Ω），是一個最小的序數，而其於被考慮為集合時為不可數。它是所有可數序數的最小上界。ω1 的所有元素，皆為可數序數，縱使它們的數目共有不可數多個。 與任何序數相像（冯·诺伊曼的方法），ω1是一個良序集合，以集合從屬性("∈")作為序的關係。ω1是一個极限序数，意即並不存在一個α使得α + 1 = ω1。 集合ω1的势，是第一個不可數基數——ℵ1阿列夫數1號。是故ω1乃是ℵ1的起始序數。而且，在大部份的構造中，ω1 與 ℵ1 是同一個集合（見冯·诺伊曼基数指派）。推而廣之，若α為任意序數，我們定義ωα 為基數ℵα的起始序數。 ω1的存在性，可以在沒有选择公理的情況下被證明（見哈特格斯數）。 (zh) |
| dbo:wikiPageID | 20860540 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 4123 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1109049025 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Metrizable_space dbr:Aleph-one dbr:Limit_of_a_sequence dbr:Limit_ordinal dbr:Lindelöf_space dbr:Compact_space dbr:Mathematics dbr:Order_topology dbr:Separable_space dbr:Second-countable_space dbr:Epsilon_numbers_(mathematics) dbr:Continuum_hypothesis dbr:Ordinal_arithmetic dbr:Tychonoff_plank dbc:Topological_spaces dbr:Topology dbr:Well-order dbr:Hartogs_number dbr:Large_countable_ordinal dbr:Cardinal_number dbr:Cardinality dbr:Countably_compact_space dbr:Counterexamples_in_Topology dbc:Ordinal_numbers dbr:Supremum dbr:Axiom_of_choice dbr:Axiom_of_countable_choice dbr:Ordinal_number dbr:Real_number dbr:Sequence dbr:Set_(mathematics) dbr:Long_line_(topology) dbr:Union_(set_theory) dbr:First-countable_space dbr:Topological_space dbr:Sequentially_compact dbr:Uncountable dbr:Axioms_of_countability dbr:Set_membership |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:ISBN dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Topological_spaces dbc:Ordinal_numbers |
| gold:hypernym | dbr:Number |
| rdf:type | yago:WikicatTopologicalSpaces yago:WikicatOrdinalNumbers yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:DefiniteQuantity113576101 yago:MathematicalSpace108001685 yago:Measure100033615 yago:Number113582013 yago:OrdinalNumber113597280 yago:Set107999699 yago:Space100028651 |
| rdfs:comment | En mathématiques, le premier ordinal non dénombrable, noté ω₁ ou parfois Ω, est le plus petit ordinal non dénombrable ; c'est aussi l'ensemble des ordinaux finis ou infinis dénombrables. En d'autres termes, c'est l'ordinal de Hartogs de tout ensemble infini dénombrable. (fr) 最小の非可算順序数（英: First uncountable ordinal）ω1の存在は、選択公理によらずに示すことができる（ハルトークス数を参照）。ω1は極限順序数で、すべての可算な順序数を含む非可算集合である。ときに Ω とも表記される。その濃度は最小の非可算基数 ℵ1 に等しい。 (ja) 在數學中，首個不可數序數，傳統記之為ω1（或有時為Ω），是一個最小的序數，而其於被考慮為集合時為不可數。它是所有可數序數的最小上界。ω1 的所有元素，皆為可數序數，縱使它們的數目共有不可數多個。 與任何序數相像（冯·诺伊曼的方法），ω1是一個良序集合，以集合從屬性("∈")作為序的關係。ω1是一個极限序数，意即並不存在一個α使得α + 1 = ω1。 集合ω1的势，是第一個不可數基數——ℵ1阿列夫數1號。是故ω1乃是ℵ1的起始序數。而且，在大部份的構造中，ω1 與 ℵ1 是同一個集合（見冯·诺伊曼基数指派）。推而廣之，若α為任意序數，我們定義ωα 為基數ℵα的起始序數。 ω1的存在性，可以在沒有选择公理的情況下被證明（見哈特格斯數）。 (zh) První nespočetný ordinál, tradičně označovaný ω1 případně Ω, je v matematice nejmenší ordinální číslo, které je nespočetnou množinou. První nespočetný ordinál je supremum (nejmenší horní závora) všech spočetných ordinálů. Prvky ω1 jsou spočetné ordinály, kterých je nespočetně mnoho. Stejně jako jiná ordinální čísla (ve von Neumannově přístupu) je ω1 dobře uspořádanou množinou, kde relace je prvkem množiny ("∈", též relace náležení) definuje uspořádání. ω1 je limitní ordinál, což znamená, že neexistuje ordinální číslo α, pro které α + 1 = ω1. Existenci ω1 lze dokázat bez axiomu výběru (viz ). (cs) In mathematics, the first uncountable ordinal, traditionally denoted by or sometimes by , is the smallest ordinal number that, considered as a set, is uncountable. It is the supremum (least upper bound) of all countable ordinals. When considered as a set, the elements of are the countable ordinals (including finite ordinals), of which there are uncountably many. Like any ordinal number (in von Neumann's approach), is a well-ordered set, with set membership serving as the order relation. is a limit ordinal, i.e. there is no ordinal such that . (en) En matemáticas, el primer ordinal no numerable, tradicionalmente denotado por ω1 o en ocasiones por Ω, es el ordinal más pequeño que al ser considerado como conjunto, no es numerable. Es el supremo de todos los ordinales numerables. Los elementos de ω1 son los ordinales numerables o finitos, de los cuales, no hay una cantidad numerable. El menor de todos los ordinales numerables, sería el primer ordinal infinito ω0 (también escrito ω). Cabe señalar que la existencia de ω1 se puede probar sin el axioma de elección (ver número de Hartogs.) (es) |
| rdfs:label | První nespočetný ordinál (cs) Primer ordinal no numerable (es) First uncountable ordinal (en) Premier ordinal non dénombrable (fr) 最小の非可算順序数 (ja) 首個不可數序數 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:First uncountable ordinal yago-res:First uncountable ordinal wikidata:First uncountable ordinal dbpedia-cs:First uncountable ordinal dbpedia-es:First uncountable ordinal dbpedia-fr:First uncountable ordinal dbpedia-he:First uncountable ordinal dbpedia-ja:First uncountable ordinal dbpedia-zh:First uncountable ordinal https://global.dbpedia.org/id/38mWF |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:First_uncountable_ordinal?oldid=1109049025&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:First_uncountable_ordinal |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Ω1 dbr:Smallest_uncountable_ordinal dbr:Minimal_uncountable_well-ordered_set dbr:Least_uncountable_ordinal dbr:Ω₁ dbr:Omega-1 dbr:Omega_one |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Cardinality_of_the_continuum dbr:Riesz–Markov–Kakutani_representation_theorem dbr:Kurepa_tree dbr:Limit_ordinal dbr:Omega dbr:Ordinal_collapsing_function dbr:Order_topology dbr:Separable_space dbr:Enumeration dbr:Ordinal_analysis dbr:Ordinal_arithmetic dbr:Ordinal_notation dbr:Aronszajn_tree dbr:Stone–Čech_compactification dbr:Club_set dbr:Tychonoff_plank dbr:Tree_(set_theory) dbr:Well-order dbr:Large_countable_ordinal dbr:Alexandroff_plank dbr:Forcing_(mathematics) dbr:Nonrecursive_ordinal dbr:Radon_measure dbr:Bachmann–Howard_ordinal dbr:Countably_compact_space dbr:Jech–Kunen_tree dbr:Hereditary_property dbr:Diamond_principle dbr:Axiom_schema_of_replacement dbr:Borel_set dbr:Greek_letters_used_in_mathematics,_science,_and_engineering dbr:Ordinal_number dbr:Sequential_space dbr:Long_line_(topology) dbr:Loop_variant dbr:Series_(mathematics) dbr:Topological_game dbr:First-countable_space dbr:Sequentially_compact_space dbr:Tychonoff_cube dbr:Ω1 dbr:Suslin_tree dbr:Uncountable_set dbr:Smallest_uncountable_ordinal dbr:Minimal_uncountable_well-ordered_set dbr:Least_uncountable_ordinal dbr:Ω₁ dbr:Omega-1 dbr:Omega_one |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:First_uncountable_ordinal |